1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Итак, меняя, если потребуется, знак одной из координат в карте (К,~р,), можно получить карту с тем же районом действия Ц, согласованную с картой (Оь~р1). После описанной процедуры две карты (Уо~р;), Я,~р ) такие, что У1 П У, ~ И, ь11 П Ц ~ о, У, П П' ~ И, сами окажутся согласованными: иначе мы построили бы противоречивую цепочку из трех карт. Таким образом, все карты атласа, районы действия которых пересекаются с Уь уже можно считать согласованными между собой. Принимая теперь каждую из этих карт за эталон, можно согласовать с нею новые, не охваченные на первом этапе карты атласа.
Противоречивых ситуаций при этом не возникнет, поскольку противоречивых цепочек 12. МНОГООБРАЗИЕ 889 на многообразии по условию не существует. Продолжая этот процесс и учитывая связность многообразия, мы построим на нем атлас, состоящий из попарно согласованных карт, что и доказывает ориентируемость данного многообразия. ь Полученный критерий ориентируемости многообразия, как, впрочем, и соображения, используемые при его доказательстве, можно с успехом применять при исследовании конкретных многообразий. Так, рассмотренное в примере 12 многообразие ЯР' ориентируемо. Из указанного там атласа легко получить ориентирующий атлас ЯР'.
Для этого достаточно изменить знак локальной координаты одной из двух построенных там карт. Впрочем, ориентируемость проективной прямой КР', очевидно, следует также из того, что многообразие 2Р' гомсоморфно окружности. Проективная плоскость ВРз неориентируема: любая пара карт построенного в примере 13 атласа ВРз такова, что преобразования координат в пределах пары имеют как области положительности, так и области отрицательности якобиана. Как мы видели при доказательстве утверждения 4, отсюда следует существование противоречивой цепочки карт на ЯР~. По той же причине неориентируемо и рассмотренное в примере 14 многообразие, которое, кстати, как отмечалось, гомеоморфно листу Мебиуса.
Утверждение 5. Край ориентируемого гладкого и-мерного многообразия является ориентируемым (п — 1)-мерным многообразием, допускающим структуру той лсе гладкости, что и исходное многообразие. < Доказательство утверждения 5 проводится дословно так же, как и рассмотренное в гл. ХП, 8 3, п.
2 доказательство аналогичного утверждения 2 для поверхностей, лежащих в К". > Определение 17. Если А(М) = ((Н", ~р„У,)) 0 1(м", ~ру, П )) — ориентирующий многообразие М атлас, то совокупность карт А(дМ) = ЦИ" ',у,~он и -1,дУ,)) есть ориентирующий атлас края дМ многообразия М. Задаваемая этим атласом ориентация края называется ориентацией края, согяасоеанной с ориентацией многообразия. Важные и часто используемые на практике способы задания ориентации лежащей в К" поверхности и согласованной ориентации ее края 390 ГЛ. ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ подробно описаны в Я 2, 3 гл. Х??. 4. Разбиение единицы и реализация многообразий в виде поверхностей в К". Здесь будет изложена одна специальная конструкция, называемая в математике разбиением единицы. Эта конструкция часто бывает основным приемом сведения глобальных вопросов к локальным.
В дальнейшем мы продемонстрируем это при выводе формулы Стокса на многообразии, а здесь используем разбиение единицы для пояснения возможности реализации любого многообразия в виде некоторой поверхности в пространстве К" достаточно большой размерности и. Лемма. На К можно построить функцию 1 Н С~'"'~(К,К) такую, ипо ~(х) гя 0 при ~х~ > 3, )'(х) = 1 при )х~ < 1 и 0 < ?'(х) < 1 при 1 < )х) < 3.
< Проведем построение одной такой функции, исходя из знакомой 1 е~ ~~*) прихфО, нам функции д(х) = ' В свое время (см. часть 1, '( о при х = О. стр.221) мы проверили, что д Е С<"'~(К,К), показав, что дрб(0) = 0 при любом значении и Е 1'?. В таком случае неотрицательная функция е (* О .е (*+О при ~х~ < 1, С(х) = 0 при )х! > 1 также принадлежит классу С< ~(К, К), а вместе с нею и функция Г(х) = а(1) сЫ а($) сй принадлежит этому классу, поскольку Г'(х) = С(х) ) С(8)Ж.
Функция г' строго возрастает на промежутке ( — 1, 1], Р(х) = 0 при х < — 1 и Р(х) = 1 при х > 1. В качестве искомой функции можно теперь взять ?'(х) = г'(х+ 2) + Р( — х — 2) — 1. ~ 12. МНОГООБРАЗИЕ 391 Замечание. Если 1: К вЂ” > К вЂ” построенная в доказательстве леммы функция, то определенная в К" функция 0(х,...,х~) = )(х — а ) ... )(х" — а") такова, что д б С~ ~(К",К), О < д < 1 в любой точке х Е К", 0(х) = 1 на промежутке 1(а) = (х б К" ~ ~х' — а'~ < 1, 1 = 1,..., п), и носитель вирр 0 функции 0 содержится в промежутке 1(а) = (х Е К" ( 1х1 — а'! < < 3,1= 1,...,п).
Определение 18. Пусть М вЂ” многообразие класса гладкости С1"1, а Х вЂ” подмножество М. Говорят, что система Е = (е„, ее Е А) функций е„Е С(")(М,К) является к-гладким разбиением единицы на множестве Х, если 1' О < е (х) < 1 для любой функции е б Е и любого х Е М; 2' каждая точка х Е Х обладает такой окрестностью П(х) в М, что только конечное число функций системы Е отлично от тождественного нуля на П(х); 3' 2 е (х) =1наХ. еасе Заметим, что в силу условия 2' при любом х Е Х в последней сумме лишь конечное число слагаемых отлично от нуля. Определение 19.
Пусть 0 = (ов,,З ~ В) — открытое покрытие множества Х С М. Говорят, что разбиение единицы Е = (е„, се Е А) на Х подчинено покрьппию О, если носитель любой функции из системы Е содержится по крайней мере в одном из множеств системы О. 'Утверждение 6. Пусть ((К, у1), 1 = 1,..., т) — конечный набор карт некоторого к-гладкого атласа многообр зия М, раионы П„1 = = 1,...,т, действия которых образуют покрытие компакта К С М. Тогда на К существует разбиение единицы класса С®, подчиненное покрытию 1Ц, 1 = 1,..., т). М Для любой точки хо б К проведем сначала следующее построение.
Берем последовательно область П„содержащую хв, соответствующую карту ач: К" (Н") — 1 П;, точку 1в = 1о, 1(хо) Е К" (Н"), функцию 0(1 — 19) (где 0(1) — указанная в замечании к лемме функция) и ограничение дм функции 0(1 — 1о) на область параметров карты ~р;. Пусть |м — пересечение единичного куба с центром 1в Е К" и облаСтн ПараМЕтрОВ КартЫ у,.
РЕаЛЬНО ды ОтЛИЧаЕтСя От 0(1 — 1О), а 11е От СО- 392 ГЛ. ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ ответствующего единичного куба, только когда областью параметров карты ~р; является полупространство Н". Открытые в М множества ~р,(4), построенные по каждой точке х б К и соответствующей ей точке 1 = 1о, '(х) для всех допустимых значений 1 = 1, 2,..., т, в совокупности образуют открытое покрытие компакта К. Пусть 1~р;, (ХЬ), Х = 1,2,...,1) — извлеченное из него конечное покрытие компакта К. Очевидно, ~р,,(16) С ХХВ. Определим наХХ,, функцию В (х) = Вбау, 1(х).
Распространим 0;(х) на все многообразие М, полагая функцию равной нулю вне ХХ,, Сохраним за этой распространенной на М функцией прежнее обозначение 0;. По построению 0; е СРВ(М, К), вирр В с ХХВ. 0 < 0 (х) < 1 на М и 0 (х) г— в 1 на <р,,(ХЬ) С ХХ,, Тогда функции е1(х) = 01(х), е2(х) = 02(х)(1 — 01(х)),..., е~(х) = В~(х) (1 — 01 1(х)) (1 — 01(х)) составят искомое разбиение единицы. Проверим лишь, что 2; е (х) = 1 на К, поскольку остальным требованиям к разбиению еди1=1 ницы на К, подчиненному покрытию (ХХЬ,..., ХХ,,) С (Ц, 1 = 1,...,т) компакта К, система функций 1еь..., е~), очевидно, удовлетворяет.
Но 1 — ~ез(х) = (1 — 01(х)) ... (1 — Ц(х)) = 0 на К, поскольку каждая точка х Е К покрыта некоторым множеством д,(16), на котором соответствующая функция О, тождественно равна единице. ~ Следствие 1. Если М вЂ” компактное многообразие и А — атлас класса С~"~ на М, то на М существует конечное разбиение единицы (еы...,е~), подчиненное покрытию многообразия районами действия карт атласа А.
~ Поскольку М вЂ” компакт, атлас А можно считать конечным. Теперь мы оказываемся в условиях утверждения 6, если положить в нем К=М. > Следствие 2. Для любого лежащего на многообразии М компакта К и любого содержащего К открытого множества С С М существует функция Х': М вЂ” + К класса гладкости многообразия М такая, что 1(х) = 1 на К и вирр 1 С С.
~ Покроем каждую точку х е К окрестностью ХХ(х), лежащей в С и 1 2. МНОГООБРАЗИЕ 393 в пределах района действия некоторой карты многообразия М. Из открытого покрытия (11(х), х б К) компакта К извлекаем конечное покрытие и строим подчиненное ему разбиение единицы (еы ., ., е~) на К.
Функция 1 = ,") е; будет искомой. ь г=1 Следствие 3. Каждое (абстрактно заданное) компактное гладкое и-мерное мноеообразие М диугугеоморгрно некоторой компактной сладкой поеерхности, лежащей в пространстве Кг" достаточно большой размерноспги Х. < Чтобы не осложнять идею доказательства несущественными деталями, проведем его для случая компактного многообразия М без края. В этом случае на М есть гладкий конечный атлас А = (гр,; 1 -+ -+ 11„г = 1,..., т), где 1 — открытый и-мерный куб в И". Подберем чуть меньший куб 1' такой, что 1г С 1, а множества Я = гр;(1'), г' = 1,...,т) все еще образуют покрытие М. Полагая в следствии 2 К = 1', С = 1, М = Й", построим функцию 1 Е Сг 'г (К", гк) такую, что ((1) = 1 при 1 Е 1' и вирр( С 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
