1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Такое течение, следовательно, по крайней мере локально потенциально, т.е. и = ягайло. Проверьте, что для потенциального течения однородной несжимаемой жидкости, происходящего в потенциальном поле Г, в каждый момент времени выполняется соотношение /др из р Егас1 ~ — + — + — — У = О. 1д1 2 р б) Выведите из полученного равенства так называемый интеграл Коши — + — + — — У = Ф(1) ду и~ р д1 2 р — соотношение, утверждающее независимость левой его части от пространственных координат. е) Покажите, что если течение к тому же и установившееся,т.е.поле и не зависит от времени,то имеет место соотношение Ю р — + — — У = сопаС, 2 р называемое интпеералом Бернулли.
3. Течение, поле скоростей которого имеет вид и = (ие ию 0), естественно назвать,плоскопар ллельным или просто плоским течением. а) Покажите, что условия с11ч и = О, гог и = 0 несжимаемости и потенциальности для плоского течения имеют соответственно следующий вид: ди, дси до, дои + — =О, — — — =О. дх ду ' ду дх 24.
ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ 365 Ь) Покажите, что эти уравнения по крайней мере локально гарантируют сУЩествование фУнкЦий 2Р(х, У) и ~Р(х, У) таких, что ( — ищи ) = 8гас12Р и (и„ии) = 8гас1У. с) Проверьте, что линии уровня ~р = се, 2р = с2 этих функций ортогональны и покажите, что в установившемся потоке линии ф = с совпадают с траекториями движущихся частиц среды.
Именно поэтому функцию й называют функцией тока, в отличие от функции д — потенциала скоростей. й) Покажите, в предположении достаточной гладкости функций у, ф, что обе они являются гармоническими функциями и удовлетворяют системе уравненийй Коши — Римана: др д~ д~о дф дх ду' ду дх' Гармонические функции, удовлетворяющие системе Коши — Римана, называют сопряженными еармоническими функциями.
е) Проверьте, что функция 7(х) = (~р+ 2ф)(х,у), где г = х+1у, является дифференцируемой функцией комплексного переменного х. Это и определяет связь плоских задач гидромеханики с теорией функций комплексного переменного. 4. Рассмотрим простейший вариант — = а — 8 волнового уравнения дР эд деэ де 2 (17).
Это случай плоской волны, в которой давление зависит только от координаты х точки (х, у, х) пространства. а) Сделав замену переменных и = х — а1, о = х+ а1, приведите это уравнед2 ние к виДУ ди-$о = 0 и покажите, что общий виД РешениЯ исхоДного УРавнениЯ таков: р = 7(х+ а1) + д(х — а2), где /, д — произвольные функции класса С~21.
Ь) Истолкуйте полученное решение как две волны 7 (х) и д(х), распространяющиеся соответственно влево и вправо вдоль оси Ох со скоростью а. с) Считая, что и в общем случае (17) величина а есть скорость распространения возбуждения, и учитывая соотношение а = (ф'(ро)) '72, найдите, вслед эа Ньютоном, скорость ск звука в воздухе, полагая, что температура в звуковой волне постоянна, т. е. полагая, что процесс звуковых колебаний является изотермическим. (Уравнение состояния р = ф; Л = 8,31 „ Дж универсальная газовая постоянная; р = 28,8 „"„— молекулярный вес воздуха. Расчет проведите для воздуха, находящегося при температуре 0'С, т.е.
Т = 273 К. Ньютон нашел, что ск = 280 м/с.) б) Считая процесс звуковых колебаний адиабатическим, найдите, вслед эа Лапласом, скорость сь звука в воздухе и уточните тем самым результат ск Ньютона. (При адиабатическом процессе р = срт. Это формула Пуассона иэ задачи б к 21 гл.ХП1.
Покажите, что если ск = /Р~, то сс = у ф Для воздуха у и 1,4. Лаплас нашел сс = 330 м/с, что превосходно согласуется с опытом.) б. Используя скалярный и векторный потенциалы, систему уравнений 366 ГЛ. Х1Ч. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ Максвелла ((12) 6 1) можно свести к волновому уравнению (точнее, к нескольким однотипным волновым уравнениям). Решив зту задачу, вы убедитесь в сказанном. а) Из уравнения т7 В = 0 вытекает, что, по крайней мере локально, В = = ~7 х А, где поле А — векторный потенциал поля В. Ь) Зная, что В = 17 х А, покажите, что из уравнения 17 х Е = — -дГ дВ следует, что, по крайней мере локально, найдется скалярная функция ~р такая, что Е = — ~7~о — -д —.
А дГ' с) Проверьте, что поля Е = — гаусс — -дГ и В = т7 х А не изменятся, если дА вместо пары ~р, А взять другую пару потенциалов ~р, А, такую, что со = ~р — $-, А = А + с 1с, где Ч~ — произвольная функция класса С~о~. Н) Из уравнения '7 Е = -,~- вытекает первое соотношение — 17~~о — д1'7 А = д = А между потенциалами ~р и А. со е) Из уравнения с т7 х  — -д — — — .~- вытекает второе соотношение о да' со — с Ч А+с 17(T А)+ — 17р+ д дА 3 д1 д1з ео между потенциалами у и А.
1) Используя с), покажите, что, решив вспомогательное волновое уравне- 1 до 1 ние ДФ + 7' = -т — У'-, не менЯЯ полей Е и В, можно выбРать потенциалы У с дС и А так, чтобы они удовлетворяли дополнительному (так называемому калибровочному) условию '7 А = — -~~ $.
с я) Покажите, что если потенциалы у и А выбраны так, как сказано в 1), то из Н) и е) получаются искомые неоднородные волновые уравнения до со роз до А з,у — = сзДр+ —, = сзДА+— д1з со ' д1з ео на потенциалы р и А. Найдя сс и А, найдем и поля Е = 17~р, В = 17 х А. :2 ГЛАВА Х~ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ НА МНОГООБРАЗИЯХ ~ 1. Некоторые напоминания из линейной алгебры 1.
Алгебра форм. Пусть Х вЂ” линейное пространство, а г ~: Хь -+ К вЂ” вещественнозначная к-форма на Х. Если еп..., е„— базис в Х, а х~ = х" е„,..., х2 = х" е„— разложение векторов х2,..., х2 Е Х по этому базису, то в силу линейности г 2 по каждому аргументу Г (х2,...,х2) = г' (х"е;„...,х'"е,„) = 2 = г~(е;„...,е 2)хп ... х" = а;..2х" ... х'".
(1) д2~п м ~ й ю2 вн „=.г' (с.,е;„...,с.,е;„) = а,, „с, ... с „ (2) преобразования числовых наборов а;,;„а, „, отвечающих одной и той же форме г ~. Множество У~:= 1г'~: Хь — ~ И) к-форм на линейном пространстве Х само является линейным пространством относительно стандартных операций (Р1" + Г2 Пх);= Г1(х) + Р2(х), (Лг'2)(х):= Лг ~(х) (3) (4) Таким образом, после задания базиса в Х, к-форму г 2: Хь — ~ К можно отождествить с набором чисел а;,;, = г 2(е;„..., е;„).
Если е2,..., е„— другой базис в Х и а,, „= г (е „..., е „), то, полагая е = с'е;, у = 1,...,и, находим (тензорный) закон 368 ГЛ. ХЧ. ИНТКГРИРОВАНИК ДИФФКРКНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ сложения Й-форм и умножения Й-формы на число. Для форм Г~, Г~ произвольных степеней й и 1 определяется следующая операция З их тензорного произееденил: (Г~ З Г~Нхы хь, хьюм, хь-н):= = Гь(хы..., хь)Г~(хь+н..., хь~.~). (5) Таким образом, Гь З Г' является формой Г" ~' степени я + 1. Очевидны соотношения: (ЛГ~) З Г~ = Л(Г~ З Г~), (6) (Гь+Гь)ЗГ1 Гь, Г1+Гь, Г1 (7) З (Г1 + Г2) Г З Г1 + Г З Г2~ (8) (Гь ф) Гтп Гь (ф Г~н) (9) Итак, множество У' = (У'~) форм на линейном пространстве Х относительно введенных операций является градуированной алгеброй У = ® У ~, в которой линейные операции выполняются в пределах каждого входящего в прямую сумму пространства У", и если Г Е У, Г' Е У', то Г" З Г' Е У"+'.
Пример 1. Пусть Х* — сопряженное к Х пространство (состоящее из линейных функций на Х) и е',..., е" — базис в Х*, взаимный с базисом еп..., е„в Х, т. е. е'(е ) = б'. Поскольку е'(х) = е'(хде ) = хде'(е ) = х25' = х', то, учитывая (1) и (9), любую /с-форму Г": Х" — ~ И можно записать в виде (10) 2. Алгебра кососимметрических форм. Рассмотрим теперь в У+ подпространство Й" кососимметрических Й-форм, т.е.
ю Е Й", если для любых различных индексов г, 2 Е (1,...,п) имеет место равенство ю(хп...,х;,...,х,...,хь) = — ы(хп...,х,...,х;,...,хь). Из любой формы Г" Е У+ можно получить кососимметрическую форму с помощью операции А: У'" -+ Й" альтернированиа форм, определяемой соотношением АГь(хм..., хь):= —,Г~(х,„...,хм)51ь';", 11. АЛГЕБРА ФОРМ 369 где 1, если подстановка (""'") четная, — 1, если подстановка (""'„") нечетная, О, если (","'„') — не подстановка.
Если К" — кососимметрическая форма, то, как видно из (11), АГ~ = = Г". Таким образом, А(Аг'~) = АГь и Аш = ю, если ю е й". Значит, А: У+ — > й" является отображением У+ на й". Сопоставляя определения (3), (4), (11), получаем А(Р1" + рз) = АГ1" + Арз, А(ЛГ") = ЛАг'~. (12) (13) Пример 2. С учетом соотношений (12), (13) из разложения (10) получается, что Аг'~ = о„,„А(е" Э... 49 е" ), поэтому интересно найти А(е" ®...
® е" ). Из определения (11) с учетом того, что е'(х) = х', находим А(е1' З... 49 ез')(х1,...,хь) = —,ез'(х;,) .... ез" (х„)д""~" —— = — х ... х 6' "' зд и б-и 0 ''' и ья у (й +1)! о~" А ю~:= 'А(ю~ ® ю~). И11 (15) Таким образом, ш" А ю' есть кососимметрическая форма ю~+~ степени 1+1. Тензорное произведение кососимметрических форм, вообще говоря, уже не является кососимметрической формой, поэтому в классе косо- симметрических форм вводится следующая операция А их внешнезо произведения: 370 ГЛ. ХЧ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
