1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 64
Текст из файла (страница 64)
м Для наглядности сначала проведем доказательство в случае круга Р = (х, у Е ж~ ~ х~ + у~ < гт) на плоскости К~. В точку (х, у) круга из начала координат можно прийти по двум различным двузвенным ломаным у1, уз, звенья которых параллельны координатным осям (рис. 93). Поскольку Р— выпуклая область, весь ограниченный этими ломаными прямоугольник 1 содержится в Р.
По формуле Стокса с учетом условия (3) получаем шл — — ЫА = О. а1 На основе замечания к утверждению 1 отсюда уже можно сделать вывод о потенциальности поля А в Р. Кроме того, на основе доказательства достаточности в утверждении 1 в качестве потенциала вновь можно взять функцию (6), понимая при этом интеграл как интеграл по пути, ведущему из центра в рассматриваемую точку вдоль ломаной, звенья которой параллельны координатным осям. В расРис. 93. смотренном случае независимость такого ин- теграла от выбора пути Т1, Тз непосредственно вытекала из формулы Стокса для прямоугольника. В высших размерностях из формулы Стокса для двумерного прямоугольника следует, что замена двух соседних звеньев ломаного пути на два звена, составляющие параллельные исходным стороны соответствующего прямоугольника, не меняет интеграла по пути.
Поскольку такими перестройками последовательно можно перейти от одного ломаного пути к любому другому, ведущему в ту же точку, то и в общем случае потенциал оказывается определенным корректно. ~ 53. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ 345 4. Топологическая структура области и потенциал. Сопоставляя пример 4 и утверждение 2, можно заключить, что при выполнении необходимого условия (3) потенциальности поля вопрос о том, всегда ли оно потенциально, связан с устройством (топологической структурой) области, в которой поле задано. Следующие рассмотрения (здесь и в п.
5) дают первоначальное представление о том, какие именно характеристики области отвечают за это. Оказывается, если область Р такова, что любой замкнутый путь, лежащий в Р, можно, не выходя за пределы области Р, стянуть в некоторую точку этой области, то в Р необходимое условие (3) потенциальности поля уже будет и достаточным. Ниже мы назовем такие области односвязными. Шар †односвязн область (и потому имеет место утверждение 2), а вот плоскость с проколом Кз '1 0 не является односвязной,так как охватывающий начало координат путь нельзя стянуть в точку этой же области, не выходя за ее пределы.
Именно поэтому не всякое удовлетворяющее условиям (3') поле в К~ '1 О, как мы видели в примере 4, обязано быть потенциальным в области Кз '1 О. Перейдем теперь от описаний к точным формулировкам. Прежде всего поясним, что мы имеем в виду, когда говорим о деформации или стягивании пути. Определение 3. Говорят, что в области Р имеется гомотопил (или деформация) замкнутого пути ув: [О, Ц вЂ” > Р в замкнутый путь .~1 . [О, Ц вЂ” > Р, если указано такое непрерывное отображение Г: Х~ -+ Р квадрата Хз = ((т',т') б К~ ~ 0 < И' < 1,1 = 1,2) в область Р, что Г(1~,0) = ув(1~), Г(1~,1) = п(~~) и Г(0,~~) = Г(1,Ф~) при любых 1~,1~ Е й [О,Ц. Таким образом, гомотопия и есть отображение Г: ХР -+ Р (рис.
94). Если переменную тР считать временем ~, то согласно определению 3 в каждый момент времени Ф = то мы имеем свой замкнутый путь Г(т1, Ф) = и (рис. 94)'). Изменение этого пути со временем таково, что в начальный момент 1 = ~9 = 0 он совпадают с путем уа, а в момент 1 = тР = 1 он преобразуется в путь у1. Поскольку в любой момент ~ Е [О, Ц выполняются условия ус(0) = ПНа рис.
94 вдоль некоторых кривых стоят ориентирующие их стрелки, которые будут использованы несколько позже и на которые читатель пока не должен обращать внимания. 346 ГЛ. Х1Ч. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ Рис. 94. = Г(0,1) = Г11,1) = Т1(1), означающие, что путь Т1 — замкнутый, отображение Г: 12 — ~ Р индуцирует на боковых сторонах квадрата 1~ одинаковые отображения 136111):= Г111,0) = Г111,1) =: 111(Ф'). Отображение Г является формализацией нашего представления о том, как постепенно путь уо деформируется в путь Т1.
Изменение этого пути со временем таково, что в начальный момент с" = 0 он совпадает с путем То, а в момент сР = 1 он преобразуется в путь Т1. Ясно, что время можно пустить в обратную сторону, и тогда мы из пути Т1 получим путь То. Определение 4. Два замкнутых пути называются зомотопными в области, если их можно гомотопировать друг в друга в пределах этой области, т. е. построить в этой области гомотопию одного пути в другой. Замечание 2.
Поскольку пути, с которыми нам придется в анализе иметь дело, это, как правило, пути интегрирования, то без дополнительных оговорок мы будем рассматривать только гладкие или кусочно гладкие пути и их гладкие или кусочно гладкие гомотопии. Для областей, лежащих в К", можно проверить, что наличие непрерывной гомотопии (кусочно) гладких путей в них обеспечивает и наличие (кусочно) гладкой гомотопии этих же путей. о'тверждение 3. Если 1-1рорма ю~л в области Р такова, что 3 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ 347 а1оА~ = О, а з мннутые пуп1и 7о и 71 гомотопньь в Р, то ыА ыА 71 70 < Пусть Г: 1' -+ Р— гомотопия .7О в у1 (см.
рис. 94). Ксли 1В, 11— основания квадрата 1~, а до, д1 — его боковые стороны, то, по определению гомотопии замкнутых путей, ограничение Г на 1в и 1, совпадает с 7в и 71 соответственно, а ограничение Г на,1в и 11 дает некоторые пути ив и Д в Р и, поскольку Г(0,1г) = Г(1,1г), пути 11в и Д просто совпадают. В результате замены переменных х = Г($) форма а1А~ перенесется в квадрат 1 в виде некоторой 1-формы ь1 = Г*ь1А.
При этом да1 = дГ*01А — — Г*дь1А —— О, так как д ~А — — О. Значит, по формуле Стокса 01= бы=О. В10 11 Но ш+ а1 — 01 — ш = д10 10 11 11 10 ь'А + ыА ыА ыА ь'А ь'А О1 71 Оо -10 71 70 Определение 5. Область называется односвлзной, если любой замкнутый путь в ней гомотопен точке (т. е. постоянному пути). Итак, именно в односвязной области любой замкнутый путь можно стянуть в точку. Утверждение 4. Если заданное в односвлзной области Р поле А удовлетворяет необходимому условию (3) или (3') потенциальности, то оно потенциально в Р. ~ В силу утверждения 1 и замечания 1 к нему нам достаточно проверить, что равенство (5) имеет место для любого гладкого пути 7 в области Р.
Путь 7 по условию гомотопен постоянному пути, носитель которого состоит из одной точки. Интеграл по такому одноточечному пути, очевидно, равен нулю. Но в силу утверждения 3 при гомотопии 348 ГЛ. Х1У. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ интеграл не меняется, значит, и для пути у должно быть выполнено равенство (5). > Замечание 3. Утверждение 4 включает в себя утверждение 2. Однако, имея в виду некоторые приложения, мы сочли полезным дать независимое конструктивное доказательство утверждения 2.
Замечание 4. Утверждение 2 было доказано без ссылки на возможность гладкой гомотопии гладких путей. 5. Векторный потенциал. Точные и замкнутые формы Определение 6. Поле А называется векторным погпенциалом полл Ю в области Р С Кз, если в этой области выполняется соотношение В = гоФ А. Если вспомнить связь между векторными полями и формами в евклидовом ориентированном пространстве Кз, а также определение ротора векторного поля, то соотношение .В = гог А можно переписать в виде ызн —— йол. Отсюда следует, что шв; и — — йой = ичол — — О. Таким образом, мы получаем следующее необходимое условие (7) г1ЫВ = О, которому в области Р должно удовлетворять поле Ю, чтобы оно могло иметь векторный потенциал, т.е.
чтобы оно могло быть ротором некоторого векторного поля А в этой области. Поле, удовлетворяющее условию (7), часто, особенно в физике, называют соленоидальным полем. Пример 5. В 81 мы выписали систему (12) уравнений Максвелла. Второе из уравнений этой системы как раз совпадает с равенством (7). Таким образом, естественно появляется желание считать магнитное поле .В ротором некоторого векторного поля А — векторного потенциала поля Ю. Именно к такому векторному потенциалу и переходят при решении системы уравнений Максвелла. Как видно из определений 1 и 6, вопросы о скалярном и векторном потенциале векторных полей 1последний вопрос при этом мы ставили только в Кз ) являются частными случаями общего вопроса о том, когда дифференциальная р-форма аР является дифференциалом Й е ~ некоторой формы оР з 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ Определение 7.
Дифференциальная форма аР называется точной в области Р, если в этой области существует такая форма ш~' ", что шг = йог ". Если форма ш" точна в Р, то й г = сРшо 1 = О. Таким образом, условие (8) является необходимым условием точности формы ш. Как мы уже видели (пример 4), не всякая форма, удовлетворяющая этому условию, является точной, поэтому вводится Определение 8. Дифференциальная форма ш называется замкнутой в области Р, если в этой области она удовлетворяет условию (8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
