1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 66
Текст из файла (страница 66)
7. В области Кз '1 0 (пространство с выброшенной точкой 0) постройте; а) замкнутую, но не точную 2-форму; Ь) векторное поле без источников, которое не является ротором какого- либо векторного поля в этой области. 8. а) Могут ли в области Р = К" '1 0 (пространство Н" с выброшенной точкой 0) быть замкнутые, но не точные формы степени р < и — 1? 354 ГЛ. Х112. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ Ь) Постройте в области Р = И" ~ 0 замкнутую, но не точную форму сте- пени р = и — 1.
9. Если 1-форма ос замкнута в области Р С И", то в силу утверждения 2 любая точка х Е Р имеет окрестность П(х), в пределах которой форма ы точна. Далее ш — замкнутая форма. а) Покажите, что если два пути у;1 [О, 1] — ~ .Р, с = 1,2, имеют одинако- вые начала и концы и отличаются лишь на промежутке [а,73] С [0,1], образ которого при каждом из отображений 7, лежит в пределах одной и той же окрестности 77(х), то ] ы = ] ы. '11 72 Ь) Покажите, что для любого пути [О, 1] Э 1 «-с 7(1) 0 Р можно указать такое число б > О, что если путь С имеет те же начало и конец, что и путь 7, и уклоняется от 7 не больше чем на б, т.е. шах ].у(1) — 7(8)] < б, то [ ос = ] ы. О<С<1 с) Покажите, что если два пути 71, 'у2 с общими началом и концом гомо- топны в области Р как пути с закрепленными концами, то для замкнутой в Р формы ь«имеет место равенство ] ш = [ ы, 'У! 72 10.
а) Позднее будет доказано, что любое непрерывное отображение Г: с 2 -+,Р квадрата с 2 можно сколь угодно точно равномерно аппроксимировать гладким отображением (даже с полиномиальными компонентами). Выведите отсюда, что если пути 71, С2 в области Р гомотопны, то при любом е > > 0 можно найти такие гладко гомотопные между собой пути 71, 72, что шах [ у,(1) — 71(1) ] < с, с = 1, 2. О<С<1 Ь) Используя результаты задачи 9, покажите теперь, что если интегралы по гладко гомотопным путям от замкнутой в области Р формы равны меж- ду собой, то они равны и для любых гомотопных в этой области путей (без предположения о гладкости этой гомотопии).
Сами пути, разумеется, предпо- лагаются настолько регулярными, насколько это нужно для интегрирования по ним. 11. а) Покажите, что если формы оР, ьР ', оР ' таковы, что оР = Й,Р ' = Й,Р ', то (по крайней мере локально) можно указать форму ыг 2 такую, что ьР ' = иР ' + сйР 2. (То, что любые две формы, отличающи- еся на дифференциал некоторой формы, имеют одинаковый дифференциал, очевидно, вытекает из равенствассзсо = 0.) Ь) Покажите, что потенциал ср электростатического поля (задача 3) опре- деляется с точностью до аддитивной постоянной, которая фиксируется, если потребовать, чтобы на бесконечности потенциал стремился к нулю.
12. Из системы уравнений Максвелла (1 1, (12)) получается следующая па- ра уравнений магнитостатики: 27 В = О, ~7 х В = — — ~-т. Первое иэ этих уравсос пений показывает, что, по крайней мере локально, поле В имеет векторный потенциал А, т. е. В = '«7 х А. а) Опишите произвол в выборе потенциала А магнитного поля В (см. за- 14 ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ 385 дачу 11а)). Ь) Пусть х, у, л — декартовы координаты в Из. Найдите потенциал А однородного магнитного поля В, направленного вдоль оси Ол, при соблюдении каждого (в отдельности) из следующих дополнительных требований: поле А должно иметь вид (О, Ая, 0); поле А должно иметь вид (А„О, 0); поле А должно иметь вид (А„А„, 0); поле А должно быть инвариантно относительно поворотов вокруг оси Ог.
с) Покажите, что выбор потенциала А, удовлетворяющего дополнительному требованию 17 А = О, сводится к решению уравнения Пуассона, точнее к отысканию скалярной функции у1, которая при заданной скалярной функции 1 удовлетворяет уравнению уф = 7. д) Покажите, что если потенциал А статического магнитного поля В выбрать так, что ~7 А = О, то он будет удовлетворять следующему векторному уравнению Пуассона: йА = — — ~-2.
Таким образом, привлечение потенциалов еос позволяет свести отыскание электростатических (задача 3) и магнитостатических полей к решению уравнения Пуассона. 13. Известна следующая теорема Гельмгольиа0: любое гладкое в области В евклидова ориентированного пространспьва Кз поле Р можно раэлохсить в сумму Р = Р1 + Рз беэвихревого полл Рь и солсноидального полл Рз. Покажите, что построение такого разложения можно свести к решению некоторого уравнения Пуассона.
14. Пусть данная масса некоторого вещества переходит из состояния, характеризуемого термодинамическими параметрами Ц, Ро, (То), в состояние И, Р, (Т). Предположим, что процесс протекает медленно (квззистатически) и идет по пути 7 плоскости состояний (с координатами 17, Р). В термодинамике доказывается, что величина Я = ) -2и, где б16 — форма теплообмена, зависит 6О только от начала (Ц, Ро) и конца ()7 Р) пути, т. е.
после фиксирования одной иэ этих точек, например (17о, Ро), Я становится функцией состояния (Ъ;Р) рассматриваемой системы. Эта функция называется энтропией системы. а) Выведите отсюда, что форма ы = -у- является точной, причем ы = дЯ. 6о Ь) Используя указанный в задаче 6 2 1 гл. ХП1 вид формы дЯ для идеального газа, найдите энтропию идеального газа. 3 4. Примеры приложений Чтобы показать введенные выше понятия в работе, а также пояснить физический смысл формулы Гаусса — Остроградского — Стокса как ОГ. Л.
Ф. Гельмгольц (1821 — 1894) — немецкий физик и математик, один из первооткрывателей общего закона сохранения энергии. Кстати, именно он впервые четко разделил понятия силы и энергии. 356 ГЛ. Х1Ч. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ закона сохранения, мы рассмотрим здесь в качестве иллюстрации вы- вод некоторых важных уравнений математической физики. 1. э'равнение теплопроводности. Изучается скалярное поле Т = Т(х, у,з,1) температуры наблюдаемого тела как функция точки (х, у, г) тела и времени 1.
В результате теплообмена между различными частями тела поле Т может как-то меняться. Однако это изменение не произвольно, а подчинено определенному закону, который мы и хотим в явном виде выписать. Пусть Р— некоторая объемная часть наблюдаемого тела, ограниченная поверхностью о'. Если в Р нет источников тепла, то изменение внутренней энергии содержащегося в Р вещества может происходить только в результате теплообмена,т.е. в данном случае путем переноса энергии через границу 5 области Р.
Подсчитав отдельно изменение внутренней энергии в объеме Р и поток энергии через поверхность о', мы на основе закона сохранения энергии приравняем эти величины и получим нужное соотношение. Известно, что для увеличения на ЬТ температуры однородной массы т требуется тепловая энергия в количестве стпЬТ, где с — удельная теплоемкость рассматриваемого вещества. Значит, если за промежуток времени Ь1 наше поле Т изменилось на величину ЬТ = Т(х, у, г,1+ + ЬФ) — Т(х, у, з,1), то внутренняя энергия в области Р изменилась на величину срЬТ Л~, в где р = р(х, у, я) — плотность вещества.
Из эксперимента известно, что в достаточно большом диапазоне изменения температур количество тепла, протекающее в результате теплообмена через выделенную в теле площадку до = пйт за единицу времени, пропорционально потоку — уаг) Т . Йт поля — ятями Т через эту площадку (Игам берется по пространственным переменным х, у, з). Коэффициент я пропорциональности зависит от вещества и называется его коэ44ициентом теплопроводности. Знак минус перед птаха Т отвечает тому, что энергия переходит от более нагретых частей тела к менее нагретым.
Таким образом, за промежуток времени Ы через границу о области Р в сторону внешней нормали пройдет следующая 14. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ ср — сй' = йузйТ йг. В Я м на ф нкцию Т. Считая Т до- Э то раве нство и является уравнением н фу раз ьз я о мулу аус- статочно гладкой, прео раз бразуем равенство (3), испол у ф р са — Остроградского: ср — Л' = йг(йдгас1Т) дК В В и области В, очевидно, следует,что Отсюда ввиду произвольности дT ср — = Йч(й ягас( Т). (4) дй т интег ального равенстМы получили дифференциальный вариант и р ва (3).
ки (или стоки) тепла, интенсивЕсли бы в области Р были источники силн с Р х г Ф, то вместо равенства ~3~ ность котор х торых имела бы плотность (х, у, г, ), т мы должны были бы написать равенство ср — сЛ1 = йуаАТ сйт+ ГЙЪ~, в 5 и тогда вместо (4) мы получили бы уравнение дT ср — = оЫ(К Игаб Т) + г". (4') И и о но одным в смысле его тепло- Е ело считать изотропным и однород ели т " и авнение 1 пре- проводности, то коз ффициент Й будет постоянной и ур образуется к сл д следующему каноническому виду: — =а ЬТ+1, дФ (3) (3') (5) знергия (с точностью до о( )): (,'11П Ь1 — йуайТ до. (2) 5 Приравнивая величину ( ) 1 ко взятои " с противоположным знаком еел пиЬФ вЂ” ~0, ения на Ьг и перехода к пределу при величине (2) после деления получаем 358 ГЛ.
Х1У. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ где 1" = —,„а~ = —,, — ноэ44ициент температуропроводности. Уравр 2 й пение (5) называется обычно уравнением теплопроводности. В случае установившегося режима теплообмена, когда поле Т не зависит от времени, это уравнение превращается в уравнение Пуассона (6) где у = — —,|, а если еще и тепловых источников в теле не было, то 1 получается уравнение Лапласа ЬТ= О. (7) Решения уравнения Лапласа, как уже отмечалось, называют гармоническими 4унннилми. В теплофизической интерпретации гармонические функции отвечают установившимся температурным полям в телах, тепловые потоки в которых идут без стоков и источников в самих телах, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
