1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 63
Текст из файла (страница 63)
а) Пусть теперь у,д е С(Р, Н), т. е. 1, д — непрерывные вещественнозначные в Р функции. Покажите, что верна следующая «теорема Коши«: найдется точка с е Р такая, что д(Я) / ~(х) Йх = Я) / д(х) «1х. Ь) Пусть Р— компактная область с гладкой границей дР, а у,д — два гладких векторных поля в Р. Покажите, что найдется такая точка с е Р, что «11««д(С) г1иху = Жну(с) г1пхд, до до где Г!пх — поток векторного поля через поверхность дР. дп 3 3. Потенциальные поля 1.Потенциал векторного поля Определение 1. Пусть А — векторное поле в области .0 с Р'. Функция У: Р— «К называется потенциалом полл А в области Р, если в этой области А = дга«1 У.
Определение 2. Поле, обладающее потенциалом, называется потенциальным полем. Поскольку в связной области частные производные определяют функцию с точностью до константы, то в такой области потенциал поля определен с точностью до аддитивной постоянной. В первой части курса мы уже вскользь говорили о потенциале. Здесь мы обсудим это важное понятие несколько подробнее. Отметим в связи с данными определениями, что в физике при рассмотрении разного рода силовых полей потенциалом поля лд обычно называют такую функцию У, что х = — яга«1 У.
Такой потенциал отличается от введенного определением 1 только знаком. Пример 1. Напряженность г' гравитационного поля, создаваемого помещенной в начало координат точечной массой М, в точке пространства, имеющей радиус-вектор г, вычисляется по закону Ньютона в виде 340 ГЛ. Х1Н. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ где т = (т!. Это сила, с которой поле действует на единичную массу в соответствующей точке пространства. Гравитационное поле (1) потенциально. Его потенциалом в смысле определения 1 является функция У = См —. 1 т (2) Пример 2. Напряженность Е электрического поля точечного заряда д, помещенного в начало координат, в точке пространства, имеющей радиус-вектор т, вычисляется по закону Кулона е т з 4теа тз Таким образом, такое электростатическое поле, как и гравитационное поле, потенциально.
Его потенциал ~о, в смысле физической терминологии, определяется соотношением я 1 Ф= 47гео т 2. Необходимое условие потенциальности. На языке дифференциальных форм равенство А = Ега11 У означает, что юл — — й ф = = 11У, откуда вытекает, что 11ь1А — — О, 1 (3) дА* дА — — г,у =1,...,и, дх3 дх' ' (3') что попросту означает равенство смешанных производных д~У д~У дх' дх1 дх1 дх' ' В декартовых координатах ш14 — — 2 А'ох', поэтому равенство (3) 1=1 и соотношения (3') действительно в этом случае равносильны.
поскольку с1за ~~ = О. Это необходимое условие потенциальности поля А. В декартовых координатах оно имеет совсем простое выражение. Если А = (А1,...,А") и А = игаса У, то в декартовых координатах А = †,, 1 = 1,...,п, и при достаточной гладкости потенциала У дУ (например, непрерывность вторых частных производных) должно быть 13. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ 341 В случае жз по определению ротора еЬол~ — — о~~, ~, поэтому необходимое условие <3) потенциальности поля А для Нз можно переписать в виде гоСА = О, что соответствует уже знакомому нам соотношению гог 3тас1 сг = О.
Пример 3. Заданное в декартовых координатах пространства н~ поле А = <х,ху,хух) не может иметь потенциал, так как, например, арам) ~ дх Пример 4. Рассмотрим поле А = <А,Аи) вида <4) А= хз+ уз хз+ уз заданное в декартовых координатах во всех точках плоскости, кроме начала координат. Необходимое условие потенциальности -д-*- — †-3-Я дА, дА У х здесь выполнено. Однако, как мы сейчас убедимся, зто поле не потенциально в области своего определения. Таким образом, необходимое условие (3) или, в декартовых координатах, условия (3'), вообще говоря, не являются достаточными для потенциальности поля. 3. Критерий потенциальности векторного поля Утверждение 1. Непрерывное в области Р С К" векторное поле А потенциально в Р тогда и только тоеда, ковда его ииркуллцил <работа) на любом лежащем в Р замкнутом пути у равна нулю: <5) А дв=О. ~ Необходимость.
Пусть А = 3гад Р. Тогда по формуле Ньютона — Лейбница <3 2, формула (3')) А дв = 5г(у(Ь)) — Р'<у<а)), где у: (а, Ь] -+ Р. Если у<а) = у(Ь), т. е. когда путь .у замкнутый, очевидно, правая, а вместе с ней и левая часть последнего равенства обращаются в нуль. 342 ГЛ. Х1У. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ Достаточность.
Пусть условие (5) выполнено. Тогда интеграл по любому (не обязательно замкнутому) пути в области Р зависит только от его начала и конца, а в остальном от пути не зависит. Действительно, если П и уз — два пути с общим началом и концом, то, пройдя сначала пУть Т4, а затем пУть — -~з, (т. е. Уз в обРатном напРавлении), мы получим замкнутый путь Т, интеграл по которому, с одной стороны, в силу (5) равен нулю, а с другой стороны, есть разность интегралов по у~ и уз.
Значит, зти интегралы действительно равны. Фиксируем в Р некоторую точку хе и положим теперь (6) Цх) = А дя, хО где справа стоит интеграл по любому пути, идущему в области Р из точки хе в точку х Е Р. Проверим, что определенная так функция У является искомым потенциалом поля А. Для удобства будем считать, что в К" взята декартова система координат (х',..., х").
Тогда А сЬ = = А~ дх' +... + А" Нх". Если от точки х прямолинейно сместиться на вектор йе;, где е, — орт соответствующей координатной оси, то при зтом функция У получит приращение У(х+Ье,) — У(х) = А'(х',...,х' ',г,х'+',...,х")сМ, х' равное интегралу от формы А дл по указанному пути перехода из х в х+ Ае,.
Ввиду непрерывности поля А последнее равенство по теореме о среднем можно записать в виде Щх+ Ле,) — 0(х) = А'(х~,...,х' ~,хс + 06,х'~',...,х")6, где О < О < 1. Поделив зто равенство на Ь и устремив Ь к нулю, получаем дУ дх' т.е. действительно А = ягаб У. > Замечание 1. Как видно из доказательства, для потенциальности поля А достаточно, чтобы условие (5) выполнялось для гладких 13. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ 343 путей или, например, хотя бы для ломаных, звенья которых параллель- ны координатным осям. Теперь вернемся к примеру 4. В свое время (см. пример 1 3 1 гл.
УП1) мы подсчитали, что циркуляция поля (4) на окружности х2 + у2 = 1, пробегэемой один раз против часовой стрелки, равна 2я(ф 0). Таким образом, на основании утверждения 1 можно заключить, что поле (4) не потенциально в рассматриваемой области К2 ~ О. Но ведь, например, У 1' У х и, казалось бы, функция агс$я Е~ является потенциалом поля (4). Что это — противоречие?! Противоречия пока нет, поскольку единственный правильный вывод, который следовало бы в этой ситуации сделать, состоит в том, что функция агсГЕ " не определена во всей области ж2 '1 О.
И это действительно так: возьмите, например, точки оси Оу. Но тогда, скажете вы, можно рассмотреть функцию у(х, у) — полярный угол точки (х, у). Практически это та же функция агсГЕ 2, но ~о(х, у) определена и при х = О, лишь бы точка (х, у) не совпадала с началом координат. Всюду в области ж~ '1 0 с6р = — г~х + ду. Д х х2+У2 х2+р2 Однако и теперь противоречия никакого нет, хотя сейчас уже ситуация более деликатная. Обратите внимание на то, что 12 на самом-то деле не является непрерывной однозначной функцией точки в нашей области К2 '1 О.
При обходе точки вокруг начала координат против часовой стрелки ее полярный угол, непрерывно меняясь, увеличится на 2я, когда точка вернется в начальное положение. То есть мы приходим в исходную точку не с тем же, а с новым значением функции. Следовательно, либо надо отказаться от непрерывности ~р в области К2 '10, либо надо отказаться от однозначности ~р. В малой окрестности (не содержащей начала координат) каждой точки области К2 '1 0 можно выделить непрерывную однозначную ветвь функции ~р. Все такие ветви отличаются лишь на аддитивную постоянную, кратную 2я.
Именно поэтому все они имеют одинаковый дифференциал и могут служить локальными потенциалами нашего поля (4). Тем не менее во всей области К2 '1 0 поле (4) потенциала не имеет. 344 ГЛ. Х1У. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ Разобранная на примере 4 ситуация оказывается типичной в том смысле, что необходимое условие (3) или (3') потенциальности поля А локально является и достаточным. Имеет место э'тверждение 2. Если необходимое условие потенциальности поля вьтолняется в некотором шаре, то в этом шаре поле имеет потенциал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
