1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 67
Текст из файла (страница 67)
е. источники тепла находятся вне тела. Например, если на границе др тела $' поддерживать заданный тепловой режим Т~ = т, то со временем температурное поле в теле $' стабилизируется в виде некоторой гармонической функции Т. Такая интерпретация решений уравнения Лапласа (7) позволяет предугадать ряд свойств гармонических функций. Например, надо полагать, что гармоническая в области ~' функция не может иметь внутри этой области локальных максимумов, иначе бы из этих более нагретых участков тепло только утекало и они бы охлаждались вопреки предположению о том, что поле стационарно. 2.
Уравнение неразрывности. Пусть р=р(х, у,х,1) — плотность некоторой материальной среды, заполняющей наблюдаемое пространство, а и = и(х, у, х,1) — поле скоростей движения среды как функция точки (х, у, з) пространства и времени 1. Исходя из закона сохранения количества вещества, пользуясь формулой Гаусса — Остроградского, укажем взаимосвязь этих величин. Пусть Р— область в наблюдаемом пространстве, ограниченная поверхностью з.
За промежуток времени Ы количество вещества в области й изменяется на величину з 4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ 359 Если в области Р не было источников и стоков, то в силу закона сохранения количества вещества Ьр Л' = — Ь~ ро дсг или в пределе при Ь1 — ~ 0 — сЛ~ = — ро йг. Применяя к правой части этого равенства формулу Гаусса — Остроградского и учитывая, что Р— произвольная область, заключаем, что для достаточно гладких функций р, о должно выполняться соотноше- ние — = — йч(ри), др д1 (8) называемое уравнением неразрывности сплошной среды.
В векторных обозначениях уравнение неразрывности запишется в виде — +~7 (ро)=0, др дФ (8') или, в более развернутом виде, — + о . ~7р+ р~7 о = О. др д1 (8") Если среда несжимаема (жидкость), то объемный расход среды через замкнутую поверхность Я должен быть нулевым: о сит=О, За малый промежуток времени Ы поток вещества через поверхность Я в сторону внешней нормали к Я равен (с точностью до о(Ь1)) величине 360 ГЛ. Х1У. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ откуда (на основании той же формулы Гаусса- Остроградского) следу- ет, что для несжимаемой среды йчп = О.
Значит, для несжимаемой среды переменной плотности (вода и масло) уравнение (8") приводится к виду — + е ~7р = О. др д1 (10) Если среда еще и однородна, то ~7р = О, и потому ВЕ = О. д (Р— а)р~Л" — рйт = О. 3. Основные уравнения динамики сплошной среды. Выведем теперь уравнения динамики движущейся в пространстве сплошной среды. Наряду с уже рассмотренными выше функциями р, е, которые и здесь будут обозначать плотность и скорость среды в данной точке (х, у, х) пространства в момент времени 1, рассмотрим давление р = р(х, у, г, 1) как функцию точки пространства и времени.
Выделим в пространстве, занятом средой, область Р, ограниченную поверхностью д, и рассмотрим силы, действующие на выделенный объем среды в фиксированный момент времени. На каждый элемент рсЛГ массы среды могут действовать некоторые силовые поля (например, гравитационное). Эти поля создают так называемые массовые силы. Пусть г' = Г(х, у, г,1) — плотность создаваемых внешними полями массовых сил.
Тогда со стороны таких полей на элемент массы р Л' действует сила г р сЛ1. Если указанный элемент в рассматриваемый момент времени имеет ускорение а, то по закону Ньютона это эквивалентно наличию еще массовой силы инерции, равной -арсй'. Наконец, на каждый элемент йг = пйт поверхности д со стороны частиц среды, соседних с попавшими в Р, действует поверхностная сила — рдо, вызванная давлением (здесь п — внешняя нормаль к Я). По принципу Даламбера в каждый момент движения любой материальной системы все силы, приложенные к ней, включая и силы инерции, взаимно уравновешиваются, т.е. их равнодействующая должна быть равна нулю. В нашем случае это означает, что 14.
ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ 361 (г — а) р с1$' — вегас(р с($' = О, откуда ввиду произвольности области Х), очевидно, следует, что ра = рг' — ягас1р. (12) В таком локальном виде уравнение движения среды вполне соответствует уравнению Ньютона движения материальной частицы. Ие Ускорение а частицы среды есть производная И1 от скорости п этои частицы. Если х = х(1), у = у(г), х = г(с) — закон движения частицы в пространстве, а п = о(х, у, я, с) — поле скоростей среды, то для любой индивидуальной частицы получаем й> до до с1х до с1у до сЬ а= — = — + — — + — — + —— с1с дФ дх с1с ду с1с дя с1г дп а = — + (о ~)п.
дс Таким образом, уравнение движения (12) приобретает следующую форму: сЬ 1 — = г' — — ягас1 р с1с р или до 1 — + (о ~7)о = г' — — ~7р. дс р (14) Уравнение (14) обычно называется зидродинамическим уравнением Эйлера. Первый член этой суммы есть равнодействующая массовых сил и сил инерции, а второй дает равнодействующую давления на поверхность Я, ограничивающую рассматриваемый объем. Мы для простоты считаем, что имеем дело с идеальной (не вязкой) жидкостью или газом, в которых давление на площадку с1сг имеет вид рс1сг, где число р не зависит от ориентации площадки в пространстве.
Применяя формулу (10) из 6 2, на основании равенства (11) получаем 362 ГЛ. Х1У. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ Векторное уравнение (14) равносильно системе трех скапярных уравнений на три компоненты вектора и и еще на пару функций р, р. Таким образом, уравнение Эйлера еще не вполне определяет движение идеальной сплошной среды. К нему, правда, естественно добавить уравнение неразрывности (8), но и тогда система еще будет недоопределена. Чтобы движение среды стало определенным, к уравнениям (8) и (14) следует добавить еще информацию о термодинамическом состоянии среды (например, уравнение состояния 1(р, р, Т) = 0 и уравнение на теплообмен).
Представление о том, что могут дать эти соотношения, читатель получит из следующего заключительного пункта этого параграфа. 4. Волновое уравнение. Рассмотрим теперь движение среды, соответствующее распространению в ней звуковой волны. Ясно, что такое движение тоже подчиняется уравнению (14), но благодаря специфике явления это уравнение в данном случае можно упростить.
Звук есть чередующиеся состояния разрежения и уплотнения среды, причем отклонения давления от его среднего значения в звуковой волне очень малы — порядка 1%. Поэтому звуковое движение состоит в малых отклонениях элементов объема среды от положения равновесия, совершаемых с малыми скоростями. Однако скорость распространения возбуждения (волны) по среде соизмерима со средней скоростью движения молекул среды и обычно значительно превышает скорость теплообмена между различными частями рассматриваемой среды.
Таким образом, звуковое движение объема газа можно рассматривать как малые колебания около положения равновесия, совершаемые без тепло- обмена (адиабатический процесс). Ввиду малости самих макроскопических скоростей и, пренебрегая в уравнении движения (14) членом (и ~7)в, получаем равенство Если по той же причине пренебречь членом вида фв, то последнее равенство приводится к уравнению 14. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ 363 Применив к нему оператор '~7 (по координатам х, у, 2), получим д — (~7 ри) = ~7 рУ' — Ьр. дс Используя уравнение неразрывности (8') и введя обозначение "у ру' = — Ф, приходим к уравнению а'р г =Ф+~р. дС2 (15) Если влиянием внешних полей можно пренебречь, то уравнение (15) сводится к соотношению дг — = Ьр дс2 (1б) между плотностью и давлением в звучащей среде.
Поскольку процесс адиабатический, уравнение состояния Др, р, Т) = О сводится к некотод ~ д рому соотношению р = у1(р), из которого следует, что — к = ф'(р) — к + дс дс д ~2 + уг'(р) (Я) . Ввиду малости колебания давления в звуковой волне можно считать, что ф'(р) = ф'(ро), где рв — равновесное давление. Тогда уо = О и — к - 4'(р) — Е. Учитывая это, из (16) получаем окончадс дс тельно — =а Ьр, дР г дсг (17) а'р — = а Ьр+7, дс2 (18) которое при 7' ф О называют неоднородным волновым уравнением. где а = (ф'(ро)) 'С~.
Это уравнение описывает изменение давления в среде, находящейся в состоянии звукового движения. Уравнение (17) описывает простейший волновой процесс в сплошной среде. Оно называется однородным волновым уравнением. Величина а имеет простой физический смысл: это скорость распространения звукового возбуждения в данной среде, т.е. скорость звука в ней (см. задачу 4). В случае вынужденных колебаний, когда на каждый элемент объема среды действуют некоторые силы, объемная плотность распределения которых задана, уравнение (17) заменяется соответствующим уравнению (15) соотношением Зб4 ГЛ. Х1Ч. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ Задачи и упражнения 1. Пусть поле скоростей и движущейся сплошной среды потенциально. Покажите, что если среда несжимаема, то потенциал р поля и является гармонической функцией, т.
е. Оар = 0 (см. (9)). 2. а) Покажите, что уравнение Эйлера (14) можно переписать в виде ди /1,1 1 — + яга4 ~-и~) — и х гаси = г' — — ксавер д1 12 ) Р (см. задачу 1 к б 1). Ь) Проверьте, исходя из полученного в а) уравнения, что безвихревое течение (гоСи = 0) однородной несжимаемой жидкости возможно только в потенциальном поле г". с) Оказывается (теорема Лагранжа), если в какой-то момент течение в потенциальном поле г = ягаб У было безвихревым, то оно было и будет безвихревым всегда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
