1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 69
Текст из файла (страница 69)
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ Пример 3. Опираясь на результат (14) примера 2, из определения (15) находим 2! е" Л е" (хз,хз) = —,',А(е" $8$ е")(хз,хз) = е" (х1) е" (х1) е" (х2) е" (х2) $$ $2 1 1 х" х'з 2 2 (16) Пример 4. Используя полученное в примере 3 равенство, соотношение (14) и определения (11), (15), можно написать, что е" Л (е" Л е")(хз,хз,хз) = (1+ 2)! )А(е*' З (е" Л е"))(хз,хз,хз) = 3! (хз )(е Л е )(хзг хзз) 1 2 3 2 х1~ $!3$1213 12З = $$ =Х1 $$ 1 хгз 1 Аналогичная выкладка показывает, что еб Л (езг Л егз) (е$$ Л егг) Л егз Используя разложение определителя по столбцу, на основании принципа индукции заключаем, что е" (х1) е'" (х1) е" Л...
Л е'"(х1,..., хз) = (18) е" (хз) е" (хз) причем, как видно из проведенных выкладок, формула (18) справедлива для любых 1-форм е",..., е'" (не обязательно базисных форм простран- ства Х*). х$2 х$3 х" Х2 2 $$1 $2 $3 .$2 2 з з з , зз Х1 + $$ зз хз з хгг х$3 х12 х12 х$2 хзз зз 23 $2 $3 1 1 хз' хгз 2 2 $$ х2 х' з хгг 1 $2 2 х$2 з зз Х2 х'3 з з1. АЛГЕБРА ФОРМ Учитывая перечисленные выше свойства тензорного произведения и альтернирования форм, получаем следующие свойства внешнего произведения кососимметрических форм: (аг~ + агз ) Л аг = ш1 Л аг + агз Л аг г (19) (Лы ) Лаг = Л(аг Лаг')г (20) ы Лы =( — 1) ы Лы, (21) (ы Лаг)Лш™=аг Л(аг Лаг™). (22) аг = Аы = а,, А(е" З...
З е" ) = — а,, е" Л... Л е'". гг ..лг ° ° ° — гг ..лг Используя уже доказанные равенства (19), (20), теперь для доказательства равенств (21), (22) их достаточно проверить лишь для форм вида е" Л... Л е" . Ассоциативность (22) для таких форм уже установлена равенством (17). Из равенства (18) и свойств определителей для указанных специальных форм немедленно получаем соотношение (21). ь Заодно мы показали, что любая форма аг Е Й" может быть представлена в виде а„,,е" Л... Л е'". Е (23) 1<0«.,.гг<в Итак, множество 11 = (11~) кососимметрических форм на векторном пространстве Х относительно линейных операций (3), (4) и внешгггпг Х него умножения (15) является градуированной алгеброй гг = ® й". в=а Линейные операции на й выполняются в пределах каждого линейного пространства й~, и если аг" Е 11", аг' Е 11', то ы" Л аг' Е й"+'.
В прямой сумме Щ й~ суммирование ведется от нуля до размерности пространства Х, поскольку кососимметрические формы аг": Х" -+ -+ И, степень которых выше размерности линейного пространства Х, обязательно тождественно равны нулю, что видно из соотношения (21) (или из соотношений (23) и (18)). м Равенства (19), (20), очевидно, следуют из соотношений (6) — (8) и (12), (13).
Из соотношений (10) — (14) и (17) для любой кососимметрической формы ы = а;,;,е" З... З е" получаем 3. Линейные отображения линейных пространств и сопряженные отображения сопряженных пространств. Пусть Х и У вЂ” линейные пространства над полем Ж вещественных чисел (или над любым иным, но одним и тем же для Х и У полем) и пусть 1: Х -+ — + У вЂ” линейное отображение Х в У, т.е. для любых х,хм х2 Е Х и любого числа Л Е К выполнено 1(х1 + х2) = Цх1) + 1(хз) и 1(Лх) = Л1(х).
(24) Линейное отображение 1: Х вЂ” > У естественным образом порождает сопряженное с ним отображение 1": .РР -+ Гл множества Уу заданных на У полилинейных форм в аналогичное множество Ух. Если Уф— я-форма на У, то по определению (25) Из (24) и (25) видно, что 1*Г" есть )с-форма Г" на пространстве Х, т.е. 1*(У+) с У+~. Более того, если форма Рф была кососимметрической, то форма ((*Гу~) = Г~ь тоже кососимметрическая, т.е. 1*(й~~) С й~~.
Отображение)* в пределах каждого линейного пространства Уф или Й~у, очевидно, линейно,т.е. 1*(Р, + Г2) =1'Р~" +1*Р2 и 1*(ЛГ") = Л1'Г". (26) Сопоставляя теперь определение (25) с определениями (5), (11), (15) тензорного произведения, альтернирования и внешнего произведения форм, заключаем, что Пример 5. Пусть еь..., е — базис в Х, еь..., е„— базис в У, а 1(е,) = с,'е~, 1 Е (1,...,т), 2 Е (1,...,п1. Если И-форма Г~ь в базисе еь..., е„имеет координатное представление ь где 5, з, = Р, (е „..., е „), то 372 ГЛ.
ХН. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ (1 ГР)(хь..., хь):= Ру(1хь...,1хь). 1*(Г" ~ Г ) = (1*Г ) 3 (1'Р ), 1" (АГг) = А(1*Г"), 1'(ьР Л ыв) = (1'юр) Л (ГшЯ). (1 Г1 )(хь...,хь) = а,,;„х, ... х„, ь Ь ц (27) (28) (29) 11. АЛГЕБРА ФОРМ 373 где а„;л = Ь1! лс1,'.... с,", поскольку а;, „=: (1*гУ)(ел„...,е;л):= ГУ(1е1„...,1е1л) = й 1'! - 3л-, й — —, 1'! 1л = гУ(с, е,,...,с,л е „) = РУ(е „...,е л)с;, ... сл (1'е7)(х) = (1'е7)(х'ел) = е'(хЧе1) = хле1(с, ел) = = х*с1 е' (ел) = хлс~ел = с,'тл = с! ел(х).
Пример Т. Сохраняя обозначения примера 6 и учитывая соотнощения (22), (29), теперь получаем Г(е"! Л... Л е7л) = !*с"! Л... Л е'л = = (сРе") Л... Л (с1ле'л) = с" ... с" е" Л... Л елл = л! лл л1 ' ' ' ' ' лл с," е" Л... Л е'л. 1<л!«...1л(т Принимая во внимание равенства (26), отсюда можно сделать вывод, что вообще 51! „е"! Л... Л езл 1<1! «... !л <!! Я! л! С1л $! е" Л...Леля = с~' с7' лл лл '<'!«" 'л< л<л!«..ллял а;, 1ле" Л... Ле'л. Е 1(лл(...<л1,(т Пример 6.
Пусть е1,..., е и е1,..., е" — базисы сопряженных пространств Х*, У", взаимные (или сопряженные) с указанными в примере 5 базисами пространств Х и У соответственно. В условиях примера 5 получаем 374 ГЛ. ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ Задачи и упражнения 1. Покажите на примерах, что, вообще говоря, а) РьЗР' фР~ЗРь; Ь) А(г" З Р') ф АРь З Аг', с) если Р", Р' Е П, то не всегда Рь З Р' В П. 2. а) Покажите, что если еы..., е„— базис линейного пространства Х, а линейные функции е',..., е" на Х (т. е. элементы сопряженного к Х прост- ранства Х") таковы, что еэ(е,) = б~, то е',..., е" — базис в Х'. Ь) Проверьте, что из й-форм вида е" З...
З е'" можно образовать базис пространства Уь = Уь(Х) и найдите размерность (с1ппУь) этого пространс- тва, зная, что АХ = и. с) Проверьте, что из форм вида е" Л ... Л е'ь можно образовать базис пространства Пь = Пь(Х) и найдите бпп П~, зная, что йт Х = п. б) Покажите, что если П = ® П", то бпп П = 2". я=о 3. Внеплнлл (грассманоеаО) алгебра С над линейным пространством Х и полем Р (обозначаемая обычно символом /~(Х) в соответствии с символом Л операции умножения в С) определяется как ассоциативная алгебра с едини- цей 1, обладающая следующими свойствами: 1' С порождается единицей 1 и Х, т.е.
любая подвлгебра в С, содержащая 1 и Х, совпадает с С; 2' х Л х = 0 для любого вектора х Е Х; 8о 1 С 2дппх а) Покажите, что если ем..., е„— базис в Х, то совокупность 1, еь..., е„, е~ Лез,...,е„1 Ле„,...,е1Л...Ле„элементов С вида е;, Л...Ле;„=: еп где 1 = (1~ < ... < 1ь) С (1, 2,..., и), образует базис в С. Ъ) Исходя из полученного в а) результата, можно провести следующее формальное построение алгебры С = /1(Х). Для указанных в а) подмножеств 1 = (1ы...,1ь) множества (1,2,...,п) образуем формальные элементы еп (отождествляя е(;1 с е;, а еи с 1), кото- рые примем за базис линейного пространства С над полем Р. Умножение в С определим формулой с аге71 (~~ бхе,у1 =') ага|с(1,,У)егох, г /1з / цх О Г.
Грассман (1809 — 1877) — немецкий математик, физик и филолог; ему, в частности, принадлежит первое систематическое построение учения о многомерном линейном и евклидовом векторном пространствах, а также само определение скалярного произведения векторов. Ь 2. МНОГООБРАЗИЕ 375 где в(1, д) = вяп П 0 — 1). Проверьте, что при этом получается грассманова жгдез алгебра /1(Х). с) Докажите единственность (с точностью до изоморфизма) алгебры Л(Х). ь=п о) Покажите, что алгебра /~(Х) градуирована: /1(Х) = ® /1 (Х), где я=о /1 (Х) — линейная оболочка элементов вида е;, Л... Л е;„; при этом, если а Е е Д~(Х), а 6 е /1~(Х), то а Л Ь й /1~~~(Х). Проверьте, что а Л Ь = ( — 1)"ЯЬ Л а. 4.
Пусть А: Х вЂ” з У вЂ” линейное отображение пространства Х в пространство 1'. Покажите, что существует единственный гомоморфизм /1(А): /((Х) -+ /1(У) из Д(Х) в /1(У), совпадающий с А на подпространстве /1'(Х) С С /1(Х), отождествляемом с Х. Ь) Покажите, что гомоморфизм /~(А) переводит /1" (Х) в /1" (У). Ограничение Д(А) на /1 (Х) обозначают через /1 (А). с) Пусть (е,; з = 1,..., т) — базис в Х, а (е; 1 = 1,..., н) — базис в У, и пусть оператору А в этих базисах отвечает матрица (а'.). Покажите, что если (еп 1 С (1,..., т)), (еа; д С (1,..., н) ) — соответствующие базисы пространств /~(Х) и /1(У), то матрица оператора /1 (А) имеет вид а~~ — — оеь(а'.), г Е 1, / Е .1, где сага 1 = сагс1,У = Ь. а) Проверьте, что если А: Х -+ У, В: У вЂ” ~ Я вЂ” линейные операторы, то справедливо равенство /1(В ь А) = /1(В) ь /1(А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
