1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Свойство точек Кз принадлежать одной орбите, очевидно, является отношением эквивалентности на Кз, и орбиты являются классами эквивалентных в этом смысле точек. Область в Ж~, содержащая по одной точке каждой орбиты, называют фундамент льной 12. МНОГООБРАЗИЕ 381 обласгпью данной группы автоморфиэмов (уточнение см. в задаче 5д)). В нашем случае в качестве фундаментальной области можно взять полосу ширины ~а~, ограниченную двумя параллельными прямыми, ортогональными вектору а.
Следует только учесть, что сами эти прямые получаются друг из друга сдвигом на а и — а соответственно. В пределах ортогональной а полосы ширины, меньшей чем ~а~, нет эквивалентных точек, поэтому все орбиты, имеющие представителей в такой полосе, однозначно наделяются координатами своих представителей. Так фактор-множество и'(Т орбит данной группы Т„превращается в многообразие. Из сказанного выше о фундаментальной области легко понять, что это многообразие гомеоморфно цилиндру, который получается склеиванием по эквивалентным точкам граничных прямых полосы ширины )а(.
Пример 9. Пусть теперь а и Ь вЂ” пара ортогональных векторов плоскости й' и Т ь — группа сдвигов, порожденная этими векторами. Фундаментальной областью в данном случае будет прямоугольник со сторонами а, Ь. В пределах этого прямоугольника эквивалентными будут лишь точки, лежащие на его противоположных сторонах.
После соответствующей склейки сторон фундаментального прямоугольника убеждаемся, что возникающее многообразие и'(Т„ь гомеоморфно двумерному тору. Пример 10. Рассмотрим еще группу С,д движений плоскости й', порожденную следующими преобразованиями: а(х,у) = (х + 1, 1 — у), Ь(л,у) = (л,у+ 1). Фундаментальной областью для группы С, ь будет единичный квадрат, горизонтальные стороны которого отождествляются по точкам, лежащим на одной вертикали, а боковые стороны квадрата отождествляются по точкам, симметричным относительно его центра. Таким образом, возникающее многообразие К~/С„д оказывается гомеоморфно бутылке Клейна (см.
гл. ХП, 8 1). Мы не останавливались здесь на полезных и важных примерах, которые были разобраны в 8 1 гл. ХП. 2. Гладкие многообразия и гладкие отображения Определение 7. Атлас многообразия называется гладким (класса С~ь) или аналитическим), если все функции замены координат для 382 ГЛ. ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ карт данного атласа являются гладкими отображениями (диффеоморфизмами) соответствующего класса гладкости. Два атласа данной (одной и той же) гладкости считаются эквивалентными, если их объединение является атласом той же гладкости. Пример 11.
Атлас, состоящий из единственной карты, можно считать сколь угодно гладким. Рассмотрим в этой связи на прямой К~ один атлас, порожденный тождественным отображением К1 Э х + ~ у(х) = х Е К', а другой атлас — порожденный любой строго монотонной функцией К~ Э х + Дх) Е К', отображающей К1 на К1. Объединением этих атласов будет атлас, который, очевидно, имеет наименьшую из гладкостей функций ~р и ф В частности, если ~р(х) = хз, то атлас из карт 1х,хз) не является гладким, так как ~о ~(х) = х~~~. Используя сказанное, можно построить на К1 бесконечно гладкие атласы, объединение которых будет атласом наперед заданного класса гладкости С~~). Определение 8. Гладким многообразием (класса С~ь), аналитическим) называется многообразие М с заданным на М классом эквивалентности атласов данной гладкости.
После этого определения понятна следующая терминология: тоно- логическое многообразие (класса С~в)), многообразие класса С~ь), аналитическое многообразие. Для того, чтобы задать весь класс эквивалентности атласов данной гладкости на многообразии М, достаточно задать любой атлас А иэ этого класса эквивалентности. Таким образом, можно считать, что гладкое многообразие есть пара (М, А), где М вЂ” многообразие, а А— атлас данной гладкости на М. Совокупность эквивалентных атласов данной гладкости на многообразии часто называют структурой данной гладкости на этом многообразии. На одном и том же топологическом многообразии могут существовать различные гладкие структуры даже одной и той же гладкости (см.
пример 11 и задачу 3). Рассмотрим еще несколько примеров, в которых мы обратим основное внимание на гладкость функций замены координат. Пример 12. Одномерное многообразие КР', называемое вещественной проективной прямой, есть пучок прямых в К~, проходящих через начало координат, с естественным отношением близости прямых 12 МНОГООБРАЗИЕ 383 (измеряемой, например, величиной меньшего угла между прямыми). Каждая прямая пучка однозначно определяется ненулевым направляющим вектором (х1, х ), причем два таких вектора задают одну и ту же прямую в том и только в том случае, когда они коллинеарны. Значит, КР' можно рассматривать как совокупность классов эквивалентных упорядоченных пар (х, х ) вещественных чисел.
При этом по крайней мере одно из чисел пары должно быть отлично от нуля, и две пары считаются эквивалентными (отождествляются), если они пропорциональны. Пары (х1,х2) обычно называют однородными координатама на ЯР'. Используя интерпретацию КР' в однородных координатах, легко построить атлас из двух карт на ЯР1. Пусть У„2 = 1,2 — те прямые (классы пар (х1, х2)) из ЯР1, для которых х' ф О. Каждой точ- 23 ке (прямой) р Е У1 взаимно однозначно соответствует пара (1, — *), х определяемая числом 121 — — — *. Аналогично точки района У2 находятх х 1 ся во взаимно однозначном соответствии с парами вида ( ~, 1) и за- 2' 1 х даются одним числом 121 — — —. Таким образом, в У1 и У2 возникают 2' локальные координаты, которые, очевидно, соответствуют введенной выше в ЯР1 топологии.
В общей области У1 й У2 действия построенных локальных карт вводимые ими координаты связаны соотношениями 12~ = (11) 1,21~ = (12~) 1, показывающими, что построенный атлас принадлежит не только классу С(ОО1, но даже является аналитическим. Полезно иметь в виду также следующую интерпретацию многообразия ЯР1 . Каждая прямая исходного пучка прямых вполне определяется точкой пересечения с единичной окружностью. Но таких точек ровно две, причем они являются диаметрально противоположными точками окружности.
Близость прямых равносильна близости соответствующих пар точек окружности. Значит, ИР1 можно интерпретировать как окружность с отождествленными (склеенными) диаметрально противоположными точками. Если взять только полуокружность, то на ней окажется лишь одна пара отождествляемых точек — концы полу- окружности. Склеив их, мы получим снова топологически окружность. Таким образом, ЯР1 как топологическое пространство гомеоморфно окружности. Пример 13.
Если рассмотреть теперь пучок прямых, проходящих через начало координат в 1кз, или, что то же самое, совокупность 384 ГЛ. ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ классов пропорциональных упорядоченных троек (х', х2, хз) вещественных чисел, не обращающихся в нуль одновременно, то мы получим веизественную проективную плоскость Есз. В районах с!1, с!2, У~, где соответственно х' ~ О, х2 ~ О, хз ф О, вводятся локальные системы координат (1, — *, — *) = (1,221,231) (41~,21~), ( — *, 1, — 2) = (22,1,22) (22 22) ~* * ) = (2з зз 1) (зз 23) которые очевидно связаны ~х х между собой соотношениями 22 = (2') ',2,' = ф2!~) ', относящимися к общим частям районов действия локальных карт.
Например, переход от координат ®21) к координатам (22~,2~2) в области У! П Уз выражается формулами 23 23 (22) — 1 21 (22) — 1 Пример 14. Совокупность всех прямых на плоскости !к2 можно разбить на два множества: У вЂ” невертикальные прямые, 1~ — негоризонтальные прямые. Каждая прямая из У имеет уравнение вида у = = и1х + из и тем самым характеризуется координатами (и1,и2), в то время как любая прямая из И имеет уравнение х = о! у + оз и задается координатами (о1,оз). Для прямых из пересечения У П Г действуют функции преобразования координат о! — — и!1, оз = — изи1 и и1 = о! из = — озо 1.
Таким образом, рассматриваемое множество наделяется аналитическим атласом из двух карт. 2 Якобиан этого преобразования равен — (221) 3 и, поскольку 121 — — *— , х он определен и отличен от нуля в точках, отвечающих точкам рассматриваемого множества У! Г! У2. Итак, МР2 — двумерное многообразие, обладающее аналитическим атласом из трех карт. По тем же соображениям, что и в примере 12, где была рассмотрена проективная прямая ЯР~, проективную плоскость КР~ можно интерпретировать как двумерную сферу о2 С !кз с отождествленными диаметрально противоположными точками или как полусферу с отождествленными диаметрально противоположными точками граничной окружности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
