1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 75
Текст из файла (страница 75)
7 Таким образом, в области параметров карты (К, ~р;), где ~р, есть отображение р = ~р,(х,), возникает точка х;(~о) = ~р, '(ро) и вектор (, = хг(«о) Е ТР" ~ ). В другой такой карте (с77, ~р ) это будут соответственно точка х7(1а) = ~р 1(ро) и вектор С = х,(1о) Е ТИ", . Естественно считать, что это координатные выражения в различных картах того, что мы хотели бы назвать касательным вектором с к многообразию М в точке ро б М. 398 ГЛ. ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ Между координатами хь х действуют гладкие взаимно обратные функции перехода х; = »р~;(х ), х = »р; (х;), (1) в результате чего пары (х;($9), С;), (х (19), ~ ) оказываются связанными соотношениями х»(10)»р1»(хб (10) ) ~ х» (10)»р»3 (х» (19) ) ~ 6 = 'Р1т(хз(10))б~ б» = Юх (10)М' (2) (3) Равенства (3), очевидно, вытекают из формул х (1) = '4( 1(1))х1(1) ' (1) ='4( '*(1))х (1) получающихся из (1) в результате дифференцирования. Определение 1.
Будем говорить, что задан вектор с, касательный к мноеообразию М в точке р е М, если в каждом пространстве ТР.,", касательном к К" в точке х,, отвечающей точке р в области параметров карты (Н», »р;), где Н» 3 р, фиксирован вектор С„причем так, что выполняются соотношения (3). Если злементы матрицы Якоби»р'ч отображения»р; записать в яв- 8 8 ном виде — »(, то получаем, таким образом, следующую явную формулу а*1 связи двух координатных представлений одного и того же вектора (: »» я С," = ~~» — '(~, /с =1,2,...,п, (4) т=1 о где частные производные вычисляются в соответствующей р точке х = рг'(р). Обозначим через ТМр совокупность векторов, касательных к многообразию М в точке р б М. Определение 2. Если линейную структуру на множестве ТМр ввести, отождествляя ТМр с соответствующим пространством Т3Р, (ТН, "), т.е.
суммой векторов из ТМр считать вектор, координатное представление которого в ТЩ (ТН",) отвечает сумме координатных 63. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 399 представлений слагаемых, и аналогично определить умножение вектора на число, то получаемое при этом линейное пространство обозначает- ся обычно одним из символов ТМр, Тр(М) и называется касательным пространством к мноеообразию М в точке р б М. Из формул (3), (4) видно, что введенная в ТМр линейная структура не зависит от выбора индивидуальной карты, т.е.
в этом смысле определение 2 корректно. Итак, мы определили касательное пространство к многообразию. Интерпретации касательного вектора и касательного пространства могут быть различными (см. задачу 1). Например, одной из таких интерпретаций является отождествление касательного вектора с линейным функционалом.
Это отождествление основано на следующем наблюдении, которое мы сделаем в Ж". Каждый вектор С б ТЮ, есть вектор скорости, отвечающий некоторому гладкому пути х = х(ь), т.е. ~ = хф~ь — ~„причем хо = х(ьо). Это позволяет определить производную Р4Дхо) в точке хо по вектору с е ТЩ от гладкой функции ~, заданной в Р." (или в окрестности точки хо). А именно: Н Р~Дхо):= — (1 о х)(1) М ь=сь (5) т. е. (6) где ('(хо) — касательное к ~ отображение (дифференциал )') в точке хр. Функционал Р4.
С(')(И", И) — ~ К, сопоставляемый формулами (5), (6) вектору ( Е ТР.,"„очевидно, линеен по 1". Из формулы (6) видно также, что величина Ре~(хо) при фиксированной функции ~ линейно зависит от С, т.е. сумме векторов отвечает сумма соответствующих линейных функционалов, а умножение вектора ~ на число отвечает умножение функционала Р~ на это же число. Таким образом, между линейным пространством ТВ.", и линейным пространством соответствующих линейных функционалов Р4 имеется изоморфизм. Остается определить линейный функционал Р~, указав набор его характеристических свойств, чтобы получить новую, но, конечно, изоморфную прежней, интерпретацию касательного пространства ТУ.„".
400 ГЛ. ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ Заметим, что, кроме указанной выше линейности, функционал Р~ обладает следующим свойством: РеЦ д)(хо) = Р~~(хо) д(хо) + У(хо) Ред(хо) (7) Это закон дифференцирования произведения. В дифференциальной алгебре аддитивное отображение а ~-+ а' кольца А, удовлетворяющее соотношению (а Ь)' = а' Ь+ а Ь', называют дифференцированием (точнее, дифференцированием кольца А). Таким образом, функционал Ре . .СО)(К",К) -+ И является дифференцированием кольца С(1)(К", К).
Но Р~ еще и линеен относительно линейной структуры пространства СО) (К", К). Можно проверить, что линейный функционал 1: С~ ~(К",К) -+ К, обладающий свойствами ~(о1+ Ы = о~(У) + М(д), о, 9 Е 2, ЦУ д) =ЦУ)д(хо)+У(хо)~(д), (8) (9) имеет вид Р~, где С Е Т яу".. Таким образом, касательное пространство ТК,". к К" в точке хо можно трактовать как линейное пространство функционалов (дифференцирований) на С(' )(Б.'ь, К), удовлетворяющих условиям (8), (9). Базисным векторам еь..., е„пространства Т3Ц, отвечают функционалы Р,,у'(хо) = — е~(х) вычисления соответствующей частной де ~в=хо производной от функции 7" в точке хо.
Таким образом, при функциональной интерпретации пространства ТЩ можно сказать,что функционалы ~ — 1-,..., — ~~~ образуют базис Тес;ь. (д~ '''''д Если С = (с1,..., С") Е Т лс;ь, то соответствующий вектору С оператор Р~ имеет вид Ре — — с ь д дс Совершенно аналогично касательный вектор с к и-мерному многообразию М класса С~ ) в точке ро Е М можно интерпретировать (или определить) как элемент пространства дифференцирований 1 на С~ ~(М,К), обладающих свойствами (8), (9), при этом в соотношении (9) хо, естественно, заменяется на ро и тем самым функционал 1 связывается именно с точкой ро Е М. Такое определение касательного вектора ~ и касательного пространства ТМр, формально не требует привлечения локальных координат и в этом смысле, очевидно, инвариантно. В координатах (х,',..., х,") локальной карты (Ц, ~р;) оператор 1 ~3.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 401 имеет вид С1 — 1- + ... + (,"д-гг — — Рб. Набор чисел (С1,...,СР) естес'дх, ' ' х, твенно называется координатами касательнозо вектора г Е ТМР, в координатах карты (Ц, г)г,). Координатные представления одного и того же функционала ( Е ТМР, в картах (()„(о,), (с(, грд) в силу законов дифференцирования связаны соотношениями которые, естественно, повторяют соотношения (4). 2. Дифференциальная форма на многообразии.
Рассмотрим теперь пространство Т*МР, сопряженное к касательному пространству ТМР, то есть Т*МР есть пространство линейных вещественнозначных функционалов на ТМР. Определение 3. Пространство Т'Мр, сопряженное пространству ТМР, касательному к многообразию М в точке р Е М, называется кокасательным пространством к мноеообразию М в точке р. Если многообразие М вЂ” класса С( ), ( Е С( )(М,К), а (4 — отвечающее вектору С Е ТМР дифференцирование, то при фиксированной функции у Е С('"')(М, К) отображение ( г-+ (4 (', очевидно, будет элементом пРостРанства Т'Мр. В слУчае М = К" полУчаетсЯ С + Р4У(Р) = = ~'(р)С, поэтому построенное отображение С + г4 (, естественно, называется дифференциалом функции ( в точке р и обозначается обычным символом г(( (р).
Если ТК", (или ТН", при р Е дМ) — пространство, отвегга (Р) (р) чающее в каРте (()а,гд ) многообРазиЯ М касательномУ пРостРанству ТМР, то пространство Т*К",, сопряженное к ТК",, естес'Ра (Р) Ра (Р)' твенно считать изображением (представителем) пространства Т*МР в этой локальной карте. В координатах (х',...,х,",) локальной карты (сга,г(га) базису 1 —,,...,— „1 пространства ТКп г (или ТН", Р '(Р) 'Ра (Р) если р Е дМ) отвечает взаимный с ним базис (дх~,..., дх") в сопряженном пространстве. (Напомним, что сгх'(С) = С', поэтому дх' ~ —.( = о а г 1 д А г ~дх ( Выражения этих взаимных базисов в другой карте (У)г, г)гд) могут оказаться не столь простыми, ибо .
= *".., дх,'„= х'."дхо.) 402 ГЛ. ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ Определение 4. Говорят, что на гладком и-мерном многообразии М задана дифференциальная форма а3 степени т, если на каждом касательном к М пространстве ТМр, р Е М, определена кососимметрическая форма а3 (р): (ТМр) -+ К.
Практически это означает, всего-навсего, что в каждом пространстве Тиа, (или ТН", ), отвечающем пространству ТМр в карте 3* 00 3ъ.'(г) ' (Уа, ~О ) МНОГООбраЗИя М, Задаыа СООтнстетауЮщая т-фОрМа а3 (Х ), ГдЕ Ха = да~(р). ТО, ЧтО дВЕ таКИЕ фОрМЫ а3а(Ха), а333(Х33) яВЛяЮтея представителями одной и той же формы а3(р), выражается соотноше- нием а3а(ха)((Ыа~ ° ° ° ~ Ытп)а) = а30(хз)((Ы3» Ыт)д)~ (10) В котоРом ха, хл — пРедставители 'ГОчки Р Е М, а (~3)а,...,((,а)а, (С3),у,..., (С,„)д — представители векторов Сц..., С,„Е ТМ„в картах (К„ уа),(с30,330) соответственно. В более формальной записи это означает, что (3') (4') Ха Р,9а (Х33), С = ~Р,'~ (х33)(д, х33 33а,9 (ха) ~ Рд = 33',~(х )с, а3 (х ) = р*„~(х )а333(хд), (10') где а и 11 — равноправные индексы (которые можно поменять местами) /дт3 '3 Матрица (с3) отображения ~р'д(х ) известна: (с,') = ~ ~-) (х ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
