1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 77
Текст из файла (страница 77)
ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ суммы. Дифференциалом такой формы является п-форма дш; = ( — 1)' ' — '. (х) Нх' А... Л дх". дх' (20) Для карты вида ~о: 1 -+ У оба интеграла в (18) от соответствующих форм (19), (20) равны нулю: первый потому, что оиррсч С 1, а второй — по той же причине, если учесть теорему Фубини и соотноше- 1 ние ) — о-*, дх' = а,(1) — а;(0) = О. Этим заодно исчерпывается случай, о дх когда дМ = о. Таким образом, остается проверить равенство (18) для карты у: Х -+ У. Если г > 1, то и для такой карты оба интеграла равны нулю, что следует из приведенных выше соображений. Если же 1= 1, то ю1 = ю1 = (х)пх ...пх и и 1 1 1 1 ,(х)дх" дх ...дх" = о о о 1 1 а1(1,х~,...,х") сЬ~...Нх" = ю1 = юь о о дП дИ По поводу доказанной теоремы сделаем некоторые замечания.
Замечание 1. В формулировке теоремы ничего не говорится о гладкости многообразия М и формы ш. В таких случаях обычно подразумевают, что каждый из этих объектов имеет гладкость С('о). Из доказательства теоремы видно, однако, что формула (18) верна и для форм класса С(2) на многообразии М, допускающем формы такой гладкости. Итак, при п > 1 формула (18) доказана. Случай п = 1 совпадает с формулой Ньютона — Лейбница, если принять, что концы о, )3 ориентированного отрезка [а, 11) отмечаются знаками а и Д, а интеграл от 0-формы д(х) по такой ориентированной точке полагается равным — д(а) и +д()3) соответственно. > 13, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 409 Замечание 2. Из доказательства теоремы, как, впрочем, и из самой формулы (18), видно также, что если впррю — компакт, лежащий строго внутри М, т.е.
варрон П дМ = И, то ) йл = О. М Замечание 3. Если М вЂ” компактное многообразие, то для любой формы а на М ее носитель ларри, как замкнутое подмножество компакта М, является компактом. Следовательно, в этом случае любая форма ы на М является финитной и имеет место равенство 118). В частности, если М вЂ” компактное многообразие без края, то для любой гладкой формы на М имеет место равенство ) й ~ = О. М Замечание 4.
Для произвольных 1не финитных) форм ю на многообразии, не являющемся само по себе компактом, формула (18), вообще говоря, не имеет места. Рассмотрим, например, знакомую нам форму ш = -* — " — -" — *- в крухг+ уг гоном кольце М = 1(х,у) Е йг ~ 1 ( хг + уг < 2), наделенном стандартными декартовыми координатами. В этом случае М вЂ” компактное двумерное ориентированное многообразие, край дМ которого состоит иэ двух окружностей С, = 11х, у) Е йг ~ хг + уг = 1), г = 1, 2. Поскольку скл = О, то по формуле (18) находим, что О= йл= аг — а, М сг с1 где обе окружности С1 и Сг пробегаются против часовой стрелки. Мы знаем, что ю= ю=2я~О. с, с, Значит, если вместо М рассмотреть многообразие М = М 1 Сь то дМ=Сг и йл = О ф 2я = ю.
дМ Задачи и упражнения 1. а) Два гладких пути у;: И -+ М, г = 1, 2, на гладком многообразии М назовем касающимисл в точке р Е М, если уг(О) = уг(О) = р н в каждой 410 ГЛ. ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ локальной системе координат дп Е"(Н") -р Н, район Н действия которой содержит точку р, выполняется соотношение )у ' о у1(1) — у ' о "уг(1)) = о(1) при 1 — + О.
(21) Покажите, что если равенство (21) выполнено в одной иэ указанных систем координат,то оно будет выполнено и в другой такой же локальной системе координат гладкого многообразия М. Ь) Свойство путей касаться в некоторой точке р е М является отношением эквивалентности на множестве гладких путей, проходящих на М через точку р. Класс эквивалентности по этому отношению назовем пучком касаюи4ихсл пдтеб в точке р Е М. Установите намеченное в г 3, п.1 взаимно однозначное соответствие между векторами пространства ТМр и пучками касающихся в точке р Е М путей.
с) Покажите, что если пути ум уг касаются в точке р е М, а у б С< 0 (М, Е), то д) Покажите, как каждому вектору ( Е ТМр сопоставляется функционал 1 = 14(= Ре): с~ ~(м,е) -+ к, обладающий свойствами (8), (9), где хв = р. Обладающий этими свойствами функционал назовем дифференцированием в точке р к М. Проверьте, что дифференцирование 1 в точке р есть локальная операция, т.е. если ум)г Е С~ ~ и у1(х) = Ях) в некоторой окрестности точки р, то 1у1 = 1уг ° е) Покажите, что если х',..., х" — локальные координаты в окрестности точки р, то 1 = 2'(1х,) —,, где —,, — операция вычисления частной производд д дх' ' дх' ной по х' в точке х, отвечающей точке р.
(Указание. Запишите функцию Дц<р~. М -+ К в локальных координатах; вспомните, что для функции 1 Е С~ ~(Н",ж) имеет место разложение у(х) = ДО) + 2 х'д,(х), где 1=1 д; б С1~~ (ж", и) и д,(0) = -(1(0), 1 = 1,..., п.) 1) Проверьте, что если М вЂ” многообразие класса С~ ~, то линейное пространство дифференцирований в точке р б М иэоморфно построенному в п. 1 настоящего параграфа пространству ТМр, касательному к М в точке р. 2. а) Если в каждой точке р е М гладкого многообразия М фиксирован вектор С(р) б ТМр, то говорят, что на многообразии М задано векторное иоле. Пусть Х вЂ” векторное поле на М. Поскольку в силу предыдущей задачи любой вектор Х(р) = С б ТМр можно интерпретировать как дифференцирование в соответствующей точке р, то по любой функции ( й С~"'~(М, К) можно построить функцию Ху(р), значение которой в любой точке р Е М вычисляется применением Х(р) к у, т.
е. дифференцированием у по вектору Х(р) вЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 411 поля Х. Поле Х на М называется гладким (класса С! !), если для любой функции 1 б С! !(М,й) функция Ху тоже принадлежит классу С! 1(М,В). Дайте локальную координатную запись векторного поля и эквивалентное приведенному, но координатное определение гладкого (класса С! !) векторного поля на гладком многообразии. Ь) Пусть Х и У вЂ” два гладких векторных поля на многообразии М. Для функций 1 Е С! !(М,Н) построим функционал: [Х,Щ:= Х(Уу) — У(Х1). Проверьте, что [Х, У] — тоже гладкое векторное поле на М. Оно называется скобкой Пуассона векторных полей Х и У. с) Наделите гладкие векторные поля на многообразии структурой алгебры Ли.
3. а) Пусть Х и ш — гладкое векторное поле и гладкая 1-форма на гладком многообразии М. Пусть ыХ означает применение ш к вектору поля Х в соответствующих точках многообразия М. Покажите, что шХ вЂ” гладкая функция на М. Ь) Учитывая задачу 2, покажите, что имеет место следующее соотношение: д!о'(Х, У) = Х(ш'У) — У(!о'Х) — ы'([Х, У]), где Х, У вЂ” гладкие векторные поля, д!о! — дифференциал формы !о!, д!о! (Х, У) †применен д!о' к парам связанных с одной точкой векторов полей Х, У. с) Проверьте, что в общем случае формы ш порядка т справедливо соотношение в!-!-! д!о(Х!,...,Х +!) = ~ ( — 1)'+'Х!ш(Х!,...,Х„...,Х +!)+ !=! + ~ ~( — 1)'+хы([Х!,Х1],Х!,...,Х!,...,Х,,...,Х в!), !ц!<!<тил-! где символ отмечает выпускаемый член, [Х,,Х ] — скобка Пуассона полей Хц Х, а Х!!о — дифференцирование функции ы(Х!,..., Х!,..., Х в!) по векторам поля Х,.
Поскольку скобка Пуассона определена инвариантно, то полученное соотношение можно расценить как довольно сложное, но инвариантное определение оператора д! й -+ й внешнего дифференцирования. д) Пусть ы — гладкая т-форма на гладком и-мерном многообразии М. Пусть (с!,...,с +!)! — векторы в К", отвечающие в карте !р,: й" — > С С М векторам С!,..., С ь! Е ТМр. Обозначим через П, образованный векторами (с!,..., с +!); в н" параллелепипед, и пусть ЛП; — параллелепипед, натянутый на векторы (Л~!,..., Л( .ь!),. Образы !р,(П!), во!(ЛП!) этих параллелепипедов в М обозначим через П и ЛП соответственно. Покажите, что 1 д!о(р)(с!,...,с„,+!) = 1пп, ы.
в1лп> 412 ГЛ. ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 4. а) Пусть у: М -+ 1У вЂ” гладкое отображения гладкого т-мерного многообразия М в гладкое и-мерное многообразие Х. Используя интерпретацию касательного вектора к многообразию как пучка касающихся путей (см. задачу 1), постройте индуцируемое отображением у отображение у (р): ТМр -+ -+ Тмпрр Ь) Покажите, что отображение (, линейно и запишите его в соответствующих локальных координатах многообразий М и 1У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
