1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Та~а ким образом, если "'а(ха) = „~~ ~ап,...д ~ 4ха Л... Л Мха (11) 3<0«...~„<а где, как обычно, <р33а и ~оа33 являются соответственно функциями р 3 а а Зад, 33~' а 33 преобразования координат, а касательные к ним отображЕНИя 330~ —— . (3333 )„р' д —— . (33 л), ОСущЕСтВЛяЮт ИЗОМОрфИЗМ Касательных к К" (Н") пространств в соответствующих точках ха, х,3. Как было сказано в 31, п. 3, сопРЯженные отобРажениЯ (~Рд~а)' =: 33,*~а, (р' )* =; 33* осуществляют при этом перенос форм, и соотношение (10) в точности означает, что 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 403 и Ь., Йх~' Л... Л Йхз (12) 1Я1«- ь<~(п то в соответствии с формулой (30) из 3 1 получаем, что а„„, дх" Л...
Л дх' 1<0 «...1т(п д(1~ ь) , (х )дх" Л...Лдх'„™, и 1«., ...«, . д х,..., х 1<П «,,.4 ~~<а (13) а,,; (х„)дх" Л...Лдх„ 'оа — '1оа~ 1(0«...в„,<п в любой карте (К„~р„) атласа, задающего на М гладкую структуру, являются функциями соответствующего класса С(~).
Из формулы (13) видно, что определение 5 корректно, если само многообразие М имеет гладкость класса С~~+'); например, когда М есть многообразие класса С~<с~. где 3+ — +, как всегда, означает определитель матрицы из соответствующих частных производных. Итак, различные координатные выражения одной и той же формы ы получаются друг из друга прямой заменой переменных (с раскрытием соответствующих дифференциалов координат и последующими алгебраическими преобразованиями в соответствии с законами внешнего умножения). Если условиться форму ю считать переносом заданной на многообразии формы ш в область параметров карты (У, у ), то естественно писать, что ш = у'м и считать, что ш = у' о (р )"юд = д* о~д, где композиция ~р,*„о (~р, ~)" в данном случае играет роль формальной детализации отображения ф" д — — (у„,1 о у„)*.
Определение 5. Дифференциальная т-форма ш на и-мерном многообразии М принадлежит классу гладкости С®, если козффициенты а;,; (х„) ее координатного представления 404 ГЛ. ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 3. Внешний дифференциал Определение б. Внешним дифференциалом называется линейный оператор д: Йт — + Й™~~, обладающий следующими свойствами: 1' д: Йо -г Й1 на любой функции 1 Е Йо совпадает с обычным дифференциалом е() этой функции. 2' д: (огтг Л игтг) = дигтг Л и1тг + ( — 1)т'ог " Л й.г г, где ог ' б Й„', и~тг ~ Йтг ь 3' дз:= д о д = О. Последнее равенство означает, что для любой формы иг форма д(дог) нулевая.
Наличие требования 3' подразумевает, таким образом, что речь идет о формах гладкости не ниже чем класса С(~). Практически это означает, что рассматривается С1 1-многообразие М и оператор д, действующий из Й™ в Й™~1. Формула для вычисления оператора д в локальных координатах конкретной карты (а вместе с нею и единственность оператора д) вытекает из соотношения д ~ с;,.1 (х)дх" Л...Лдх* 1(гг«...г (и дс;,,1 (х) Л дх" Л...
Л дх' + 1<гг(,..(1, (и + ~1 с;,, д(дх1гЛ...Лдх' )=0 1<И«...гт<п (14) Существование оператора д вытекает теперь из того, что опреде- Для заданных на многообразии дифференциальных форм естественным образом (поточечно) определены операции сложения, умножения на число и внешнего умножения (в частности, умножения на функцию 1: М вЂ” + Я„которая по определению считается формой степени нуль). Первые две из этих операций превращают множество Йт т-форм класса С1~) на М в линейное пространство.
В случае я = оо это линейное пространство обычно обозначают символом Й™. Ясно, что внешнее произведение форм иг ' е Й„', ш"" Е Й, ' дает форму тг-~-тг т о,тг Л тг ~ Йтг.1-тг й 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 405 ур* = р*д оператора д и операции у* переноса форм. (15) 4. Интеграл от формы по многообразию Определение 7. Пусть М вЂ” и-мерное гладкое ориентированное многообразие, на котором координаты х1,..., х" и ориентация задаются одной картой ~р: Р -~ М с областью параметров Р, с К". Пусть ш — п;форма на М и а(х) дх Л... Лс1х" — ее координатное представление в области Р,. Тогда Г ш:= а(х) дх Л... Л дх", м в, (16) где слева стоит определяемый интеграл от формы ш по ориентирован- ному многообразию М, а справа — интеграл от функции а(х) по обла- стиР .
Если ~р~. Р~ -+ М вЂ” другой состоящий из одной карты атлас М, задающий на М ту же ориентацию, что и атлас ~р: Р, — > М, то якобиан с1еФ у'(1) функции х = у(1) преобразования координат всюду положителен в области Р,. Форме ш в Р~ отвечает форма ~р" (а(х) дх' Л... Л Йх") = а(х(1)) йе$1о'(1) сМ~ Л... Л ЙС™. По теореме о замене переменных в кратном интеграле имеет место равенство ленный в локальной системе координат соотношением (14) оператор удовлетворяет условиям 1', 2', 3' определения 6.
Из сказанного, в частности, следует, что если ш = у*ш и шд = = ~р,*ш †координатн представления одной и той же формы ш,т.е. ш„= ~р,*,дшв,то йи„и йов также будут координатными представлениями одной и той же формы (4ш), т.е. йо = у*, йыв. Таким образом, справедливо соотношение Й(р*, шв) = ~р„" (Йыв), что в абстрактной записи означает коммутативность 400 ГЛ. ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ показывающее независимость левой части соотношения (16) от выбора системы координат на М. Итак, определение 7 корректно. Определение 8. Носителем определенной на многообразии М формы ю называется замыкание множества тех точек л Е М, где ю(л) ~ О. Носитель формы ы обозначается символом вирра.
В случае О-форм, т. е. функций, мы уже с этим понятием встречались. Вне носителя координатное представление формы в любой локальной системе координат является нулевой формой данной степени. Определение 9. Заданная на многообразии М форма ю называется финитной формой если вирра~ — компакт в М. Определение 10. Пусть ш — финитная форма степени п на и- мерном гладком многообразии М, ориентированном атласом А. Пусть ~р,: Р; -+ У, ((К, ~р,), 1 = 1,..., т) — конечный набор карт атласа А, районы Уь..., У действия которых покрывают впрры, а еь...,еь— подчиненное этому покрытию разбиение единицы на вирра.
Повторяя некоторые карты по нескольку раз, можно считать, что т = Й и что вирр е, С У;, 1 = 1,..., т. Интегралом от финитной формы ю ~о ориентированному многообразию М называется величина (17) где у,'(е,ю) — координатное представление формы е;ш~п, в области Р, изменения координат соответствующей локальной карты. Докажем корректность этого определения. < Пусть А = (~ру: Р— ) У ) — другой атлас, задающий на М ту же гладкую структуру и ориентацию, что и атлас А, и пусть Оь..., О-, еь..., е- — соответствующее покрытие вирр м и подчиненное ему разбиение единицы на впрры.
Введем функции Ц = е,е, 1 = 1,...,т, 7' = 1,..., т, и положим ы,, = 7"; ш. Заметим, что вирр ю; С И~; = У, П У . Отсюда и из корректности определения 7 интеграла по задаваемому одной картой ориентирован- 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЪ| И ФОРМУЛА СТОКСА 407 ному многообразию вытекает, что ч, ~Ж~) ~~„'Жу| Суммируя эти равенства по 1 от 1 до т и по |' от 1 до т с учетом того, что 2, 1И = е, 2,' 1| = е;, получим интересующее нас тождест1=1 1=1 во. > 5. <Рормула Стокса Теорема.
Пусть М вЂ” ориентированное гладкое и-мерное многообразие им — гладкая финитная дифференциальная форма степени и— — 1 на нем. Тогда (18) ом м где ориентация края дМ многообразия М берется согласованной с ориентацией многообразил М. Если зке дМ = о, то ) йо = О. м ~ Без ограничения общности можно считать, что областями изменения координат |параметров) всех локальных карт многообразия М являются либо открытый куб 1 = (х б К" ~ О < х' < 1, | = 1,...,п), либо куб 1 = (х Е К" ( О < х" < 1 Л О < х' < 1, 4 = 2,...,п) с одной (определенной!) присоединяемой к кубу 1 гранью.
С помощью разбиения единицы утверждение теоремы сводится к случаю, когда вирра лежит в районе 11 действия одной карты вида у: 1 -+ 11 или у: 1 -+ 11. В координатах этой карты форма ы имеет вид ы = ~~> а,(х) дх Л... Л дх' Л... Л дх", где символ, как обычно, означает пропуск соответствующего множителя. В силу линейности интеграла утверждение достаточно доказать для одного члена ы, = а| |х) дх Л... Л дх' Л... Л дх" 408 ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
