1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Рассмотрим теперь координатные функции фх),..., 1,"(х) отображений гр, ': 11, — > 1, г = 1,..., т, и введем с их помощью на М следующие функции: ) (1 огр, )(х) ь';(х) при х б 1г'гг (О прях~У;, г=1,...,т; Й=1,...,п. В любой точке х Е М ранг отображения М Э х + у(х) = (у,',..., у",,..., у',..., у" )(х) Е гк '" максимален и равен и. Действительно, если х Е 1Р, то гр, (х) = 1 6 1', (огр (х) = 1 и у~(грЯ) = 1~г й = 1г... г п. Если, наконец, рассмотреть отображение М Э х г-+ У(х) = (у(х), 1 о о гр, '(х),..., ( о гр„~(х)) Е И '"~ь, полагая ( о гр, '(х) = 0 вне Ц, 1 = 1,...,т, то это отображение, с одной стороны, очевидно, будет иметь тот же ранг и, что и отображение х г-+ у(х), а с другой стороны, будет заведомо взаимно однозначным отображением М на образ М в К ' " .
Проверим последнее утверждение. Пусть р,г1 — различные точки М. Найдем область У,' иэ системы Я, 1 = 1,...,т), покрывающей М, которая содержит точку р. Тогда 1' о гр, ~(р) = 1. Если 1 о гр, '(г1) ( 1, то уже У(р) ф У(о). Если же 1 о гр, ~(о) = 1, то р,г1 Е 11„ 394 ГЛ. Хэ7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ у, (Р) = г (Р), у; (Ч) = г (ч) и г (р) Ф 1; (д) хотя бы для одного значения Й т (1,..., п). То есть и в этом случае У(р) ф у (д). > По поводу общей теоремы Уитни о реализации произвольного многообразия в виде поверхности в Р' читатель может обратиться к специальной геометрической литературе.
Задачи и упражнения 1. Проверьте, что вводимый определением 1 объект (многообразие) не изменится, если потребовать лишь, чтобы каждая точка х е М имела окрестность Н(х) С М, гомеоморфную открытому подмножеству полупространства Н". 2. Покажите, что а) многообразие С7 (и, К) из примера 6 некомпактно и имеет точно две связные компоненты; Ь) многообразие ЯО(и, К) (см. пример 7) связно; с) многообразие 0(п, К) компактно и имеет точно две связные компоненты.
3. Пусть (М, А) и (М, А) — многообразия с заданными на них гладкими структурами одной и той же степени гладкости С1"1. Гладкие многообразия (М, А), (М, А) (гладкие старуктуры) считаются изоморфными, если существует такое отображение 7': М -1 М класса С1ь1,которое имеет обратное отображение 7" ': М вЂ” > М того же класса гладкости СОО в атласах А, А. а) Покажите, что на и' все структуры одинаковой гладкости изоморфны. Ь) Проверьте высказанные в примере 11 утверждения и выясните, не противоречат ли они задаче а).
с) Покажите, что на окружности У (одномерной сфере) любые две С1 структуры изоморфны. Отметим, что это утверждение остается в силе и для сфер, размерность которых не превосходит 6, а уже на Я", как показал Милнор'1, существуют неизоморфные С1'"'Еструктуры. 4. Пусть Я вЂ” подмножество и-мерного многообразия М такое, что для любой точки ха Е Я найдется такая карта х = у(1) многообразия М, район Н действия которой содержит ха, а множеству ЯО(7 в области параметров 1 = (1',..., 1") карты у отвечает к-мерная поверхность, задаваемая соотношениями 1"е' = О,..., 1" = О.
В этом случае Я называется к-мерным подмнагаабразием многообразия М. а) Покажите, что на Я естественным образом возникает структура к-мерного многообразия, индупированная структурой многообразия М и име- ПДж. Мвлиор (род. 1931) — адин пэ наиболее крупных современных американских математиков; основные работы относятся к алгебраической топологии в топологии многообразий. е 2. МНОГООБРАЗИЕ 395 ющая ту же гладкость, что и гладкость структуры многообразия М. Ъ) Убедитесь в том, что к-мерные поверхности Я в И" в точности и являются к-мерными подмногообразиями К'. с) Покажите, что при гладком гомеоморфном отображении ~: и' -+ Тг прямой К' в тор Тг образ 1(К') может быть всюду плотным подмножеством Т' и в атом случае не будет одномерным подмногообразием тора, хотя и будет абстрактным одномерным многообразием. д) Проверьте, что объем понятия «подмногообразие» не изменится, если считать Я С М й-мерным подмногообразием и-мерного многообразия М в том случае, когда для любой точки хо 6 Я найдется локальная карта многообразия М, район П действия которой содержит хо, а множеству Я П П в области параметров карты отвечает некоторая к-мерная поверхность пространства К".
5. Пусть Х вЂ” хаусдорфово топологическое пространство (многообразие), а С вЂ” группа гомеоморфных преобразований пространства Х. Группа С называется дискретной группой преобразований пространства Х, если для любых (быть может, и совпадающих) точек хы хз Е Х найдутся такие их окрестности Ум Пг соответственно, что множество (д 6 С ~ д(1'») О Уз ф к1)— конечно. а) Отсюда следует, что орбита (д(х) й Х ~ д Е С) любой точки х 6 Х дискретна, а стабилиза«пор С, = (д 6 С ~ д(х) = х) любой точки х й Х конечен.
Ь) Проверьте, что если С вЂ груп изометрий метрического пространства Х, обладающая двумя указанными в а) свойствами, то С вЂ дискретн группа преобразований Х. с) Введите естественную структуру топологического пространства (многообразия)на множестве Х/С орбит дискретной группы С. «1) Замкнутое подмножество Р топологического пространства (многообразия) Х с дискретной группой С преобразований называют фундал«ентальной областпью еруппы С, если оно является замыканием открытого подмножества Х и если множества д(г"), где д Б С, не имеют попарно общих внутренних точек и образуют локально конечное покрытие пространства Х. Покажите на приведенных в основном тексте примерах 8 — 10, как фактор-пространство Х/С (орбит) группы С получается из Р «склеиванием» некоторых граничных точек.
6. а) Используя конструкции примеров 12, 13,постройте п-мерное вещественное проективное пространство ВР". Ь) Покажите, что КР" ориентируемо, если и нечетно,и неориентируемо, если и четно. с) Проверьте, что многообразия ЯО(3, К) и ИРз гомеоморфны. Т. Проверьте, что построенное в примере 14 многообразие действительно гомеоморфно листу Мебиуса. 396 ГЛ.
ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 8. а) Группа Лиц — зто группа С, наделенная структурой аналитического многообразия так, что отображения (дмде) ~+ д~ . дг, д '+ д ' являются аналитическими отображениями С х С и С в С. Покажите, что рассмотренные в примерах 6, 7 многообразия являются группами Ли. Ь) Топологическоя группа (или непрерывная группа) — зто группа С, наделенная структурой топологического пространства так, что групповые операции умножения и перехода к обратному элементу непрерывны как отображения С х С -+ С, С вЂ” + С в рассматриваемой топологии С.
На примере группы Я рациональных чисел покажите, что не всякая топологическая группа является группой Ли. с) Покажите,что каждая группа Ли является топологической группой в смысле данного в Ь) определения. е() Доказаног1, что любая топологическая группа С, являющаяся многообразием, есть группа Ли (т.е. С как многообразие допускает аналитическую структуру, в которой группа становится группой Ли). Покажите, что любое групповое многообразие (т.
е. любая группа Ли) является ориентируемым многообразием. 9. Система подмножеств топологического пространства называется локально конечной, если каждая точка пространства имеет окрестность, пересекающуюся лишь с конечным числом множеств системы. В частности, можно говорить о локально конечном покрытии пространства. Одна система множеств называется вписанной в другую, если любое множество первой системы содержится по крайней мере в одном из множеств второй системы. В частности, можно говорить о том, что одно покрытие некоторого множества вписано в другое такое покрытие. а) Покажите, что в любое открытое покрытие К" можно вписать открытое локально конечное покрытие К".
Ь) Решите задачу а) с заменой К" произвольным многообразием М. с) Покажите, что на ж" существует разбиение единицы, подчиненное любому наперед заданному открытому покрытию В". о) Проверьте, что утверждение с) остается в силе для произвольного многообразия. цС. Ли (1842 — 1899) — выдающийся норвежский математик, родоначальник теории непрерывных групп (групп Ли), которая имеет теперь фундаментальное значение в геометрии, топологии и математических методах физики; один иэ лауреатов Международной премии имени Лобачевского (награжден в 1897 г, за работу по применению теории групп к обоснованию геометрии). ~Это ответ на так называемую пятую проблему Гнльберта.
33. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 397 3 3. Дифференциальные формы и их интегрирование на многообразиях 1. Касательное пространство к многообразию в точке. Напомним, что каждому гладкому пути И Э Ф + х(1) Е И" (движению в И"), проходящему в некоторый момент ~о через точку хо = х(~о) Е Е И", мы сопоставили вектор ( = ((',...,~") мгновенной скорости: ~ = х(ь) = (х',..., х")(1о).
Совокупность таких векторов С, связанных с точкой хо Е И", естественно отождествляется с арифметическим пространством И" и обозначается символом ТИ", (или Т,(И')). В ТИ.," вводятся те же линейные операции над элементами ~ б ТИ", что и над соответствующими элементами линейного пространства И". Так возникает линейное пространство ТР.,",, называемое касательным пространством к И" е точке хо Е И". Забыв мотивировки и наводящие соображения, можно теперь сказать, что формально ТР."„есть пара (хо, И"), состоящая из точки хо Е е И" и связанного с нею экземпляра линейного пространства И". Пусть теперь М вЂ” гладкое н-мерное многообразие с атласом А класса гладкости не ниже, чем С~ц. Мы хотим определить касательный вектор ( и касательное пространство ТМр, к многообразию М в точке ро Е М. Воспользуемся для этого указанной выше интерпретацией касательного вектора как мгновенной скорости движения.
Возьмем гладкий путь И Э 1 + р(Ф) Е М на многообразии М, проходящий в момент 1о через точку ро = р(8о) Е М. Параметры карт (т.е. локальные координаты) многообразия М будем здесь обозначать буквой х, отмечая их снизу индексом соответствующей карты, а сверху номером координаты. Итак, в области параметров каждой карты (У;, р,), район Н, действия которой содержит точку ро, пути Т отвечает свой путь 1 «4 у,. ор(1) = х,(1) с И" (Н"), который является гладким по определению гладкого отображения И Э Ф «-+ р(г) Е М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
