1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 70
Текст из файла (страница 70)
2 2. Многообразие 1. Определение многообразия Определение 1. Хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой топологииь) называется н-мернььн многообразием, если любая его точка имеет окрестность 1/, гомеоморфную либо всему пространству К", либо полупространству Н" = (т. Е К" ~ ть ( 0). Определение 2. Отображение ~р: К" -+ (/ с М (или ~р: Н" -+ — ~ 1/ С М), осуществляющее указанный в определении 1 гомеоморфизм, называется локальной картой мнозообразил М, К" (Н") — областью параметров, а (/ — районом или областью действия карты на многообразии М.
Локальная карта наделяет каждую точку х Е (/ координатами соответствующей ей точки Ь = (а 2(х) Е К". Таким образом, в районе 1/ ПСм. гл. 1Х, 12, а также замечания 2, 3 настоящего параграфа. 376 ГЛ. ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ действия карты вводится локальная система координат, и потому отображение 1о или, в более развернутой записи, пара (11, у) в самом привычном смысле слова является картой района У. Определение 3.
Набор карт, районы действия которых в совокупности покрывают все многообразие, называется атиласом многообразия. Пример 1. Сфера Я2 = (х Е Кз ~ (х! = Ц является двумерным многообразием. Если 52 интерпретировать как поверхность Земли,то атлас географических карт будет атласом многообразия 52. Одномерная сфера Я" = (х Е К2 ~ ~х~ = Ц вЂ” окружность в К2, очевидно, является одномерным многообразием. Вообще, сфера Я" = = (х Е К"+' ~ ~4 = Ц является и-мерным многообразием. (См. гл, ХН, 1 1.) Замечание 1. Вводимый определением 1 объект (многообразие М), очевидно, не изменится, если вместо К" и Н" брать любые гомеоморфные К" и Н" области параметров в пространстве К".
Например, зто могут быть открытый куб 1" = (х Е К" ~ 0 < х' < 1, 1 = = 1,...,и) и куб с присоединенной к нему гранью 1" = 1х Е К" ~0 < < х" < 1 и 0 < х' < 1, 1 = 2,...,и). Такими стандартными областями параметров довольно часто пользуются. Нетрудно также проверить, что вводимый определением 1 объект не изменится, если потребовать лишь, чтобы каждая точка х Е М имела в М окрестность У, гомеоморфную некоторому открытому подмножеству полупространства Н".
Пример 2. Если Х вЂ” т-мерное многообразие с атласом карт )(К„у„)), а У вЂ” п-мерное многообразие с атласом (Я, фд)), то Х х х У можно рассматривать как (т+ и)-мерное многообразие с атласом ЦИ~„6, Х,цу)), где К~ д = 11а х $~~6, а отображение Х,„д = (Ро,фд) переводит в И~ о прямое произведение областей определения у и фа. В частности, двумерный тор Тз = У хУ (рис. 69) или и-мерный тор Т" = Я х ... х Я являются многообразиями соответствующей раз- 1 1 а Раз мерности.
Если районы Уь У~ действия двух карт (Уь ~р;), (111, у ) многообразия М пересекаются, т.е. 11; й У ф И, то между множествами 1," = ~ 2. МНОГООБРАЗИЕ 377 = Ф, 1У~), 1уч = 1о, '1У,) естественно устанавливаются взаимно обратные гомеоморфизмы р;: 1И -+ 17о ~р1;: 1; — 1 1;, где 1оь = 1о ' о ась~ 1о11 — — 1о, о ~Ру ~ . Эти гомеомоРфизмы часто называют фУнкЦиЯми за- -1 мены координап1, поскольку они осуществляют переход от одной системы локальных координат к другой такой же системе в общей области Ц Г1 01, их действия (рис. 96). Рис.
96. Определение 4. Число п в определении 1, называется размерностью многообразиа М и обычно обозначается символом йп1М. Определение 5. Если при указанном в определении 1 гомеоморфизме 1о: Н" -+ У точке х б У соответствует точка 1о 1(х) на границе дН" полупространства Н", то х называют точкой края многообразия М (и окрестности У). Совокупность всех точек края многообразия М называется краем этого многообразия и обычно обозначается символом дМ.
В силу топологической инвариантности внутренних точек (теорема Брауэра')) понятия размерности и точки края многообразия определены корректно, т.е. не зависят от используемых в определениях 4 и 5 '1Теорема утверждает, что при гомеоморфном отображении 1е: Е м 1с(Е) множества Е С й" на множество р(Е) С К" внутренние точки множества Е преобразуются во внутренниеточки множества фЕ). 378 ГЛ. ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ индивидуальных локальных карт. Теорему Брауэра мы не доказывали, но инвариантность внутренних точек относительно диффеоморфизмов нам хорошо известна (это следствие теоремы об обратной функции).
Поскольку в дальнейшем нам придется иметь дело именно с диффеоморфнзмами, мы не останавливаемся здесь на теореме Брауэра. Пример 3. Замкнутый шар В = 1х Е К" ~ (х( < Ц или, как говорят, замкнутый и-мерный диск является н-мерным многообразием, краем которого является (и — 1)-мерная сфера Я" ' = 1х Е К" ~ ~х~ = 1). Замечание 2. Многообразие М, множество точек края которого непусто, обычно называют многообразием с краем, оставляя термин многообразие (в собственном смысле слова) за многообразиями без края. В определении 1 эти случаи пе разделены. о'тверждение 1. Край дМ п-мерного многообразия с краем М является (и — 1)-мерным многообразием без края.
< Действительно, дН" = К" ~, а ограничение на дН" карт атласа многообразия М вида ~р;: Н" -+ У, порождает атлас дМ. > Пример 4. Рассмотрим плоский двойной маятник (рис.97),плечо а которого много меньше плеча 6и может вращаться свободно, а размах колебаний плеча 6 ограничен упорами. Конфигурация такой системы в любой конкретный момент характеризуется двумя углами о, д. Если бы ограничений не было, то конфигурационное пространство двойного маятника, очевидно, можно было бы отождествить с двумерным тором Тг = — 51 хя1 Рнс.
97. а д. При наличии указанных ограничений конфигурационное пространство двойного маятника параметризуется точками цилиндра Я' х 1', где Я' — окружность, отвечающая возможным положениям плеча а, а 1~р = (~3 Е К ~ ф~ < А ) — отрезок, в пределах которого может меняться угол 13, характеризующий положение плеча Ь.
В этом случае мы получаем многообразие с краем. Край этого мно- 1 2. МНОГООБРАЗИЕ 379 гообразия состоит из двух окружностей Я' х 1 — Ь), Яо х 1Ь), являющихся произведением окружности Я~ и концов 1 — Ь), (Ь) отрезка 1~~. Замечание 3. На рассмотренном примере 4 видно, что порой координаты на множестве М (в примере это а, Д) возникают естественным образом и они сами вводят на М топологию. Значит, в определении 1 многообразия нет нужды всегда заранее требовать, чтобы на М уже была топология. Суть понятия многообразия в том, что точки некоторого множества М параметризуются точками некоторого набора подобластей пространства И".
Между появляющимися при этом на частях М системами координат возникает естественная связь, которая выражается в отображениях соответствующих областей пространства К". Значит, можно считать, что М получается иэ набора областей пространства й" указанием закона отождествления их точек или, описательно говоря, путем указания закона их подклейки друг к другу. Итак, задать многообразие по существу означает задать набор подобластей К" и закон соответствия точек этих подобластей. На дальнейших уточнениях сказанного (формализации понятия склеивания или отождествления точек, введении топологии на М и т.п.) мы не задерживаемся. Определение 6.
Многообразие называется номнантнььн (связныж), если оно является компактом (связно) как топологическое пространство. Рассмотренные в примерах 1-4 многообразия компактны и связны. Край появившегося в примере 4 цилиндра Я1 х 1' состоит из двух независимых окружностей и является одномерным компактным, но несвязным многообразием.
Край Я" 1 = дВ и-мерного диска из примера 3 является компактным многообразием, которое связно при п > 1 и несвязно (состоит из двух точек) при п = 1. Пример 5. Само пространство К", очевидно, является связным, некомпактным многообразием беэ края, а полупространство Н" доставляет простейший пример связного некомпактного многообразия с краем. 1И в том, и в другом случае атлас можно взять состоящим из единственной карты, отвечающей тождественному отображению.) о'тверждение 2. Если многообразие М связно, то оно линейно связно. 380 ГЛ.
ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ ~ Фиксировав точку хо б М, рассмотрим множество Е, тех точек многообразия М, которые можно соединить с хо в пределах М некоторым путем. Множество Ю „как видно из определения многообразия, непусто, открыто и замкнуто в М. Но тогда Е, = М. ~ь Пример 6. Если каждой квадратной вещественной матрице по- 2 рядка и сопоставить точку пространства К", координаты которои получаются выписыванием в определенном порядке всех элементов матрицы, то группа СЬ(п, К) всех невырожденных матриц порядка и превращается в п~-мерное многообразие. Это многообразие некомпактно (элементы матриц никак не ограничены) и несвязно. Последнее вытекает из того, что Сй(п, К) содержит матрицы как с положительным, так и с отрицательным определителем.
Точки СЬ(п, К), отвечающие двум таким матрицам, нельзя соединить путем (на котором бы тогда появилась точка, соответствующая матрице, имеющей определитель, равный нулю). Пример 7. Группа ЯО(2, К) ортогонвльных преобразований плоскости Гя~, имеющих определитель, равный единице, состоит из масова в1па триц вида ( ) и,таким образом, может считаться мно— 81па сова ) гообрвзием, которое отождествляется с окружностью — областью изменения углового параметра а. Таким образом, ЯО(2, К) — одномерное компактное связное многообразие. Если допустить и отражения относительно прямых в плоскости К~, то мы получим группу 0(2, К) всех вещественных ортогональных матриц второго порядка.
Ее естественно можно отождествить с двумя различными окружностями, отвечающими матрицам с определителем 1 и — 1 соответственно. То есть 0(2, К)— одномерное компактное, но несвязное многообразие. Пример 8. Пусть а — вектор плоскости К~ и ҄— группа движений плоскости, порожденная вектором а. Элементами группы Т являются сдвиги на векторы вида па, где и Е К. Нод действием элементов д группы Т„каждая точка х плоскости смещается в точки д(х) вида х + па. Совокупность точек, в которые данная точка х б и~ переходит под действием элементов данной группы преобразований, называется орбитой этой точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
