1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Имеет место Теорема (лемма Пуанкаре). Если форма замкнута в шаре, то она и точна в нем. Здесь уже речь идет о шаре в К" и о форме любого порядка, поэтому утверждение 2 является простейшим частным случаем этой теоремы. Лемму Пуанкаре можно истолковать и так: необходимое условие (8) точности формы локально является и достаточным, т. е. для любой точки области, где выполнено условие (8), найдется такая ее окрестность, в которой форма ш точна. В частности, если векторное поле Ю удовлетворяет условию (7), то из леммы Пуанкаре следует, что по крайней мере локально оно является ротором некоторого векторного поля А.
Мы не останавливаемся здесь на доказательстве этой важной теоремы (желающие прочитают его в гл. ХЪ"), а предпочтем в заключение (опираясь на сведения об 1-формах) пояснить в общих чертах связь вопроса о точности замкнутых форм с топологией области их задания. Пример 6. Рассмотрим плоскость й2 с двумя выколотыми точками рм рэ (рис. 95) и изображенные на рисунке их носителями пути чо, ч1 и уэ. Путь .уэ в пределах рассматриваемой области Р можно стянуть в точку, поэтому если в Р задана замкнутая форма ш, то интеграл от нее по.уэ равен нулю. Путь уо нельзя стянуть в точку, но, не меняя значения интеграла от формы ш, этот путь можно прогомотопировать в путь чь 350 ГЛ.
Х1У. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ ИнтегРал по пУти Ты очевиДно, своДитсЯ к интегралу по одному циклу, обходящему по часовой стрелке точку рн и удвоенному интегралу по циклу, обходящему точку рз против часовой 7о стрелки. Если через Т1 и Тс обозначить интегралы от нашей формы ю по малым окружностям, охватывающим соответственно точки р1 и рз и О проходимым, например, против часовой стрелки, то можно понять, что интеграл от формы м по любому замкнутому пути в области Р будет равен п|Т1 + п2Тг, где п1 и п2 — некоторые целые числа, указывающие, сколько раз и в каком направлении мы обошли каждую из дырок рн Рис.
95. рз плоскости м . Окружности см сг, зацепляющие р1 и рз, служат как бы базисом, в котором любой замкнутый путь ч С Р, с точностью до не влияющей на интеграл гомотопии, имеет вид у = п1с1 + посз. Величины ) ю = Т, с, называют циклическими постоянными или периодами интеераяа. Если область более сложная и в ней имеется к штук независимых простейших циклов, то в соответствии с разложением Т = п1с1+...+пьсь получится, что ) ы = п1Т1 +... + пьТь. Оказывается, для любого набора Ты..., Ть чисел в такой области можно построить замкнутую 1-форму, которая будет иметь именно такой набор периодов (зто частный случай теоремы Де Рама; см.
гл. ХЧ). Для наглядности мы обратились к рассмотрению плоской области, но все сказанное можно повторить и для любой области Р С Я". Пример 7. В полнотории (области, ограниченной в жз тором) все замкнутые пути, очевидно, гомотопны сколько-то раз пробегаемой окружности, охватывающей дырку. Эта окружность и составит здесь единственный не точечный базисный цикл с. Более того, все сказанное можно повторить и для путей высших размерностей. Если вместо одномерных замкнутых путей — отображений окружности или, что то же самое, отображений одномерной сферы, брать отображения к-мерной сферы, ввести для них понятие гомотопии и смотреть, сколько таких негомотопных между собой отображений й- 13. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ 351 мерной сферы в данную область Р С И" существует, то получится некоторая характеристика области Р, которая в топологии оформляется в так называемую й-ю гомотопическую группу области Р и обозначается яь(Р).
Если все отображения к-мерной сферы в Р гомотопны постоянному отображению, то считается, что группа яь(Р) тривиальна (состоит только из одного элемента). Может так случиться, что я1(Р) тривиальна, а яг(Р) не тривиальна. Пример 8. Если в качестве Х1 взять пространство Жз с выброшенной из него точкой О, то, очевидно, любой замкнутый путь в такой области стягивается в точку, а сферу, охватывающую выброшенную из Кз точку О, нельзя в пределах этой области прогомотопировать в точку.
Оказывается, за периоды замкнутой й-формы ответственна не совсем гомотопическая группа яь(Р), а так называемая группа гомологий Нь(Р) (см. гл. ХЪ'). Пример 9. Из сказанного можно заключить, что, например, в области Р = Кз '1 0 всякая замкнутая 1-форма точна (Кз '1 0 — одно- связная область), но не всякая замкнутая 2-форма является точной. На языке векторных полей это означает, что любое безвихревое поле А в Кз '1 0 является градиентом некоторой функции, но не всякое поле Ю без источников (йч Ю = 0) является в этой области ротором некоторого поля.
Пример 10. В противовес примеру 9 возьмем в качестве области Р полноторие. Для полнотория группа я1(Р) не тривиальна (см. пример 7), а яз(Р) тривиальна, поскольку любое отображение Х: о~ -+ -+ Р двумерной сферы в Р в пределах Р стягивается в постоянное (образ сферы стягивается в точку). В этой области не всякое безвихревое поле потенциально, но всякое поле без источников является ротором некоторого поля. Задачи и упражнения 1. Покажите, что любое центральное поле А = Х(г)г потенциально. 2. Пусть Е = — вагаб У вЂ” потенциальное силовое поле. Покажите, что положения устойчивого равновесия частицы в таком поле находятся в точках минимума потенциала У этого поля. 3. Для электростатического поля Е система уравнений Максвелла (31, (12)), как уже отмечалось, сводится к паре уравнений 17 Е = -~-, 17 х Е = О.
352 ГЛ. Х1У. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ Условие ту х Е = О, по крайней мере локально, подразумевает, что Е = = — ягад 1в. Поле точечного заряда потенциально, а поскольку любое электростатическое поле есть сумма (или интеграл) таких полей, то оно тоже всегда потенциально. Подставляя Е = — T1в в первое из уравнений электростатического поля, получим, что его потенциал 1в удовлетворяет уравнению ПуассоиаН Ь~р = .Я.
Потенциал ~р полностью определяет поле Е, поэтому описание во' поля .Е сводится к отысканию функции 1в — решения уравнения Пуассона. Зная потенциал точечного заряда (пример 2), решите следующую задачу. а) Два заряда — а, +д находятся в точках (О, О, — д/2), (О, О, д7'2) пространства йз, наделенного декартовыми координатами (х, у, л). Покажите, что на большом по сравнению с величиной д удалении от этих зарядов потенциал создаваемого нми электростатического поля имеет вид где т — модуль радиус-вектора т точки (х, у, х).
Ъ) Удаление от зарядов на большое расстояние равносильно сближению зарядов, т.е. уменьшению величины д. Если теперь величину од =: р фиксировать н уменьшать д, то в пределе в области йз '1 О получится функция 1в = ~-„—,— — р. Удобно ввести вектор р, равный по величине р и направленный 1 от — о к +а. Пару зарядов — о, +о и получаемую описанным предельным переходом конструкцию называют диполем, а вектор р — дипвльным моментом. Полученная в пределе функция у называется потенциалом диполл. Найдите асимптотику потенциала диполя при уходе от диполя по лучу, составляющему угол у с направлением дипольного момента.
с) Пусть ро — потенциал единичного точечного заряда, а ~р1 — потенциал диполя, имеющего дипольный момент рь Покажите, что 1в1 — — — (р1 17)уо. д) Конструкцию с предельным переходом, которую мы провели для пары зарядов при получении диполя, можно повторить для четверки зарядов (точнее, для двух диполей с дипольными моментами ры рз) н получить квадруполь и соответствующий ему потенциал. В общем случае можно получить мультиполь порядка 1 с потенциалом 1ау = ( — 1)1(р1 ~)(ру 1 У) .. (рь . ' и)1ао = 2, ьв';ы —,— ф — 7, где Я,ы — так называемые компоненты момендл'ду дг та мультиполл.
Проведите выкладки и проверьте формулу для потенциала мультиполя в случае квадруполя. е) Покажите, что главный член асимптотики потенциала скопления зарядов при удалении от этого скопления равен 4„-; —,, где (д — суммарный заряд 1 ОС. Д. Пуассон (1781 — 1840) — французский механик, математик н физик; основные работы по теоретической и небесной механике, математической физике и теории вероятностей. Уравнение Пуассона появилось в его исследованиях гравитационного потенциала н притяжения сфероидьмн.
3 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ 353 скопления. 1) Покажите, что главный член асимптотики потенциала электрически нейтрального тела, состоящего из зарядов противоположного знака (например, молекула), на большом по сравнению с размерами тела расстоянии от него равен ~-„-,— Е-~-"-. Здесь е„— единичный вектор, направленный из тела на я~О наблюдателя; р = 2 ,'щд„где о, — величина 1-го заряда, а с(; — его радиус- вектор; начало координат выбрано в одной из точек тела. я) Потенциал любого скопления зарядов на большом расстоянии от скопления раскладывается (в смысле асимптотики) по функциям типа потенциалов мультиполей. Покажите это на примере первых двух членов такого потенциала (см. 4), е) и Г)). 4.
Проверьте, односвязны ли следующие области: а) круг ((х,у) Е ~н ~ х + у~ < 1); Ь) круг с выколотым центром ((х, у) Е йз ~ 0 < хз + уз < Ц; с) шар с выколотым центром ((х, р, х) Е Нз ~ 0 < х' + у' + х' < 1); б) кольцо ((х, у) б Кз ~ 2~ < хз + уз < 1 ); е) шаровое кольцо ((х, у, х) Е Кз ~ 2 < х + у + х~ < 1); 1) полноторие в Кз. 5. а) Дайте определение гомотопии пути с закрепленными концами. Ь) Докажите, что область односвязна тогда и только тогда, когда любые два пути в ней, имеющие общее начало и общий конец, гомотопны в смысле определения а).
6. Покажите, что: а) любое непрерывное отображение 1: 5' -+ Яз окружности 5' (одномерной сферы) в двумерную сферу 5~ стягивается по о'з в точку (в постоянное отображение); Ь) любое непрерывное отображение 1: оз -ч У тоже гомотопно отображению в одну точку; с) любое отображение 1: У -+ У гомотопно при некотором п Е Ж отображению у ~+ пу, где у — полярный угол точки окружности; 4) любое отображение сферы У в полноторие гомотопно отображению в одну точку; е) любое отображение окружности У в полноторие гомотопно при некотором и Е Ж замкнутому пути, пробегающему и раз окружность, охватывающую дырку полнотория.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
