1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Из формулы (5') по теореме о среднем для тройного интеграла по- лучаем 3 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 329 словом»источники» в области У(х). Значит, дробь в правой части соотношения (6) есть средняя (отнесенная к единице объема) интенсивность источников в области У(х), а предел этой величины, т.е. ЖуВ(х) есть удельная (отнесенная к единице объема) интенсивность источника в точке х. По предел отношения общего количества некоторой величины в области У(х) к объему этой области, когда с( — » О, принято называть плотностью этой величины в точке х, а плотность как функцию точки обычно называют плотностью распределения данной величины в той или иной части пространства.
Таким образом, дивергенцию ЙУВ векторного поля В можно интерпретировать как плотность распределения источников в области течения, т. е. в области задания поля .В. Пример 1. Если, в частности, »з(у В = О, т. е. никаких источников нет, то поток через границу любой области должен бы быть нулевым: сколько втекает в область — столько иэ нее и вытекает.
И, как показывает формула (5'), это действительно так. Пример 2. Точечный электрический заряд величины д создает в пространстве электрическое поле. Пусть этот заряд помещен в начало координат. По закону Кулона' ) напряженность Е = Е(х) поля в точке х Е )кз (т. е. сила, действующая на пробный единичный заряд в точке х) представляется в виде д и 3 4яеа )г)з где ео — размерная постоянная, а и — радиус-вектор точки х. Поле Е определено всюду вне начала координат. В сферических координатах .Е = ф — — тел, поэтому иэ формулы (36'и) предыдущего параграфа сразу видно, что ЖУЕ = О всюду в области определения поля Е. Значит, если взять любую область У, не содержащую начала координат, то в силу формулы (5') поток поля Е через границу дУ области У" окажется нулевым.
Возьмем теперь сферу дя = (х Е жз ( ~х) = В) радиуса Л с центром в начале координат и найдем поток поля Е через эту поверхность ПШ. О. Кулон (1736 — 1806) — французский физик. С помощью изобретенных им же крутильных весов опытным путем открыл закон (Кулона) взаимодействия покоящихся зарядов и магнитных полюсов.
330 ГЛ. Х1Ч. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ в сторону внешней (по отношению к ограничиваемому сферой шару) нормали. Поскольку вектор ен как раз и является единичной внешней нормалью к сфере, то Е с(сг = / — — скг = 4пВ | Ч 1 и 2 ./ 4ясо Л2 4иеоВ2 со Таким образом (с точностью до размерной константы со, зависящей от выбора системы физических единиц), мы получили величину заряда, содержащегося в ограниченном сферой объеме. Заметим, что в условиях разобранного примера 2 левая часть формулы (5') корректно определена на сфере д$' = ол, а подынтегральная функция правой части определена и равна нулю всюду в шаре И, кроме всего лишь одной точки — начала координат. И тем не менее проведен/ ные вычисления показывают, что интеграл в правой части формулы (5 ) нельзя трактовать как интеграл от тождественного нуля.
С формальной точки зрения можно было бы отмахнуться от разбора этой ситуации, сказав, что поле Е не определено в точке О Н $', и потому мы не имеем права говорить о равенстве (5'), доказанном для гладких, определенных во всей области $' интегрирования полей. Однако физическая интерпретация равенства (5') как закона сохранения массы подсказывает, что при правильной трактовке оно должно быть справедливо всегда, Посмотрим внимательнее, в чем состояла неопределенность в начале координат величины йк Е из примера 2. Формально в начале координат не определено и исходное поле Е, но, если искать йч Е, исходя из формулы (6), то, как показывает пример 2, надо было бы считать, что йкЕ(О) = +оо. Значит, под интегралом в правой части (5) оказалась бы ефункция>, равная нулю всюду, кроме одной точки, где она равна бесконечности.
Это соответствует тому, что вне начала координат вообще нет зарядов, а весь заряд и мы умудрились поместить в нулевой объем †одну точку О, в которой плотность заряда, естественно, стала бесконечной. Мы сталкиваемся здесь с так называемой 6 (дельта)-функцией Дирака1). ПП. А. М. Дирак (1902 — 1984) — английский физик-теоретик, один из создателей квантовой механики, Подробнее о б-функции Дирака будет сказано в гл.
ХУП, 24, п.4 и 25, п.4. 1 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 331 Плотности физических величин в конечном счете нужны, чтобы, взяв от них интеграл, найти значения самих величин. Поэтому нет нужды определять отдельно д-функцию как функцию точки, важнее определить интеграл от нее. Если считать, что физически «функция» Б «(х) = б(хе, х) должна отвечать плотности такого распределения, например массы в пространстве, при котором вся масса, равная по величине единице, сосредоточена только в одной точке хе, то естественно положить, что ( 1, когда хе б 1/, д(~~; ) «1'»' = (О,когда хефК Таким образом, с точки зрения математической идеализации представлений о возможном распределении физической величины (массы, заряда, и т.
п.) в пространстве, следует считать, что ее плотность распределения есть сумма обычной конечной функции, отвечающей непрерывному распределению величины в пространстве, и некоторого набора сингулярных «функций» (типа Б-функции Дирака), отвечающих сосредоточению величины в отдельных точках пространства. Значит, с этих позиций результаты проведенных в примере 2 вычислений можно было бы выразить в виде одного равенства «1»ч Е(х) = = Л-Б(0; х). Тогда применительно к полю Е интеграл в правой части соотношения (5') действительно оказывается равным либо д/ее, либо О, в зависимости от того, содержит ли область $' начало координат (и сосредоточенный в нем заряд) или не содержит.
В этом смысле можно (вслед за Гауссом) утверждать, что поток напряженности электрического поля через поверхность тела равен (с точностью до коэффициента, зависящего от системы единиц) сумме электрических зарядов, содержащихся в теле. В этом же смысле надо трактовать плотность р распределения электрического заряда в системе уравнений Максвелла, рассмотренной в 31 (формулы (12)). Ь.
Ротор. Рассмотрение физического смысла ротора векторного поля начнем со следующего примера. Пример 3. Пусть все пространство, как твердое тело, вращается с постоянной угловой скоростью ш вокруг фиксированной оси (пусть это ось Ол). Найдем ротор поля «» линейных скоростей точек простран- 332 ГЛ. Х1Ч. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ ства (поле рассматривается в любой, но фиксированный момент времени). В цилиндрических координатах (г,у,я) поле и(г,~р,я) имеет простую запись: и(г, р, г) = юге~. Тогда по формуле (35") из 3 1 сразу находим, что го1 и = 2ые,. То есть гоФ и в данном случае является вектором, направленным вдоль оси вращения.
Его величина 2ы с точностью до коэффициента совпадает с угловой скоростью вращения, а направление вектора, с учетом ориентации всего пространства ж~, вполне определяет и направление вращения. А гЬ дд,(х) (гоФА) е, = 1ип д-~о Я,(х) (7) где через о;(х) обозначена площадь рассматриваемого круга. Таким образом, отнесенная к единице площади циркуляция поля А на окружности до'; в плоскости, ортогональной г-й координатной оси, характеризует г-ю компоненту вектора го1 А. Чтобы полнее уяснить себе смысл ротора векторного поля, вспомним, что любое линейное преобразование пространства есть композиция растяжений в трех взаимно ортогональных направлениях, переноса пространства как твердого тела и его вращения как твердого те- Описанное в примере 3 поле в малом напоминает поле скоростей жидкости у воронки (стока) или поле вихреобразного движения воздуха в области смерча (тоже сток, но вверх).
Таким образом, ротор векторного поля в точке характеризует степень завихренности поля в окрестности этой точки. Заметим, что циркуляция поля по замкнутому контуру меняется пропорционально изменению величины векторов поля и, как можно убедиться на том же примере 3, ее можно тоже использовать в качестве характеристики завихренности поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
