1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 59
Текст из файла (страница 59)
т', . тз ! др(~), др(~) — — Ыт тз = (6,41) Ят'т3 = 923Я сй'(т) Ж3(т). (д9 дР~ Квадратичная форма (25) коэффициенты которой суть попарные скалярные произведения векторов канонического базиса, вполне определяет скалярное произведение 316 ГЛ. Х1Ч, ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ дог = Е1(1) (е(11) + Ег(1) («112) + Ез(1) (дгз) (26) где Ев(Ф) = дн(1), в = 1, 2, 3. Пример 5. В декартовых (х,у«я), цилиндрических (г,9«,я) и сферических (В, «р, д) координатах евклидова пространства 1тз квадратичная форма (25) имеет соответственно вид ,12 д г+д г+,12 =Йг +г д«р +дя = д)зг + 112 созг д д г + взг ддг.
(26') (26а) (26'а) Таким образом, каждая из этих систем является триортогональной системой координат в области своего определения. Векторы (1(в), (г(1), ~з(1) канонического базиса (1,0,0), (0,1,0), (О, О, 1) в Т1л-... как и отвечающие им векторы С,(х) Е Т)йз, имеют следующую норму' ): ф) = /дии. Значит, орты (единичные в смысле скалярного квадрата векторы) координатных направлений имеют для триорто- ОВ триортогонзльной системе (26) ф) = з/Е, = Н„в = 1,2, 3. Величины Нь Нв, Нз обычно называют коэффициентами или параметрами Ламе.
Г, Ламе (1796 — 1670) — французский инженер, математик и физик. в Тл«,". Если такая форма задана в каждой точке некоторой области Рв С )кзв, то, как известно из геометРии, говоРЯт, что в этой области задана риманоеа метрика. Риманова метрика позволяет, оставаясь в прямолинейных координатах 11, 12, 13 пространства 1«13, в каждом касательном пространстве ТРз~ (1 Н Р«) ввести свою евклидову структуру, что соответствует «кривомув вложению «р: Ре -в Р области Ре в евклидова пространство мз. Если векторы св(х) = «р'(1)с,(1) = — к(гг(1), в = 1,2,3, ортогонзльны в Т)кз, то д, (1) = 0 при в ф у'. Это значит, что мы имеем дело с триортоеональной се«икай координат. В терминах пространства Т)кез это означает, что векторы г,(1), в = 1, 2,3, канонического базиса взаимно ортогонзльны в смысле определяемого квадратичной формой (25) скалЯРного пРоизведенил в ТИ«з.
Дальше мы бУдем РассматРивать длЯ простоты только триортогональные системы криволинейных координат. Для них, как было отмечено, квадратичная форма (25) имеет следующий специальный вид: 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 317 гональной системы (26) следующее координатное представление в ТЩ: е1(1) = (,0,0), е2(1) = (О, —,0~, ез(1) = (0,0, ~ . (27) Пример 6.
Из формул (27) и результатов примера 5 вытекает, что для декартовых, цилиндрических и сферических координат тройки ортов координатных направлений имеют соответственно следующий вид: е, = (0,0,1); (27') е, = (0,0,1); (27") ея — — (О, 1, 0), ея = (1,0,0), е„= (1,0,0), , = (о, †,о), , = (о, ,о), ео = 0,0, — ) .
(27'") 1 1 ея = (1,0, 0), Разобранные выше примеры 3, 4 подразумевали, что вектор поля раскладывается по базису, состоящему из о р т о в координатных направлений. Значит, отвечающий вектору А(х) е Тиз поля вектор А(1) Н Т3Ц следует раскладывать не по каноническому базису с1(8), ~2(1), ~з(1), а по базису е1(1), е2(1), ез(1), состоящему из ортов координатных направлений. Таким образом, отвлекаясь от исходного пространства жз, можно считать, что в области Р1 С Вз задана риманова метрика (25) или (26) и векторное поле 1 -+ А(1), координатное представление (А1, А2, Аз) (1) которого в каждой точке 1 Н Р1 получается в результате разложения А(1) = А'(1)е,(1) соответствующего этой точке вектора А(1) поля по ортам координатных направлений.
й. Теперь разберемся с формами. Любая форма в Р при диффеоморфизме од: Р1 -+ Р автоматически переносится в область Рь Этот перенос, как нам известно, происходит в каждой точке х Н Р из пространства Тиз в соответствующее пространство Тжз. Поскольку мы перенесли в ТЯ евклидову структуру из ТРз, то из определения переноса векторов и форм следует, что, например, определенной в Т30, форме о ол(х) = (А(х), ) соответствует точно такая же форма ьол(1) = = (А(о), ) в ТЯ, где А(х) = ор'(1)А(1).
Это же можно сказать и о формах вида ьон2, ыз, не говоря уж о формах о~у~ — функциях. После сделанных разъяснений все дальнейшие рассмотрения уже можно вести только в области Р1 С жз, отвлекаясь от исходного пространства жз, считая, что в Р1 задана риманова метрика (25), заданы 318 ГЛ. Х1Ч. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ скалярные поля 1', р и векторные поля А, В, а также формы ф о~,'~, ыи, ыр, котоРые в кажДой точке 1 Е Й1 опРеДелЯютсЯ в соответствии с евклидовой структурой в Тух-„задаваемой римановой метрикой.
Пример 7. Форма объема дт' в криволинейных координатах 11, 1з, 18, как мы знаем, имеет вид сЛт = ъ/Ье191 я й1 Лйэ Л йз. Для триортогональной системы а' =,/кке,[е а' и ар л а'. (28) В частности, в декартовых, цилиндрических и сферических координатах соответственно получаем НЪ'=дхЛдуЛсЬ = (28') = т Йт Л ду Л сЬ = (28") = йз соя 8 с1Л Л йр Л с(8. (28тл) Сказанное позволяет записать форму ырз —— рсйт в различных систе- мах криволинейных координат.
е. Наша основная (и теперь уже легко решаемая) задача состоит в том, чтобы, зная разложение А(1) = А'(1)е,(1) вектора А(1) Е ТЦ по ортам е;(1) Е ТЯ, г = 1,2, 3, триортогональной системы координат, определяемой римановой метрикой (26), найти разложение форм ~рл(1) и ы~з(1) по каноническим 1-формам й' и 2-формам й' Л йз соответ- ственно. Поскольку все рассуждения будут относиться к любой, но фикси- рованной точке 1, для сокращения записи мы позволим себе опускать символ 1, отмечающий привязку рассматриваемых векторов и форм к касательному пространству в точке 1.
Итак, е1, ез, ез — базис в ТЩ, состоящий из ортов (27) коорди- натных направлений; А = А'е1+ Азез + Азез — разложение вектора А Е ТЩ по этому базису. Заметим, прежде всего, что из формул (27) следует, что 1 ( О, если г уЕ 1, й1(е,) = — б', где 6' = (29) ~1,еслибы=1, 1,," ( О, если (1,,1) ~ (й,1), 31. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 319 1'.
Таким образом, если юл .— — (А, ) = а1 М~ + аг ~й~ + аз сйз, то, с одной стороны, ыл(ев) = (А., е,) = А', Следовательно, а, = А'ъ/Е;, и мы нашли разложение (31) формы и~1, отвечающее разложению А = А'е1+ Агег+ Азез вектора А. Пример 8. Поскольку в декартовых, сферических и цилиндрических координатах соответственно и. Пусть теперь .8 = В ез+ В 2 ег + В ез, а шг = Ь1 ~йг Л Ж~ + Ьг сйз Л Л й1 + Ьз сй1 Л йг. Тогда, с одной стороны, шн(е2 ез) а~ (В е2 ез) з В'И~(е,, ег, ез) = В" (е1, ег, ез) = В, а~В(ег,ез) = (Ь1сй Лай +Ьгей Лсй'+ЬЫй' Лсй )(ег,ез) = Ь, = Ь1 сйг Л сй~(ег,ез) = ъ/Е2Е3 а с другой стороны, как видно из (29), а~л(е,) = (а1 ~й + а2 вй + аз сй ) (е,) = а, .— /Ез ' А = Алел+ Алев+ А,е, = =А„е,+А„,е„+А,е, = = Алея + А е„+ Авев то, как следует из результатов примера 6, шл 1— — А, дх + А„ду + А, ~(2 = = А,.
йг + А„, г сЬр + А, сЬ = = Алс1В+ А„,АсозусЬР+ Авйс10. где ~Л1 — форма объема в ТЦ (см. (28) и (27)). С другой стороны, из (30) получаем (31') (31") (31п/) 320 ГЛ. Х1У. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ Сравнивая результаты, заключаем, что бс — — В /Е2Ез. Аналогично, убеждаемся в том, что б2 = В2~IЕгЕз и бз = Взс/Е~Е~. Таким образом, мы нашли координатное представление = В ~/Е2Ез Ж Л Ж + В з/ЕзЕг с11й Л с11 + В~ъ/ЕгЕ2 с11~ Л ЙР = /Хее ( й лй ~- й пй~- йлй) )32) Пример 9. Используя обозначения, введенные в примере 8, и формулы (26'), (26"), (26"'), в декартовых, цилиндрических и сферических координатах получаем соответственно Ь. Добавим еще, что на основании формулы (28) можно написать, что =рсеее й'лй лй Р (33) Пример 10. В частности, для декартовых, цилиндрических и сферических координат формула (ЗЗ) имеет соответственно следующий вид: Теперь, когда получены формулы (31) — (33), легко, исходя из определений (9) — (11) операторов ягас1, гос и с1)ч, найти их координатное представление в триортогональной системе криволинейных координат.
Пусть Егас( у = А'ес + Азез+ Азез. Опираясь на определения, запи- шем формы ь)й, отвечающей вектору Ю = В" е) + В е2 + В ез. а)н~ — — В сну Л с1я + В„сЬ Л с1х + В, с1х Л с1у = = В,т с()р Л сся + В„сЬ Л сст + В,т сст Л ссср = = В рВ2 соа 0 с1)р Л сС0 + В„,В с10 Л с1В + Вай сов 0 с1Я Л Фр. ь)р — — р сСх Л сгу Л сЬ = = рт с1т Л сар ЛсЬ = = рВ~ соа 0 с1В Л с1)р Л с10. ыа ау ' с1а)у ) с() ) сс"~ + зс"~ + зс'~ ' дз , дз 2 дз дсг (32') (32") (32"') (33') (33") (33й)) З1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 321 На основании формулы (31) отсюда заключаем, что 1 д/ 1 д/ 1 д/ ягаг) / = — — е1+ — — ег + — — ез. ~/Ег дгг /Ег д12 /Ез дГз (34) Пример 11. В декартовых, полярных и сферических координатах соответственно д/ д/ д/ ягаг1/ = — ел + — ел+ — е, = дл * ду " дз д/ 1 д/ д/ = — е,+ — — е„+ — е,= дг ' где дз д/ 1 д/ 1 д/ дН Нсозддд ~ Вг дд (34') (34") (34"') о г,м л ..— — й ~,'~ — — П(А' ~/Ег ПГ' + А 1/Ег гПГ + А 1/Ез М ) = дАз /Ез дАг /Ег'1 г з < дА14Е1 дАз4Ез'1 „з /дАЧЕг дА1 /Е1'1 1 г На основании соотношения (32) теперь заключаем, что 1 ~ дАз~/Ез дАг /Ег ,/ЕгЕз 1, дзг дзз 1 ( дА1,/Ег дАз~/Ез /езег 1, дгз дг1 з 1 (дАгъ~Ег гдА1~/Ег /Е1Ег 1, дг1 дгг т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
