1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Будем для простоты считать, что Я получается при гладком отображении х = х(1) области Р, лежащей в плоскости ж2 переменных 1", г2 и ограниченной одной гладкой кривой у = ОР, параметризованной с помощью отображения 8 = = 1(т) точками отрезка а < т < Д (рис. 90). Тогда край Г = дЯ поверхности 5 можно записать в виде х = х(1(т)), где т пробегает отрезок [а„З]. Используя определение интеграла по кривой, формулу Грина для плоской области В и определение интеграла по параметризованной поверхности,последовательно находим Г /дх' й' дх' й2~ Р(х) г1х1:= Р(х(Ф(т))) ~ — — + — — ~ Ит = (,д~' 1т 012 йт,~ Г й Р(х(1)) й' + Р(х(1)) й2 =' — Р— — — Р—., й Ай В аР а*' аР а*' В з В 13. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 293 дР дх2 дР дхз дх в~г Вяь вяз щз дФ~ дР дР д8~ дР ~ 1 ~ 2 + й АсЫ / ~дХ2 а*' В*' дХ3 ая' ая' в дСт дСт ао аК вЂ” — 4х А4х + — Нх Абх Двоеточием здесь обозначены равенства по определению, а восклицательным знаком — переход, использующий уже доказанную формулу Грина.
Остальное — тождественные преобразования. Используя основную идею доказательства формулы (10'), мы, таким образом, непосредственно проверили (не ссылаясь на то, что у*0 = = Йр*, но фактически доказав это в рассматриваемом случае), что формула (10) для простой параметризованной поверхности действительно имеет место.
Формально мы провели рассуждение только для члена Рбх, но ясно, что это можно сделать и для двух оставшихся слагаемых 1-формы, стоящей под знаком интеграла в левой части равенства (10). 4. Общая формула Стокса. При всем внешнем различии формул (1), (6), (10) их бескоординатнвя запись (1о), (5), (6'), (10') оказывается просто идентичной.
Это дает основание считать, что мы имели дело с частными проявлениями некоторого общего закона, который теперь легко угадать. Утверждение 4. Пусть Я вЂ” ориентированная кусочно гладкая 'к-мерная компактная поверхность с краем дд, лежащая в области С С К", в которой задана гладкая (к — 1)-форма ш. Тогда имеет место соотношение 294 ГЛ.
ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ в котором ориентация края дд берется согласованной с ориентацией поверхности Я. < Формула (11), очевидно, доказывается теми же общими выкладками (4), (5), что и формула Стокса (10'), если только она справедлива для стандартного к-мерного промежутка 1" = (х = (х,..., х ) Е К" ~ 0 < х' < 1, 1 = 1,..., к). Проверим, что для 1~ формула (11) действительно имеет место. Поскольку на 1" (к — 1)-форма имеет вид ю = ~ 1а;(х) ах' Л... Л Л ах' Л... Л ах (суммирование по 1 = 1,...,к с пропуском дифференциала е(х'), то (11) достаточно доказать для каждого слагаемого в отдельности.
Пусть ю = а(х) ах' Л... Л ах' Л... Л йх". Тогда дю = — ( — 1)' ~ ~~, (х)ах~ Л... Л ах' Л... Л ах~. Теперь проведем выкладку: Дх* Г ено = ( — 1)' ' —.(х)йх' Л... Л йх" = дх' 1й 1ь Г да =( — 1)' ' йх ...йх'...ах / .(х)йх'= ! дх 1Р-1 о = ( — 1)' 1 (а(х',...,х' 1,1,х1+',...,хь)— — а(х,...,х' 1,0,х'+~,...,х~)) с(х~ ...
йх' ...с1х~ = ( 1)в-1 (11 11-1 1 11 1ь — 1) 11 й1м — 1 1ь — 1 +( — 1)' (1~,...,1' ~,0,1',...,1 1)а1~...а1~ Здесь Х~ ' такой же, только (й — 1)-мерный промежуток в К" ", как и 1" в К"; кроме того, мы здесь переобозначили переменные х1 = 11 х1 — 1 11 — 1 х11-1 11 хь 1ь-1 Отображения Т Э1=(1,...,1 )» — +(1,...,1',1,1',...,8 ) Е1, Х Э1= (1,...,1 ) ~ — + (1,...,1',0,1',...,1 ) е1 23.
ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 295 суть параметризации соответственно верхней Гп и нижней Гю граней промежутка 1", ортогонаяьных оси Ох'. Эти координаты на обеих гранях задают один и тот же ориентирующий грань репер еь..., е; 2, е;„.м..., еь, отличающийся от репера ем..., еь, пространства К оть сутствием вектора е;. Вектор е; на грани Гп является внешней по отношению к 1 нормалью, как и вектор — е, для грани Гкь Репер е;, еь..., ь е; м еььм..., еь, переходит в репер ем..., еь, пространства й после ь г — 1 перестановки соседних векторов, т.е. совпадение или несовпадение ориентации этих реперов определяется знаком числа ( — 1)' 1.
Таким образом, указанная параметризация задает на Гп ориентацию, которая превращается в ориентацию Гп, согласованную с ориентацией 1ь, если ее взять с поправочным коэффициентом ( — 1)' ' (т.е. не менять при нечетном г' и менять при четном ~). Аналогичные рассуждения показывают, что для грани Г,е придется взять поправочный коэффициент ( — 1)' к ориентации, заданной предьявленной параметризацией грани Гиь Итак, последние два интеграла (вместе со стоящими при них коэффициентами) можно интерпретировать соответственно как интегралы от формы ю по граням Г,1 и Гьз промежутка 1", взятым с ориентацией, индуцированной на них ориентацией промежутка 1".
Теперь заметим, что на каждой из оставшихся граней промежутка 1" постоянна одна из координат х',...,х' ',х'+',...,х~. Значит, соответствующий ей дифференциал тождественно равен нулю на такой грани. Таким образом, форма йд тождественно нулевая и интеграл от нее равен нулю по всем граням, отличным от Гкь Г,г Значит, найденную выше сумму интегралов по этим двум граням можно интерпретировать как интеграл от формы м, взятый по всему краю д1~ промежутка 1~, ориентированному согласованно с ориентацией самого промежутка 1~.
Формула 2" д1" а вместе с ней и формула (11) доказаны. > Как видно, формула (11) является следствием формулы Ньютона- Лейбница, теоремы о сведении кратного интеграла к повторному и серии определений таких понятий, как поверхность, край поверхности, 296 ГЛ.
ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ориентация, дифференциальная форма, ее дифференцирование и перенос. Формулы (1), (б), (10) Грина, Гаусса — Остроградского и Стокса являются частными случаями общей формулы (11). Более того, если заданную на отрезке [а, Ь] С К функцию у интерпретировать как 0-форму щ, а интегралом по ориентированной точке от 0-формы считать значение функции в этой точке, взятое со знаком ориентации точки, то саму формулу Ньютона — Лейбница тоже можно рассматривать как простейший (но независимый) вариант формулы (11). Следовательно, фундаментальное соотношение (11) справедливо во всех размерностях и > 1. Формулу (11) обычно называют общей формулой Стокса. В качестве исторической справки процитируем здесь несколько строк из предисловия М. Спивака к его книге, упомянутой в списке литературы. «Впервые формулировка теоремы1) появилась в виде приписки к письму сэра Уильяма Томсона (лорда Кельвина) к Стоксу, датированному 2 июля 1850 г.
Опубликована она была в качестве восьмого вопроса к экзаменам на смитовскую премию 1854 г. Этот конкурсный экзамен, которому ежегодно подвергались лучшие студенты-математики Кембриджского университета, с 1849 по 1882г, проводился профессором Стоксом. Ко времени его смерти результат был повсеместно известен как теорема Стокса. Современниками Стокса были даны по крайней мере три доказательства: одно опубликовал Томсон, другое было изложено в «Трактате о натуральной философии» Томсона и Тейта и третье предложил Максвелл в «Электричестве и магнетизме«. С тех пор именем Стокса были названы значительно более общие результаты, сыгравшие столь заметную роль в развитии некоторых разделов математики, что теорема Стокса вполне может дать материал для размышлений о ценности обобщений«.
Отметим, что современный язык форм восходит к Эли Картануз), а вид (11) общей формулы Стокса для поверхностей в Ко, по-видимому, впервые предложил Пуанкаре. Для областей и-мерного пространства К" формулу знал уже Остроградский, а первые дифференциальные формы написал Лейбниц. Таким образом, общую формулу Стокса (11) не случайно порой ПИмеется в виду классическая формула Стокса (10). «~Эли Картан (1869 — 1961) — выдающийся французский геометр. 13.
ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 297 называют формулой Ньютона — Лейбница- Грина- Гаусса — Остроградского-Стокса — Пуанкаре. Из сказанного можно заключить, что это еще далеко не полное ее название. Используем эту формулу, чтобы обобщить результат, полученный в примере 2. Пример 5. Покажем, что любое гладкое отображение 1: В + В замкнутого шара В С И™ в себя имеет по крайней мере одну неподвижную точку. ~ Если бы отображение 7' не имело неподвижных точек, то, как и в примере 2, можно было бы построить гладкое отображение у: В -+ дВ, тождественное на сфере дВ.
В области К"' '1 О рассмотрим векторное поле где г †ради-вектор точки х = (х,...,х ) е яс ~, О, и отвечающую этому полю форму потока ( — 1)' 1х' пх1 Л... Л дх' Л... Л дх™ ~ ~-' / ~ (( р „, (,,-))-~' (см. формулу (8) из 22). Поток такого поля через границу шара В = = (х Е И ~ )х! = 11 в сторону внешней нормали к сфере дВ, очевидно, равенплощадисферыдВ, т.е. ( щ ф О. Но, каклегко проверитьпрямой дВ выкладкой, Ны = О в К '1 О, откуда с использованием общей формулы Стокса, как и в примере 2, следует, что щ = р*м = сйр*ы = р*йр = у*О = О.
дВ дВ В В В Полученное противоречие завершает доказательство. ~ Задачи и упражнения 1. а) Изменится ли формула (1) Грина, если перейти от системы координат х, у к системе координат у,х? Ь) Изменится ли при этом формула (1")? 2. а) Докажите, что формула (1) остается в силе, если функции Р, Я не- дР дО прерывны в замкнутом квадрате 1,их частные производные  †, щ непре\о рывны во внутренних точках квадрата 1, а двойной интеграл из формулы (1 ) существует хотя бы как несобственный.
298 ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Ь) Проверьте, что если граница компактной области .0 состоит из кусочно гладких кривых, то в аналогичных указанным в а) предположениях формула (1) остается в силе. 3. а) Проведите подробно доказательство равенства (2'). Ь) Покажите, что если граница компактной области Р С Иэ состоит из конечного числа гладких кривых, имеющих лишь конечное число точек перегиба, то Р— простая область по отношению к любой паре координатных осей. с) Верно ли, что если граница плоской области состоит из гладких кривых, то в Иэ можно так выбрать оси координат, что по отношению к ним она окажется простой областью? 4.
а) Покажите, что если функции Р, Я в формуле Грина таковы, что дЯ дР ~- — -д- = 1, то площадь а(Р) области Р можно находить по формуле а(Р) = = 3' Рах+Я ?у. ео Ь) Выясните геометрический смысл интеграла ) у 4х, взятого по некото- 7 рой (быть может, и незамкнутой) кривой на плоскости с декартовыми координатами х, у. Исходя из этого, вновь истолкуйте формулу а(Р) = — ) у сЬ. д.п с) В качестве проверки последней формулы найдите с ее помощью площадь области 2 2 Р= (х,у) ей — + — <1 а2 5. а) Пусть х = х(1) — диффеоморфизм области Рс С Иэ на область Р, С С И~э . Используя результаты задачи 4, а также независимость криволинейного интеграла от допустимого изменения параметризации пути, докажите, что с(х = ~х'(1)! Ш, О~ пф где 4х = с(х с?х~, й = <Н~ йэ, !х'(Ф)! = с1есх'(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
