1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 50
Текст из файла (страница 50)
е. она остается в силе для работы газа, заключенного в любой деформируемой оболочке. 6. Количество тепла получаемого систе- Р 0 РО 1 мой в том или ином процессе изменения ее состояний, как и совершаемая системой механическая работа (см. задачу 5), зависит не только от начального и конечного состояний системы, 1 но и от пути перехода. Важной характеристи- ЪО Ъ"1 Ъ' кой вещества и совершаемого им (или над ним) термодинамического процесса является тепло- Рис. 85. 2бб ГЛ. Х111. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ емкость — отношение полученного веществом тепла к изменению его температуры. Точное определение теплоемкости можно дать в следующей форме.
Пусть х — точка в плоскости состояний Р (с координатами Ъ', Р, или 1', Т, или Р, Т), а е е ТР, — вектор, указывающий направление смещения из точки х. Пусть 1 — малый параметр. Рассматриваем смещение из состояния х в состояние х + 1е вдоль отрезка на плоскости Р, определяемого этими состояниями. Пусть ЬЯ(х,8е) — полученное в этом процессе веществом тепло, а ЬТ(х, 1е) — изменение температуры вещества. Теплоемкостью С = С(х,е) вещества (системы), отвечающей состоянию х и направлению е смещения из этого состояния, называется величина С(х,е) = 1пп ЬЯ(х,1е) с-ю ЬТ(х, 1е) В частности, если система теплонэолнрована, то ее эволюция происходит без обмена теплом с внешней средой. Это так называемый адиабашический пронесс. Отвечающая такому процессу кривая на плоскости состояний Р называется адиабатпой. Значит, смещению из данного состояния х в направлении адиабаты отвечает нулевая теплоемкость системы.
Смещению по изотерме Т = сопвФ отвечает бесконечная теплоемкость. Особенно часто используются теплоемкости Сг = С(х,е~ ), Ср = С(х, ер), отвечающие смещениям по изохоре Р = сопяС и изобаре Р = сопз1 соответственно. Опыт показывает, что в довольно широком диапазоне состояний данной массы вещества каждую иэ величин Сг, Ср можно считать практически постоянной. Теплоемкости, отвечающие одному молю данного вещества, принято называть моллрными и обозначать (в отличие от прочих) прописными (а не строчными) буквами.
Мы будем считать, что имеем дело с одним молем вещества. Между количеством ЬЯ полученного веществом в данном процессе тепла, изменением Ьо' его внутренней энергии и совершенной им механической работой ЬА в силу закона сохранения энергии имеется связь Щ = ЬУ+ ЬА. Таким образом, при малом смещении 1е из состояния х Е Р полученное веществом тепло можно найти как значение формы б1Э:= дУ + Р с)У в точке х на векторе 8е Е ТР, (формулу Рс(х' работы см.
в задаче бс)). Значит, если координатами состояния считать Т и х', а в качестве параметра при смещении (в неизотермическом направлении) принять Т, то можно написать, что ЬЯ дУ дУ Л' Л' С = 1пп — = — + — — + Р—. ~- оЬТ дТ др ИТ йТ Производная ~Т определяет направление смещения из состояния х Е Р лъ' плоскости состояний с координатами Т, г'. В частности, если = О, то лъ' смещение идет в направлении изохоры И = сопя~, и мы получаем, что С~ з 1.
ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 267 = ~~~~,. Если Р = сопле, то ~~~ = ® (в общем случае И = И(Р, Т)— ) Рс вовы это разрешенное относительно И уравнение состояния /(Р, Ъ; Т) = 0). Значит, С~ — (~Т) + ((Н~у) + Р) (ЕТ) где индексы Р, И, Т в правой части указывают параметр состояния, фиксируемый при отыскании соответствующей частной производной. Сопоставляя полученные выражения для Сг и Ср, видим, что Ср Ск = ((А~~) + Р) (~у) Экспериментами на газах (опыты ДжоуляО -Томсона) установлено и затем постулировано в модели идеального газа, что его внутренняя энергия Г7 зависит только от температуры Т,т.е. (ор) = О.
Таким образом, для нде/до' 1 ( дР)т ального газа Ср — С1 = Р (8Т) . Учитывая, что для моля идеального газа /дк 1 ! ' РЪ' = АТ, отсюда получаем соотношение Ср — С~ = А, называемое в термодинамике ураенениеж Майера~1. То, что для моля газа внутренняя энергия зависит только от температуры, позволяет записать форму й7' в виде 5Я = д" с(Т+РЛ'= С с(Т+Р ЛГ. Чтобы вычислить количество тепла, полученное молем газа на пути 7 изменения его состояний, надо, следовательно, найти интеграл от формы Сь с(Т+ + Р с1'е' по 7.
Эту форму иногда удобно иметь в переменных е', Р. Если воспользоваться уравнением состояния РЪ' = АТ и соотношением Ср — С1 = А, то получим й~ = Ср — Л' + Сг — с1Р. Р А А а) Напишите формулу для количества 1„1 тепла, получаемого молем газа при изменении его состояний вдоль пути 7 плоскости состояний Р. Ъ) Считая величины Ср, С~ постоянными, найдите величину Я, отвечающую каждому иэ путей уосб уокб уоб указанных в пункте Ь) задачи 5.
с) Найдите (вслед за Пуассоном) уравнение адиабаты, проходящей через точку (~~, Ре) плоскости состояний Р с координатами Г, Р (Пуассон нашел, ОДж.П. Джоуль (1818 — 1889) — английский физик; открыл закон теплового действия тока, а также определил независимо от Майера механический эквивалент теплоты. ЮЮ.Р. Майер (1814 — 1878) — немецкий ученый, врач по образованию; высказал закон сохранения и превращения энергии, нашел механический эквивалент теплоты. 268 ГЛ.
ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ что на адиабате РУ Р7 ' = сопвФ. Величина Ср/С~ называется адиабатиче- с 7с ской постоянной данного газа. Для воздуха Ср/Сг т 1,4.) Вычислите после этого работу, которую необходимо совершить, чтобы теплоизолированный от внешней среды моль воздуха, находящегося в состоянии (Уо, Ро), поместить в объем Ъ~ —— 2Уо. 1 7. Напомним, что цикл Карноц изменения состояния рабочего тела тепловой машины (например, газа, находящегося в цилиндре под поршнем) состоит в следующем (рис.
86). ИмеТ ются два энергоемких тела, нагреватель и холо- дильник (например, паровой котел и атмосфе- 4 ра), находящиеся при постоянной температуре Тз и Тз соответственно (Тз > Тз). Рабочее тело 3 (газ) рассматриваемой тепловой машины, имея у в состоянии 1 температуру Ты приводится в контакт с нагревателем и за счет уменьшения внешнего давления по изотерме квазистатически расширяется и переводится в состояние 2. При этом машина заимствует от нагревателя тепло 1~~ и производит механическую работу Азз против внешнего давления. В состоянии 2 газ теплоизолируют и заставляют квазистатически расширяться до состояния 3, пока его температура не достигнет температуры Тз холодильника.
При этом машина также совершит некоторую работу Азз против внешнего давления. В состоянии 3 газ приводят в контакт с холодильником и путем увеличения давления иэотермически сжимают до состояния 4. При этом над газом совершается работа (сам гзз совершает отрицательную работу Аы) и газ отдает холодильнику некоторое количество тепла Яз. Состояние 4 выбирается так, чтобы из него можно было вернуться в исходное состояние 1 квазистатическим сжатием газа по адиабате. Итак, из состояния 4 гзз возвращают в состояние 1. При этом над газом придется совершить работу (а сам газ произведет отрицательную работу Ам).
В результате описанного кругового процесса (цикла Карно) внутренняя энергия газа (рабочего тела машины), очевидно, не изменится (ведь мы вернулись в исходное состояние), поэтому произведенная машиной работа равна А = Аиз+ Агз+ Азе+ 4м = Ф 1ез Полученное от нагревателя тепло Я~ лишь частично пошло на совершение работы А. Величину Л = и = ~~-:-~л естественно назвать коэффициентом полезного дейстеил рассматриваемой тепловой машины. а) Используя результаты, полученные в пп. а) и с) задачи 6, покажите, что для цикла Карно имеет место равенство Ф = Ф ПН.Л.С.
Карно (1796 — 1832) — французский инженер, один из родоначальников термодинамики. 62. ФОРМА ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 269 Ь) Докажите теперь следующую первую из двух знаменитых теорем Карно. Коэффициент полезноео действия тепловой машины, работающей по циклу Карно, зависит только от температур Т» и Тэ наэревателя и холодильника (но не зависит от устройства машины и вида ее рабочего тела). 8. Пусть у — замкнутый путь в плоскости К состояний рабочего тела произвольной тепловой машины (см. задачу 7), отвечающий замкнутому циклу ее работы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
