1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Если в области Ъ" С Ж" задана дифференциальная форма ы, а у: с7 -+ 1' — гладкое отображение области У С К™ в Ъ", то координатная запись формы у"ю может быть получена из координатной записи ан ле(х) йх" Л... Л дх*' 1(й«...ч,(п формы ю прямой заменой переменных х = у(1) (с последующим преобра- зованием в соответствии со свойствами внешнего произведения). Пример 14.
В частности, если т — — и =- р, то соотношение (21) сводится к равенству р'(Йх Л... Л Йх") = с1е1~о'(1)Ж Л... Л й'". (22) Значит, если под знаком кратного интеграла вместо |'(х) ах ... дх" писать 1 (х)йх Л... Л йхп, то формула замены переменных в кратном интеграле при сохраняющих ориентацию диффеоморфизмах (т.
е. при деФ ~р'(Ф) > О) получалась бы автоматически формальной подстановкой х = у(Ф), подобно тому, как зто имело место в одномерном случае, и ей можно было бы придать следующий вид: (23) Заметим в заключение, что если степень р взятой в области $' с К" формы ы больше, чем размерность т области с7 С К, которая отображается посредством ~р: У -+ Ъ' в область Ъ", то соответствующая ш на У форма у*и, очевидно, окажется нулевой.
Таким образом, отображение ~р": йг($') + Р'(с7), вообще говоря, не обязано быть инъективным. С другой стороны, если у: с7 -+ Ъ' имеет гладкое обратное отображение ~р ': $' -+ с7, то в силу соотношения (20) и равенств 1о ~ о1о = еп, 248 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В И" ~р о ~р 1 = е~ получаем, что (~р)* о (~р 1)' = е~~, (у 1)' о (у)* = е~„и поскольку е~ и е*„— тождественные отображения й" (У) и йп($') соответственно, то отображения у': йп(Ъ') — + йп(У), (~р ~)*; йп(У) -+ й"(Ъ"), как и следовало ожидать, оказываются взаимно обратными.
То есть в этом случае отображение у': йп(Ъ') -+ йя(У) биективно. Отметим, наконец, что наряду с уже указанными выше свойствами (18) — (20) отображение ~р* переноса форм, как можно проверить, удовлетворяет также соотношению (24) Это принципиально важное равенство показывает, в частности, что определенная нами в координатном виде операция дифференцирования форм на самом деле не зависит от выбора системы координат, в которой записана дифференцируемая форма ы. Подробнее это будет обсуждаться в гл. ХЪ". 5. Формы на поверхностях Определение 3. Говорят, что на гладкой поверхности о С К" задана дифференциальная р-форма ы, если в каждой точке х Е о' на векторах касательной к о' плоскости ТБ, определена р-форма ы(х).
Пример 15. Если гладкая поверхность о лежит в области Р С С К", в которой определена форма ы, то поскольку в любой точке х Е о имеет место включение ТБ С ТР„можно рассмотреть ограничение формы ы(х) на ТБ . Так на о' возникает форма и~я, которую естественно назвать ограничением формы ы на поверхность о'. Как мы знаем, поверхность локально или в целом задается параметрически.
Пусть у: У -+ о' = у(У) С Р вЂ” параметризованная гладкая поверхность в области Р, а ы — форма в Р. Тогда форму ы можно перенести в область У параметров и записать ~о*и в координатном виде в соответствии с установленным выше алгоритмом. Ясно, что получаемая при этом в У форма ~р'ы совпадает с формой у'(ю~л). Заметим, что коль скоро у'(1): ТЮ1 — ~ ТБ в любой точке 1 Е У есть изоморфизм между ТР1 и ТБ, то можно переносить формы как с о' на У, так и с У на о, поэтому как сами гладкие поверхности обычно задают локально или в целом параметрически, так и формы на них в конечном счете обычно задают в областях изменения параметров локальных карт. 15. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 249 Пример 16.
Пусть ш~~ — рассмотренная в примере 8 форма потока, порожденная векторным полем скоростей течения Ъ" в области Р ориентированного евклидова пространства Кз. Если о — гладкая ориентированная поверхность в Р, то можно рассмотреть ограничение абая формы аф на о'. Получаемая при этом форма оф~д характеризует поток через каждый элемент поверхности о'. Если ~р: 1 — > о локальная карта поверхности о, то, сделав замену переменных х = дг(1) в координатном выражении (12) формы багз,, получим координатное выражение определенной на квадрате 1 формы ~р*шкг = ог" (багз, ~д) в данных локальных координатах поверхности.
Пример 17. Пусть ш~г — рассмотренная в примере 7 форма работы, порожденная действующим в области Р евклидова пространства полем сил г . Пусть у: 1 -+ ог(1) с Р— гладкий путь (у — не обязательно гомеоморфизм). Тогда в соответствии с общим принципом ограничения и переноса форм на отрезке 1 возникает форма у*ш~г, координатное представление а(з) й которой можно получить, выполнив замену переменных х = у(1) в координатном выражении (11) формы ы~з. Задачи и упражнения 1. Вычислите значения приведенных ниже дифференциальных форм ш в К" на указанных наборах векторов: а) ш = хг дх' на вектоРе С = (1, 2, 3) Е ТЦ г ьг Ь) и = дх' Л дхз + х' дхг Л дхз на упорядоченной паре векторов ~г,~г В е Т1з(ьо,о,о>.
с) ш = ф, где 1' = х'+2хг+...+пх", аС = (1, — 1,..., ( — 1)" ') Е ТИ" ). 2. а) Проверьте, что форма Нхб Л... Лдх'з тождественно равна нулю, если ие все индексы 1„..., гз различны. Ь) Объясните, почему на и-мерном векторном пространстве нет отличных от нуля кососимметрических форм степени р ) и. с) Упростите запись формы, заданной в виде 2ах лах лдх + за лдх лдх — с~х лдх лах . б) Раскройте скобки и приведите подобные члены (хг лхг + хг дхг) Л (хздхг Л лхг + хг дхг Ллхз + хг лхг Л лхз) е) Форму НУ Л Нд, где 1' = 1п(1+ (х(г), д = зш )х(, х = (х', хг, хз), запишите в виде комбинации форм дх" Л Ых'г, 1 < 1г < гг < 3.
250 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В К~ 1) Проверьте, что в К" с((' Л ... Л с(("(х) = беС ( †. ~ (х)4х" Л ... Л с1х". 1,дх1/ я) Проведите все выкладки и покажите, что при 1 < й < п 4'Л...Лй" = ~~~ беС д* 1<О<И«" и<в дхч д*7 с(хь л...л4х'~. дЫУ 3. а) Покажите, что форма а четной степени коммутирует с любой формой (1, т.е. о Л 11 = Д Л а.
и Ь) Пусть ш = ~ ор; Л йу' и ш" = ш Л... Л ш (и раз). Проверьте, что ш" =п)ар, Л40'л...лир„л 1о" = (-1)д1ч'4р, л...л 1р„л40'л...л й1". 4. а) Форму ш = ф, где у(х) = (х') + (хз)з +... + (х")", запишите в виде комбинации форм дх',..., Нх" и найдите дифференциал й > формы ш. Ъ) Проверьте, что для любой функции у е СОО(Р, К), озу' = О, где ~12 = = д о Н, а 4 — оператор внешнего дифференцирования. с) Покажите, что если коэффициенты ай, формы ш = ай ц(х) охй Л Л... Л с(х'" принадлежат классу СОВ(Р, К),то озм = О в области .Р.
с1) Найдите внешний дифференциал формы "~х2 — — х~~~ в области ее опредех -~-у лепна. 5. Если под знаком кратного интеграла ( у(х) с1х' ... Нх" произведение о с(х' ... с1х" понимать как форму 4х Л... Л дх", то, согласно результату при- мера 14, у нас будет возможность формально получать подынтегральные вы- ражения формулы замены переменных в кратном интеграле. Выполните, со- гласно этой рекомендации, переход от декартовых координат: а)к полярным координатам в К~, Ь) к цилиндрическим координатам в Кз, с)к сферическим координатам в Кз. 6. Найдите ограничение формы: а) 4х' на гиперплоскость х' = 1. Ь) Их Л 4у на кривую х = х(1), у = у(1), а < 8 < б.
с) 4х Л ду на плоскость в К, задаваемую уравнением х = с. 4) Иу Л 4х + Их Л 4х + 4х Л с1у на грани стандартного единичного куба в Кз . е) ш; = 4х Л ... Л ох' ~Л дх' Лдх'+' Л... Л дх" на грани стандартно- го единичного куба в К"; знак стоит над дифференциалом 4х', который выбрасывается из написанного произведения.
е 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 251 7. Выразите в сферических координатах Кз ограничение следующих форм на сферу радиуса А с центром в начале координат: а) дх. Ь) (р. с) ЫуЛда 8. Отображение р; И' -+ К~ задано в виде (и, о) ~+ (и о, 1) = (х, у) Найдите: а) ~р (Йх). Ь) р'()р) с) ~р*(удх). 9.
Проверьте, что внешний дифференциал Н: йг(В) — + йвы(В) обладает следующими свойствами: а) д(ы1 +шз) = йл1 + йлз. Ь) д(ь~1 Лы2) = йо1 Лшз+( — 1)~'я~'ь~~ Лале, где бебю1 — степень формы мы с) ЧюЕ Й" д(Ж~) =О. Й) Ч1 В Й ф = ~, '— ~-Йх'. Лх1 Покажите, что отображение И: йг(В) -+ й"+' (.О), обладающее свойствами а), Ь), с), Н), единственно. 10. Проверьте, что отображение ~р: ПЯ(И) — ~ ПЯ(У), отвечающее отображению у: У -+ У, обладает следующими свойствами: а) у" (м1 + ыг) = у*и~ + ~р*юз.
Ь) ~р'(ю1 Л ыз) = р'м1 Л ~р'юз. с) йр ОР=Д ЖО. с1) Если еще имеется отображение ф: И -+ И',то (ф о р)" = ~р* о ф". 11. Покажите, что гладкая х-мерная поверхность ориентируема тогда и только тогда, когда на ней существует нигде не вырождающаяся /с-форма. ГЛАВА ХГП КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 8 1. Интеграл от дифференциальной формы 1. Исходные задачи, наводящие сообраэкения2 примеры Известно, что в постоянном поле Г перемещение на вектор ( связано с работой, равной (г,~). Пусть | 2-+ я«(2) — определенное на отрезке 1 = (1 Е К ) а < 1 < Ь) гладкое отображение у: 1 — > с2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
