1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 44
Текст из файла (страница 44)
5. Изобразите заданную в декартовых координатах (х,у,х) пространства Кз винтовую поверхность х 7Г у — хся — = О [х[ < — 6 Ь ' 2 и найдите площадь той ее части, для которой гз < хз + уз < йз. 6. а) Покажите, что площадь Й„~ единичной сферы в К" равна 21О'нт 7 -~-со где Г(а) = [ е *х ' Нх. (В частности, если и четно, то Г (~2) = (-"~~)!, а о если и нечетно, то Г (~~) = (и — Д-"-~/т) 2 о Ь) Проверив, что объем Ъ'„(г) шара радиуса г в К" равен ' г", по а- р жите, что -~„— [„-~ = Й„г лги с) Найдите предел при и — ~ со отношения площади полусферы (х б К" [ [х[ = 1 А х" > О) к площади ее ортогональной проекции на плоскость х" = О.
4) Покажите, что при и -+ оо основная часть объема и-мерного шара сосредоточивается в сколь угодно малой окрестности его граничной сферы, а основная часть площади сферы — в сколько угодно малой окрестности ее экватора. е) Покажите, что из сделанного в с() наблюдения, часто называемого явлением концентрации, вытекает красивое следствие: Регулярная функция, непрерывная на сфере большой размерности, почти постоянна на ней (вспомните, например, давление в термодинамике). Поконкретнее: Рассмотрим, например, функции, удовлетворяющие условию Липшица с фиксированной константой.
Тогда для любых е > О и б > О найдется такое М, что при и > А' у любой такой функции у: Я" -+ К имеется значение с со следующими свойствами: площадь того множества, где значения у отличаются от с больше чем на с, составляет не более чем б-долю от площади всей сферы. 7. а) Пусть х,,..., хь — система векторов в евклидовом пространстве К", и > 6. Покажите, что определитель Грама этой системы может быть предста- 24.
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 231 ален в виде бег((хбх.)) = ~ Рз где Р,,;, =бес Ь) Выясните геометрический смысл величин Р;... из а) и сформулируйте результат задачи а) как теорему Пифаеора длл мер произвольной размерности л, 1 ( lс ( и. с) Объясните теперь формулу о1'...
п1" для площади, заданной в параметрическом виде х = х(г',...,1"), 4 Е Р С Ил й-мерной гладкой поверхности. 8. а) Проверьте, что в определении 2 величина 1ь(5) действительно не зависит от указанного там способа разбиения 5 на гладкие куски 5„..., 5 Ь) Покажите, что кусочно гладкая поверхность 5 допускает локально конечное разбиение на куски 5„..., 5,..., описанные в определении 2. с) Докажите, что из гладкой поверхности 5 всегда можно так удалить множество Е площади нуль, что останется гладкая поверхность 5 = 5 1 Я, которая уже может быть описана одной стандартной локальной картой у: 1 -+ -+ 5. 9. Длину кривой, подобно школьному определению длины окружности, часто определяют как предел длин соответствующим образом вписанных в кривую ломаных.
Предел берется при стремлении к нулю длин звеньев вписанных ломаных. Следующий простой пример, принадлежащий Г. Шварцу, показывает, что аналогичные действия при попытке определить площадь даже очень гладкой поверхности через площади ~вписанныхе в нее многогранных поверхностей могут привести к абсурду. В цилиндр радиуса Н и высоты Н впишем многогранник следующим образом. Рассечем цилиндр горизонтальными плоскостями на т равных цилиндров высоты Н(гп каждый. Каждую иэ т + 1 окружностей сечения (включая окружности верхнего и нижнего оснований исходного цилиндра) разобьем на п равных частей так, чтобы точки деления на каждой окружности находились под серединами дуг ближайшей верхней окружности.
Теперь берем пару точек деления любой окружности и точку, лежащую непосредственно над или под серединой дуги, заключенной между этой парой точек. 232 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В К" Указанные три точки порождают треугольник, а совокупность всех таких треугольников образует многогранную поверхность, вписанную в исходную цилиндрическую поверхность (боковую поверхность прямого кругового цилиндра).
На вид этот многогранник похож на примятое и собравшееся в гармошку голенище сапога, поэтому его часто называют сапогом Шварца. а) Покажите, что если т и п устремить к бесконечности, но так, чтобы при этом отношение пг/т стремилось к нулю, площадь построенной многогранной поверхности будет неограниченно расти, хотя размеры каждой ее грани (треугольника) при этом стремятся к нулю. Ъ) Если же п и т стремятся к бесконечности так, что отношение т/пг стремится к некоторому конечному пределу р, то площади многогранных поверхностей будут стремиться к конечному пределу, который в зависимости от величины р может быть больше, меньше или (при р = О) равен площади исходной цилиндрической поверхности.
с) Сравните описанный здесь способ введения площади гладкой поверхности с тем, который изложен в 24, и объясните, почему в одномерном случае результаты совпадают, а в двумерном уже, вообще говоря, не совпадают. Каковы условия на последовательность вписанных многогранных поверхностей, гарантирующие совпадение результатов? 10. Изопериметрическое неравенство. Пусть Г(Е) — обозначение для объема множества Е С К", а А+ — сумма (векторная) множеств А, В С К" (сумма в смысле Минковского; см. задачу 4 к 2 2 главы Х1).
Пусть  — шар радиуса Ь. Тогда А + В =: Аь есть 6-окрестность множества А. Величина И(Аь) — к'(А) =: р+(дА) называется внешней площадью по Минковсному границы дА множества А. а) Покажите, что если дА гладкая или достаточно регулярная поверхность, то и+(дА) совпадает с обычной площадью поверхности дА.
Ь) Используя неравенство Брунна — Минковского (см. задачу 4 к 22 главы Х1), получите теперь классическое изопериметрическое неравенство в К" р+(дА) > по Г (А) =: р(Ял); здесь е — объем единичного шара в К", а р(Ял) — площадь ((и — 1)-мерная) поверхности шара, имеющего тот же объем, что и множество А. Изопериметрическое неравенство означает, что тело А С К" имеет площадь границы р+(дА), не меньшую, чем шар того же объема, 15. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 233 35.
Начальные сведения о дифференциальных формах Дадим теперь первоначальные представления об удобном математическом аппарате дифференциальных форм, обращая здесь основное внимание на его алгоритмические возможности, а не на подробности теоретических конструкций, которые будут изложены в гл. Х'Ч. 1. Дифференциальная форма, определение и примеры. Из курса алгебры читателю хорошо известно понятие линейной формы, и мы этим понятием уже широко пользовались при построении дифференциального исчисления.
Там главным образом встречались симметрические формы. Здесь же речь будет о кососимметрических (анти- симметрических) формах. Напомним, что форма Х: Х" — + У степени или порядка й, определенная на упорядоченных наборах ~„..., г,„векторов линейного пространства Х и принимающая значения в линейном пространстве У, называется кососимметрическов (антисимметрической), если значение формы меняет знак при перестановке местами любой пары ее аргументов, т, е. В частности, если (, = (~, то независимо от остальных векторов значение формы будет равно нулю. Пример 1.
Векторное произведение ф, (2) векторов пространства 113 есть билинейная кососимметрическая форма со значениями в линейном пространстве Кэ. Пример 2. Определенный формулой (1) 3 4 ориентированный объем Ъ'((„..., ~ ) параллелепипеда, натянутого на векторы ~„..., (ь пространства 11ь, является кососнмметрической вещественнозначной йформой в К". Нас будут пока интересовать вещественноэначные формы (случай У = й), хотя все излагаемое ниже применимо и в более общей ситуации, например, когда У есть поле С комплексных чисел.
Линейная комбинация кососимметрических форм одной степени в свою очередь является кососимметрической формой, т.е. кососимметрические формы одной степени образуют линейное пространство. В алгебре вводится, кроме того, операция А внешнего дмиолсеяпл кососимметрических форм, которая упорядоченной паре Аг, Вя, таких 234 ГЛ. ХП.
ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В И" форм (степени р и гг соответственно) сопоставляет кососимметрическую форму АР Л Вя степени р + г1. Эта операция ассоциативна: (АР Л Вд) Л С" = А" Л (ВЯ Л С'), дистрибутивна: (А" + Вр) Л СЯ = А" Л СЯ+ ВР Л СЯ, косокоммутативна: А" Л ВЯ = ( — 1)™ВЯ Л АР. В частности, если речь идет об 1-формах А и В, то имеет место антикоммутативность А Л В = — В'Л А операции, подобная антикоммутативности упомянутого в примере 1 векторного произведения, обобщением которого и является внешнее умножение форм.
Не вникая в детали общего определения внешнего произведения, примем пока к сведению перечисленные свойства этой операции и отметим, что в случае внешнего произведения 1-форм 1 г,..., Ьь Е ь".(К", К) результат Ьг Л... ЛЬ„есть й-форма, которая на наборе векторов сг,..., (ь Е К принимает значение ~г(6) ". ~ь(4г) ~,Л...Л~ (4„...,( ) = = г1е1(ХЯг)). (1) ~г(4ь) " ~ь(4ь) Если соотношение (1) принять в качестве определения его левой части, то из свойств определителей легко следует, что в случае линейных 1-форм А, В, С действительно: А Л В = — В Л А и (А + В) Л С = =АЛС+ВЛС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
