1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 39
Текст из файла (страница 39)
ПХ. Уитни (1907 — 1989) — американский математик-тополог, один пз создателей теории расслоенпых пространств. 22. ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ 205 Ь) Проверьте, что если 2 Е К" и 2 ф О, то (ф2 в ф1 ')(й) = -(2, где 4~, ' = = (Ф1Ь.ц..>) '. с) Покажите, что две карты 4~, ' = у1. К" -+ о'" ~ (ео), 4~1 = ~ря: К -+ — > о" ~ ( — ее) образуют атлас сферы 5" С К"+'. с1) Докажите, что любой атлас сферы должен иметь не менее двух карт. В 2.
Ориентация поверхности Напомним, прежде всего, что переход от одного репера е„...,е„ пространства К" к другому е,..., е„осуществляется посредством квадратной матрицы (а'), возникающей из разложений е = а'е;. Определитель этой матрицы всегда отличен от нуля и все реперы пространства разбиваются на два класса эквивалентности, если в один класс отнести реперы, для которых определитель матрицы взаимного перехода положителен. Такие классы эквивалентности называют классами ориентации реперов пространства К'.
Задать ориентацию К" значит по определению фиксировать один из этих классов ориентации реперов К". Таким образом, ориентированное пространство К" — это само пространство К" плюс фиксированный класс ориентации его реперов. Чтобы указать класс ориентации, достаточно предъявить любой его репер, поэтому можно сказать, что ориентированное пространство К" — это К" вместе с фиксированным в нем репером. Репер в К" порождает в К" систему координат, и переход от одной такой системы координат к другой осуществляется матрицей (а(), транспонированной по отношению к матрице (а') связи реперов.
Поскольку определители этих матриц одинаковы, можно было бы все сказанное выше об ориентации повторить на уровне классов ориентаиии систем координат в К", относя в один класс те координатные системы, взаимный переход между которыми осуществляется матрицей с положительным якобианом. Оба зти, по существу, совпадающие подхода к описанию понятия ориентации пространства К" проявятся и при описании понятия ориентации поверхности, к которому мы переходим. Напомним, однако, еще полезную для дальнейшего связь между координатами и реперами в случае, когда речь идет о системе криволинейных координат.
206 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В ~" Пусть С и Р— диффеоморфные области, лежащие в двух экземплярах пространства К", наделенных декартовыми координатами (х',...,х") и (11,..., 1") соответственно. Диффеоморфизм ~р: Р -+ С можно рассматривать как введение в области С криволинейных координат (г1,...,1") по закону х = ~р(1), т.е. точка х б С наделяется декартовыми координатами (11,..., 1") точки 1 = ~р "(х) Е Р. Если в каждой точке 1 Е Р рассмотреть репер е,...,е„касательного пространства ТР„", составленный из ортов координатных направлений, то в Р возникнет поле реперов, которое можно рассматривать как разнесение по точкам Р параллельно самому себе орторепера исходного пространства Ж", содержащего область Р.
Поскольку у: Р -+ С вЂ” диффеоморфизм, отображение ~р'(1); ТР1 -+ ТС, Н1 касательных пространств, осуществляемое по закону ТР1 В е — ~ ~р'(1)е = = 4 Е ТС, в каждой точке 1 является изоморфизмом касательных пространств. Значит, из репера е,...,е„в ТР1 при этом получится репер (1 = ~р'(1)е1,..., („= ~р'(1)е„в ТС, а поле реперов на Р преобразуется в поле реперов на С (рис.
74). Поскольку ~р Е С(П(Р, С), то векторное поле г.(х) = ф(у(1)) = р'(1)е(1) непрерывно в С, если векторное поле е(1) непрерывно в Р. Таким образом, любое непрерывное поле реперов (состоящее из и непрерывных векторных полей) при диффеоморфизме преобразуется в непрерывное поле реперов. Рассмотрим Рис. 74. теперь пару диффеоморфизмов ~р,: Р, -+ С, 1 = 1, 2, которые по закону х = у1(11) вводят в одной и той же области С две системы криволинейных координат (11„..., 1",) и (121,..., 22а).
Взаимно обратные диффео- МОрфИЗМЫ у1 о ~р2: Р1 — > Р2, у2 о ~р1. Р2 — ~ Р1 ОСущЕСтВЛяЮт ВЗаИМНЫЕ переходы между этими системами координат. Якобианы этих отображений в соответствующих друг другу точках областей Р1, Р2 взаимно обратны и, следовательно, имеют один и тот же знак. Если область С (а вместе с нею Р1 и Р2) связка, то ввиду непрерывности и необращения в нуль рассматриваемых якобианов они имеют один и тот же знак во всех точках областей Р, и Р2, соответственно.
в 2. ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ 207 Значит, все вводимые указанным способом в связной области С системы криволинейных координат распадаются точно на два класса эквивалентности, если в один класс отнести те системы, взаимные преобразования которых осуществляются с положительным якобианом. Такие классы эквивалентности называют классами ориентации систем криволинейных координат в области С. Задать ориентацию в области С по определению означает фиксировать в С класс ориентации систем ее криволинейных координат.
Нетрудно проверить, что принадлежащие одному классу ориентации системы криволинейных координат области С порождают в С (как это описано выше) такие непрерывные поля реперов, которые в каждой точке х б С лежат в одном классе ориентации реперов касательного пространства ТС . Можно показать, что вообще непрерывные поля реперов области С в случае ее связности разбиваются точно на два класса эквивалентности, если в один класс относить поля, реперы которых в каждой точке х е С принадлежат одному классу ориентации реперов пространства ТС (см. в этой связи задачи 3, 4 в конце параграфа). Таким образом, одну и ту же ориентацию области С можно задать двумя совершенно равносильными способами: указанием некоторой системы криволинейных координат в С или заданием любого непрерывного поля реперов в С, принадлежащего тому же классу ориентации, что и поле реперов, порожденное этой системой координат.
Теперь ясно, что ориентация связной области С вполне определится, если хотя бы в одной точке х Е С будет указан репер, ориентирующий ТС . Это обстоятельство широко используется на практике. Если такой ориентируюи4ий репер в некоторой точке хе Е С задан, и взята какая-то система криволинейных координат у: Р— ~ С в области С, то, построив в ТС, репер, индуцированный этой системой координат, сравниваем его с заданным в ТС, ориентирующим репером.
В случае, когда оба репера принадлежат одному классу ориентации ТС„, считают, что криволинейные координаты задают на С ту же ориентацию, которая предписывается ориентирующим репером. В противном случае — противоположную ориентацию. Если С открытое, но не обязательно связное множество, то, поскольку все изложенное применимо к любой связной компоненте множества С, для того, чтобы ориентировать С, надо задать свой ориентирующий репер в каждой связной компоненте С. Значит, если таких компонент т, то множество С допускает 2 различных ориентаций.
208 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В К~ Сказанное об ориентации области С С К" можно дословно повторить, если вместо области 0 рассмотреть задаваемую одной картой гладкую к-мерную поверхность Я в й" (рис. 75). В этом случае системы криволинейных координат Я тоже разбиваются естественным образом на два класса ориентации в соответствии со знаком якобиана преобразований их взаимного перехода; тоже возникают поля реперов на Я; тоже задание ориентации может быть осуществлено ориентирующим репером, лежащим в некоторой касательной к Я плоскости Т$о,. Единственный новый элемент, который тут возникает и требует проверки, это неявно присутствующее Утверждение 1. Взаимные переходы от одной системы криволинейных координат на гладкой поверхности Я С К" к другой лвллютсл диффеоморфизмами той же степени гладкости, что и карты поверхности.
~ В самом деле, в силу утверждения из 8 1 любую карту 1~ — > 11 С Я локально можно рассматривать как ограничение на 1" 00(~) диффеоморфизма У': 0(~) -+ 0(х) некоторой и-мерой окрестности 0(е) точки $ Е 1 С К" на и-мерную окрестность 0(х) точки х Е Я С Ио, причем У того же класса гладкости, что и у.
Если теперь ~р1. 1," — ~ 111 и уэ. 1эг -+ Уэ — две такие карты, то возникающее в их общей области действия отображение у~" о у1 (переход от первой системы координат ко втоРис. 75. — 1 рой) локально представляется в виде у о о ~р1 (г",..., е~) = Рэ ~ оР1 (~~,..., г~, О,..., 0), где с1 и Уэ — соответствующие диффеоморфизмы и-мерных окрестностей.
~ На примере элементарной поверхности, задаваемой одной картой, мы разобрали все существенные компоненты понятия ориентации поверхности. Теперь мы завершим дело окончательными определениями, относящимися к случаю произвольной гладкой поверхности в У.". Пусть Я вЂ” гладкая й-мерная поверхность в К", и пусть у;: 18 — > 11О ~рз: 1" -+ 71 — две локальные карты поверхности Я, районы действия которых пересекаются, т.е. 11, й (1 ~ И. Тогда между множествами 12. ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ 209 13 = у, '(111), ф = ~р ~(11,), как было только что доказано, естественно устанавливаются взаимно обратные диффеоморфизмы у;: 1~3 -+ 11;, ~рН.
1, -+ 1ьо осуществляющие переход от одной локальной системы ь ь криволинейных координат на о' к другой. Определение 1. Две локальные карты поверхности называют соеласованнымц либо когда районы их действия не пересекаются, либо когда это пересечение непусто и взаимные переходы в общей области действия этих локальных карт осуществляются диффеоморфизмами с положительным якобианом.
Определение 2. Атлас поверхности называется ориентирующим атласом новерхностц если он состоит из попарно согласованных карт. Определение 3. Поверхность называется ориентируемоа, если она обладает ориентирующим атласом. В противном случае поверхность называется неориентируемой. В отличие от областей пространства 2" или элементарных поверхностей, задаваемых одной картой, произвольная поверхность может оказаться и неориентируемой. Пример 1. Лист Мебиуса, как можно проверить (см. задачи 2, 3 в конце параграфа), — неориентируемая поверхность.
Пример 2. Бутылка Клейна в таком случае — тоже неориентируемая поверхность, поскольку она содержит в качестве своей части лист Мебиуса. Последнее видно непосредственно из конструкции бутылки Клейна, изображенной на рис. 73. Пример 3. Окружность и вообще я-мерная сфера — ориентируемые поверхности, что доказывается непосредственным предъявлением атласа сферы, состоящего из согласованных карт (см. пример 2 из 2 1). Пример 4. Рассмотренный в примере 4 из 9 1 двумерный тор также является ориентируемой поверхностью. Действительно, используя указанные в примере 4, 91 параметрические уравнения тора, легко предъявить его ориентирующий атлас.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
