1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Таким образом, в частности, не следует смешивать понятие гладкого пути класса С~ ~ и понятие гладкой кривой класса С( В анализе, как правило, имеют дело с достаточно гладкими параметризациями (1) ранга Й. Мы убедились, что в этом случае принятое здесь определение 4 гладкой поверхности совпадает с уже рассмотренным в гл.
Ъ'П1, 8 7. Однако если прежнее определение было наглядным и сразу избавляло от некоторых лишних хлопот, то известное преимущество определения 4, согласованного с определением 1 поверхности, состоит в том, что оно с легкостью может быть доведено до определения абстрактного многообразия, не обязательно лежащего в К". Здесь же нас будут интересовать пока только поверхности в К". Рассмотрим некоторые примеры таких поверхностей. Пример 1. Напомним, что если Г' Н С1 ~(К",К), ю' = 1,..., п — и — такой набор гладких функций, что система уравнений (2) Р— ь(х1 хь хл-'г1 хп) 0 в любой точке множества з своих решений имеет ранг и — 7с, то эта ОО касательной плоскости скс в гл. НП1, 1 7 ~ 1.
ПОВЕРХНОСТЬ В К" 199 система либо вовсе не имеет решений, либо в качестве множества решений имеет к-мерную С~ )-гладкую поверхность Я в К". ~ Проверим, что если Я ф И, то Я действительно удовлетворяет определению 4. Это вытекает из теоремы о неявной функции, в силу которой в некоторой окрестности любой точки хе Е Я система (2), с точностью до переобозначения переменных, эквивалентна системе х~+1 = у'"+1(х1,..., х"), х" = ("(х1,..., х~), где у~ ",..., у'" е С~ ~. Записывая последнюю систему в виде .1 11 х" =1", и+1 ~м1(11 1ь) х" = ~" (~1 Фь) приходим к параметрическому уравнению окрестности точки хо б Я на 5.
Дополнительным преобразованием область параметров, очевидно, можно превратить в каноническую, например в 1, и получить стан- ь дартную локальную карту (1). > Пример 2. В частности, задаваемая в К" уравнением (х')' + ... + (х")' — гз (т ) б) (3) сфера есть (и — 1)-мерная гладкая поверхность в К", поскольку множество Я решений уравнения (3), очевидно, непусто и в любой точке Я градиент левой части уравнения (3) отличен от нуля. При п = 2 получаем в К~ окружность (х1)з + (хз)з = гз 200 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В И" которую легко локально параметризовать полярным углом О, используя полярные координаты х1 = г соз В, х2 = г81пВ.
Отображение 0 ~-+ (х1,х2)(0) при фиксированном значении г > 0 является диффеоморфизмом на любом промежутке вида 00 < В < 08+ + 2я, и двух карт (например, отвечающих значениям 08 = 0 и 08 = — я) достаточно, чтобы составить атлас окружности. Одной канонической картой (1) здесь обойтись нельзя хотя бы потому, что окружность— компакт, в отличие от К~ или 1 = В', а свойство топологического пространства быть компактом инвариантно относительно топологических преобразований. Полярные (сферические) координаты могут быть использованы и для параметризации двумерной сферы (х1)2 + (х2)2 + (хз)2 = г2 в Кз.
Обозначая через ф угол между направлением вектора (х1,хз,хз) и направлением оси Ох (т.е. 0 < ф < я), а через 1л — полярный угол проекции радиус-вектора (х1, х2, хз) на плоскость (х1, х2), получаем 3 х2 = тяп481пу, х1 = тзт~~соз~о. В общем случае полярные координаты (г, ВО..., 0„1) в Р' вводятся соотношениями х' = гсоз01, = тзш01 соз 02, х" ~ =тяп0181п02 ... яп0„2созВ„О х = т81п01яп02 ...
'зшдл 2япВ Напомним якобиан ,У = г" ~ яп" 2 В1 яп" 02..... 81пВ„2 11. ПОВЕРХНОСТЬ В ~" 201 перехода (4) от общих полярных координат (т, д1,..., д„1) к декартовым координатам (х",..., х") в К". Из выражения якобиана видно, что он отличен от нуля, если, например, 0 < д, < я, ю' = 1,..., и — 2 и т > О. Значит, даже не ссылаясь на простой геометрический смысл параметров д,..., д„, можно гарантировать, что при фиксированном т > 0 отображение (д,...,д„1) ~-+ (х',...,х") как ограничение локального диффеоморфизма (т, д„,..., д„, ) ~-1 (х1,..., х") само локально диффеоморфно. Но сфера однородна относительно группы ортогональных преобразований Р', поэтому отсюда уже следует возможность построения локальной карты для окрестности любой точки сферы.
Пример 3. Цилиндр (х1)2+... + (хь)2 = т2 (т > 0), при Й < и есть (и — 1)-мернвя поверхность в К", являющаяся прямым произведением (т — 1)-мерной сферы плоскости переменных (х',..., х") и (и — Й)-мерной плоскости переменных (х"+1,..., х"). Локальная параметризация этой поверхности, очевидно, может быть получена, если в качестве первых к — 1 из (и — 1) параметров (11,..., 1" 1) взять полярные координаты д,..., д„, точки (к — 1)-мерной сферы в Жь, а 1",..., Ф" 1 положить равными х"+1,..., х" соответственно.
Пример 4. Если в плоскости х = 0 пространства Кз, наделенного декартовыми координатами (х, у,х), взять кривую (1-мерную поверхность), не пересекающую ось Ох, и вращать ее относительно оси Ох, то получится 2-мерная поверхность, в качестве локальных координат которой можно принять локальные координаты исходной кривой (меридиана) и, например, угол поворота (локальная координата на параллели) .
В частности, если в качестве исходной кривой взять окружность радиуса а с центром в точке (Ь, О, О), то при а < Ь получим двумерный тор (рис. 69). Его параметрическое уравнение может быть представлено в виде х = (Ь + а соя ф) соя у, у = (Ь + а соя у1) яп 1о, х = аяпф, где у' — угловой параметр на исходной окружности — меридиане, а 1а— угловой параметр на параллели. 202 ГЛ. ХП.
ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Ии Рис. 69. Рис. 70. Любую поверхность, гомеоморфную построенному тору вращения, в топологии принято называть тором (точнее, двумерным тором). Как видно, двумерный тор есть прямое произведение двух окружностей. Поскольку окружность получается из отрезка склеиванием (отождествлением) его концов, тор можно получить из прямого произведения отрезков, т.е.
из прямоугольника, склеиванием противоположных сторон прямоугольника по соответствующим точкам (рис. 70). В сущности, этим мы уже в свое время пользовались, когда установили, что конфигурационное пространство двойного маятника является двумерным тором, а движению маятника соответствует путь на торе. l / ! I / l Рис. 71. Пример 5. Если гибкую ленту (прямоугольник) склеить по стрелкам, указанным на рис. 71, а, то можно получить кольцо (рис. 71, с) или цилиндрическую поверхность (рис. 71, Ь), что с топологической точки зрения одно и то же (эти поверхности гомеоморфны).
Если же ленту склеить по стрелкам, изображенным на рис. 72, а, то получим в 1тз поверхность (рис. 72, Ь), называемую в математике листом Мебиуса' ). ПА. Ф. Мебиус (1790 — 1868) — немецкий математик и астроном. 203 11. ПОВЕРХНОСТЬ В Е" Рис. 72. Локальные координаты на этой поверхности естественно вводятся посредством координат на плоскости, в которой лежит исходный прямоугольник. Пример 6.
Сопоставляя изложенное в примерах 4 и 5, поддавшись естественной аналогии, можно теперь предписать склейку прямоугольника (рис. 73, а), объединяющую в себе и элементы тора, и элементы листа Мебиуса. Но подобно тому, как лист Мебиуса нельзя было склеить без разрывов или самопересечений, не выходя за пределы плоскости К2, так и предписанную склейку не удастся выполнить а. Ь. в Нз. Однако в 24 это уже можно сделать и в Рис.
73. результате получить в К4 поверхность, которую принято называть бутылкой Клейна1~1. Попытка изобразить эту поверхность предпринята на рис. 73, Ь. Последний пример дает некоторое представление о том, что поверхность порой легче описать саму по себе, нежели ее же, лежащую в определенном пространстве лен. Более того, многие важные поверхности 1различной размерности) первоначально возникают не как подмножества )йп, а, например, как фазовые пространства механических систем, как геометрический образ непрерывных групп преобразований, как фактор-пространства относительно групп автоморфизмов исходного пространства, и так далее, и тому подобное. Мы ограничимся пока этими первоначальными замечаниями, оставляя их уточнение до гл. ХУ, где будет дано общее определение поверхности, не обязательно лежа- ПФ. Х.
Клейн (1849 — 1925) — крупный немецкий математик, впервые строго обосновавший непротиворечивость неевклидовой геометрии. Знаток истории математики, один из организаторов издания «Энциклопедии математических наук». 204 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В К" щей в К".
По уже здесь, еще не дав этого общего определения, сообщим, что, согласно известной теореме Уитни1), любую )с-мерную поверхность можно гомеоморфно отобразить на некоторую поверхность, лежащую в пространстве К2" ~1. Значит, рассматривая поверхности в К", мы на самом-то деле ничего не теряем с точки зрения их топологического разнообразия и классификации.
Эти вопросы, однако, лежат уже в стороне от наших скромных потребностей в геометрии. Задачи и упражнения 1. Для каждого из множеств Е,„, задаваемых условиями Еа = ((х~у) Е К ! х — у = о)~ Е = ((х, у, х) В Кз ! х~ — у~ = а), Еп = ((х,У,х) В К ! х +У вЂ” х =о), Е =(хйС~ )г~ — Р= х), в зависимости от значения параметра а В К выясните: а) является ли Е„поверхностью; Ь) если да, то какова размерность Е; с) связно ли Е . 2. Пусть 7": К" -1 К" †гладк отображение, удовлетворяющее условию 1о1=7, а) Покажите, что множество 7(К") является гладкой поверхностью в К". Ь) Какой характеристикой отображения 7' определяется размерность этой поверхности? 3.
Пусть ее, е„..., е„— ортонормированный базис в евклидовом простран- стае К" ~',х = хеее+х'е~+...+х"е„, (х) — точка(хе,х',...,х"), е„...,е„— базис в К" С К"+'. Формулы х — х ее о х — х ео о Уь = прихожее, фз= прихф — ее о 1+ хе задают стереографические проекции Ф~: Я" '1 (ео) -+ К", ~э ' Я" '1 ( — ее) — > К" из точек (ее) и (-ее) соответственно. а) Выясните геометрический смысл этих отображений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
