1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Мы не останавливаемся на деталях, поскольку ниже будет указан другой более наглядный способ контроля ориентируемости достаточно простых поверхностей, который с легкостью позволит проверить сказанное в примерах 1 — 4. 210 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Н" Формальное описание понятия ориентации поверхности будет завершено, если к определениям 1, 2, 3 добавить еще приведенные ниже определения 4, 5. Два ориентирующих атласа поверхности будем считать эквивалентным ц если их объединение также является ориентирующим атласом этой поверхности.
Указанное отношение действительно является отношением эквивалентности между ориентирующими атласами ориентируемой поверхности. Определение 4. Класс эквивалентности ориентируюших атласов поверхности по указанному отношению эквивалентности называется классом ориентации атласов поверхности или просто ориентацией поверхности. Определение 5. Ориентированной поверхностью называется поверхность с фиксированным классом ориентации ее атласов (т.е.
с фиксированной на ней ориентацией). Таким образом, ориентировать поверхность — значит тем или иным способом указать определенный класс ориентации ориентирующих атласов этой поверхности. Имеет место уже знакомое нам в его частных проявлениях 'Утверждение 2. На ориентируемой связной поверхноспт существует точно две ориентации. Обычно их называют взаимно противоположными ориентациями. Доказательство утверждения 2 см. в гл. ХЧ, 22, п.3.
Если ориентируемая поверхность связна, то для задания ее ориентации вполне достаточно указать какую-нибудь локальную карту этой поверхности или ориентирующий репер в какой-нибудь из ее касательных плоскостей. Этим широко пользуются на практике. Когда поверхность имеет несколько связных компонент, то такое указание локальной карты или репера естественно делается в каждой компоненте связности. Очень широко на практике применяется также следующий способ задания ориентации поверхности, лежащей в уже ориентированном пространстве.
Пусть Я-ориентируемая (и — 1)-мерная поверхность,лежащая в евклидовом пространстве К", с фиксированным в И" ориентирующим репером е1,..., е„. Пусть ТЯ вЂ” (и — 1)-мерная плоскость, 12. ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ 211 касательная к $ в точке х Е $, а и — вектор, ортогонэльный Т$, т. е. вектор нормали к поверхности $ в точке х. Если при заданном векторе и условиться в Т$ репер (1,..., („1 выбирать так, чтобы реперы (е1,..., е„) и (и, с „..., г,„1) = (е1,..., е„) принадлежали одному классу ориентации пространства К" то, как легко видеть, такие реперы (~1,..., 1) плоскости Т$ сами окажутся С1 принадлежащими одному классу ориентации этой плоскости. Значит, указаЕ2 ние класса ориентации плоскости Т$, а вместе с ним и задание ориентации на Е1 связной ориентируемои поверхности, в Рис. 76.
этом случае можно осуществить, задав нормальный вектор и 1рис. 76). Нетрудно проверить (см. задачу 4), что ориентируемость (и — 1)- мерной поверхности, лежащей в евклидовом пространстве К", равносильна наличию на ней непрерывного поля ненулевых нормальных век- ез торов. Отсюда, в частности, с очевидностью следует ориентируемость сферы, тора и неориентируемость листа Мебиуса, о чем говорилось в примерах 7-10. Связные (и — 1)-мерные поверхности в евклидовом пространстве К", на которых существует (однозначное) непрерывное поле единичных нормальных векторов, в геометрии называют двусторонними.
Таким образом, например, сфера, тор, плоскость в Кз — двусторонние поверхности, в отличие от листа Мебиуса, являющегося в этом смысле односторонней поверхностью. Заканчивая обсуждение понятия ориентации поверхности, сделаем несколько замечаний, относящихся к практике использования этого понятия в анализе. В вычислениях, связанных в анализе с ориентированными поверхностями в К", обычно сначала находят какую-то локальную параметризацию поверхности $, не заботясь об ориентации.
Затем строят в некоторой касательной плоскости Т$ к поверхности репер с„..., 4„1 из векторов (скорости), касательных к линиям выбранной системы криволинейных координат,т.е. строят ориентирующий репер,индуцированный этой системой координат. Если пространство К" было ориентировано, а ориентация $ зада- 212 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Г«" валась полем нормальных векторов, то берут вектор и данного поля в точке х и сравнивают репер п, („..., („„с репером е„..., е„, ориентирующим пространство.
Если эти реперы одного класса ориентации, то локальная карта по принятому выше соглашению задает нужную ориентацию поверхности, а когда эти реперы не согласованы, выбранная карта задает ориентацию поверхности, противоположную предписанной нормалью г«. Ясно, что при наличии какой-то локальной карты (п — 1)-мерной поверхности простым изменением порядка координат можно получить локальную карту нужной ориентации (ориентации, предписанной фиксированным нормальным вектором п к двусторонней гиперповерхности, лежащей в ориентированном пространстве К").
В одномерном случае, когда поверхность сводится к кривой, ориентацию чаще задают касательным вектором к кривой в некоторой ее точке, и в этом случае часто вместо «ориентация кривой» говорят направление движения вдоль приво<1 Если на плоскости И2 выбран ориентирующий К2 репер и задана замкнутая кривая, то положительным направлением обхода (вдоль кривой) ограниченной этой кривой области Р принято считать такое, при котором репер и, и, где «« — вектор внешней по отношению к Р нормапи к кривой, а и — вектор скорости обхода, согласован с ориентирующим репером К2. Это означает, что, например, при традиционно рисуемом на плоскости (правом) репере, положительным обходом будет движение <против часовой стрелки», при котором область, ограниченная кривой, остается «слева». В этой связи саму ориентацию плоскости или плоской области часто задают, отмечая не репер в 11~, а положительное направление движения вдоль какой-нибудь замкнутой кривой, обычно окружности.
Задание такого направления по существу есть указание направления кратчайшего поворота первого вектора репера до его совмещения со вторым, что равносильно заданию класса ориентации реперов на плоскости. Задачи и упражнения 1. Является лн указанный в задаче 3 с) нэ 2 1 атлас сферы ориентирующим атласом этой сферы? 13. КРАЙ ПОВЕРХНОСТИ И ЕГО ОРИЕНТАЦИЯ 213 2. а) Воспользовавшись примером 4 из 31, предъявите ориентирующий атлас двумерного тора.
Ъ) Докажите, что не существует ориентирующего атласа листа Мебиуса. с) Покажите, что при диффеоморфизме у: В -+ Р ориентируемая поверхность д С,0 переходит в ориентируемую поверхность Я С б. 3. а) Проверьте, что принадлежащие одному классу ориентации системы криволинейных координат области С С К" порождают такие непрерывные поля реперов в С, которые в каждой точке х е С задают реперы одного класса ориентации пространства ТС,. Ь) Покажите, что в связной области С С К" непрерывные поля реперов разбиваются точно на два класса ориентации. с) На примере сферы покажите, что гладкая поверхность 5 С К" может быть ориентируемой, хотя на д не существует непрерывного поля реперов касательных к д пространств.
б) Докажите, что на связной ориентируемой поверхности можно задать точно две различные ориентации. 4. а) В пространстве К" фиксировано подпространство К" г, взят вектор е Е К" '1К" ' и два репера (с„..., ф„,), (е„..., ф„,) подпространства К" '. Проверьте, что эти реперы принадлежат одному классу ориентации реперов пространства К" ' тогда и только тогда, когда реперы (и,(„ ...,ф„ ,), (е,С„ ...,С„ ,) задают одинаковую ориентацию пространства К". Ь) Покажите,что гладкая гиперповерхность д с К" ориентируема тогда и только тогда, когда на д существует непрерывное поле единичных нормальных к 5 векторов.
Отсюда, в частности, вытекает ориентируемость двусторонних поверхностей. с) Покажите, что если ягаг(ГфО, то задаваемая уравнением г'(х',..., х") = = 0 поверхность ориентируема (предполагается, что уравнение имеет решение). б) Обобщите предыдущий результат на случай поверхности, задаваемой системой уравнений. е) Объясните, почему не каждую гладкую двумерную поверхность в Кэ можно задать уравнением Р(х, у, х) = О, где г — гладкая функция без критических точек (т. е. ягаб г ~ О). 3 3.
Край поверхности и его ориентация 1. Поверхность с краем. Пусть К" — евклидово пространство размерности й, наделенное декартовыми координатами г1,..., г". Рассмотрим полупространство Н:= 1г Е К~ ~ 1~ < О) пространства К~. Гиперплоскость дН":= 1г Е К" ( гг = О) будем называть краем полу- пространства Н". 214 ГЛ.
ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Н" Заметим, что множество Н":= Н" 1 дН", т. е. открытая часть Н", является простейшей к-мерной поверхностью. Само же полупространство Н" формально не удовлетворяет определению поверхности ввиду наличия в Н" точек края дН". Множество Н" является эталоном поверхностей с краем, которые мы сейчас опишем.
Определение 1. Множество 5 с К" называют поверхностью (размерности Й) с краем, если любая точка х Е Я имеет окрестность У в Я, гомеоморфную либо )к", либо Н~. Определение 2. Если при указанном в определении 1 гомеоморфизме У на Н" точке х Е У соответствует точка края дН", то х называется точкой крал поверхности (с краем) Я и своей окрестности У. Совокупность всех точек крал называется краем поеерхкосп»и Я. Край поверхности Я, как правило, будет обозначаться символом дд. Отметим, что дН" при к = 1 состоит из одной точки, поэтому, сохраняя соотношение дН< = )к" 1, мы в дальнейшем будем понимать 1~~ как одну точку, а д)яо будем считать пустым множеством. Напомним, что при гомеоморфном отображении <рН: С, — + С области С, с 1~" на область С с 1~" внутренние точки области С; переходят во внутренние точки образа 1о,1(С,) (это †теоре Брауэра). Следовательно, понятие точки края поверхности не зависит от выбора локальной карты, т.е.
определено корректно. Определение 1 формально включает в себя и случай поверхности, описанный в определении 1, ~ 1. Сопоставляя эти определения, видим, что если на Я нет точек края, то мы возвращаемся к прежнему определению поверхности, которое теперь можно было бы считать определением поверхности без края. Отметим в этой связи, что термин <поверхность с краем» обычно употребляется тогда, когда множество точек края непусто.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
