1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Замена переменных в несобственном интеграле. В заключение получим формулу замены переменных в несобственных интегралах и тем самым сделаем весьма ценное, хотя и очень простое дополнение к теоремам 1 и 2 из 8 5. Теорема 1. Пусть у: Р~ — ~ Р— диффсоморфное отображение открытозо множества Рь с %~в на такое же множество Р, с $~, а функция 7': Р -+ И интезрируема на измеримых компактных подмножествах множества Р,. Если несобственный интеерал 1' 1(х) дх в. ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 188 сходится, то интеграл ( Я о ~р) ~ с1е1 ~р'~)(1) Ю также сходится и их Р~ значения совпадают.
м Открытое множество Р~ С Ц' можно исчерпать последовательностью лежащих в Рс компактов Е,", к Е 1Ч, каждый из которых является объединением конечного числа промежутков пространства Я", (см. в этой связи начало доказательства леммы 1 из 8 5). Поскольку 1о: Р1 -+ — > Р— диффеоморфизм, исчерпанию (Е,") множества Р~ отвечает исчерпание Е, "множесгва Р, где Е~ = у(Е~) — измеримые компакты в Р, 1измеримость множеств Еь следует из леммы 1, 8 5). В силу утверждения 1 из 8 5 можно записать, что 7(х) дх = Я о ~р)! де1 1о'/)(1) сЫ.
Еь с Левая часть этого равенства при к -+ оо по условию имеет предел. Значит, правая часть при к -+ со тоже имеет, и притом тот же, предел. ~ Замечание 3. Приведенным рассуждением проверено, что стоящий в правой части последнего равенства интеграл имеет один и тот же предел при любом исчерпании Р1 указанного специального вида. В дальнейшем мы будем использовать именно эту доказанную часть теоремы. По формально для завершения доказательства сформулированного утверждения необходимо в соответствии с определением 2 проверить, что найденный предел существует для любого исчерпания области Р1.
Эту (не вполне элементарную) проверку мы оставляем читателю в качестве хорошего упражнения. Заметим только, что из доказанного уже можно извлечь сходимость несобственного интеграла от функции ()' о ф) де$ ~р'! по множеству Р1 (см. задачу 7). Теорема 2. Пусть 1о: Р~ — + Р— отображение открытых множеств Р~ и Р . Предположим, что в Р1 и Р, можно указать такие множества Яс Я меры нуль, что Р1'1Ям Рх~Ях — открытые множества, а у ди44еомор4но отображает первое из них на второе.
Если при этих условиях несобственный интеграл ) 7'(х) дх сходится, то В, сходится также интеграл ) Яо р)~де1р'~)(1)<И и их значения со- ПФ ~Ям впадают. Если к тому же величина ~ де1 ~о'~ определена и ограничена на 189 16. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ и компактных подмножествах множества Ры то функция (у о~р) ~ <1е1 ~р ~ интегрируема в несобственном смысле по множеству Р1 и имеет место равенство ~(х) дх = Я о ~р) ! 11е1 ур'!) 11) <11. Грр'~ур ~ Сформулированное утверждение является прямым следствием теоремы 1 настоящего параграфа и теоремы 2 из 8 5, если учесть, что при отыскании несобственного интеграла по открытому множеству можно ограничиться рассмотрением исчерпаний, состоящих из измеримых компактов (см.
замечание 3). > дхд ор,р р. р „р д р ., р р хр.1-ур<1 ~ при о > О является несобственным, поскольку тогда подынтегральная 2 2 функция неограничена в окрестности окружности х + у = 1. Переходя к полярным координатам, по теореме 2 получаем (1 х2 у2)о (1 т2)о ' хр 1 у2 < 1 При о > О последний интеграл тоже несобственный, но, поскольку п одынтегрвльная функция неотрицательна, его можно вычислять как 2 предел по специальному исчерпанию прямоугольника 1 = 1(т, 12) Е К О < 1о < 2к А О < т < 1) прямоугольниками Х„= ((т, 1о) Е К ! О < р < 2 < 2к А О < т < 1 — 1 ~, и е И. Используя теорему Фубини, находим, что при о < 1 2х 1 I' (1 т2)о +оо ~ 1 (1 т2)о 1 о' 0<х<2 о о о«р На основе этих же соображений можно сделать вывод, что исходный интеграл при о > 1 расходится. дхд Пример В.
Покажем, что интеграл О ~ — ~у — ~-у сходится Ф~-Ь~>1 * лишь при условии — + — < 1. 1 1 Р Ч ГЛ. ХЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 190 м Вви у очевидной симметрии достаточно рассмотреть интеграл в д только по области Р, в которой х > О, у > 0 и х + у Ясно, что для сходимости интеграла необходимо одновременное вы- полнение условий р > и д . е 0 и > О. Действительно, если бы, например, было р < О, то уже для интеграла по прямоугольнику 1А = ((х, у) Е Й < х < АД 0 < у < Ц, лежащему в В, мы бы получили оценку 1 | / ~хР+Ь~' l / ~хР+ЬР' .I / +у У 1А о которая показывает, что при А — 1 оо этот интеграл неограниченно воз- растает.
Таким о разом, б в дальнейших рассмотрениях можно считать, что р > 0 и д > О. В ограниченной части области 12 подынтегральная функция не име- ет особенностей, поэтому и сследование сходимости нашего интеграла авносильно исследованию сходимости интеграла от той же функции, равносильно ис но,например,по той части С области О, где х + у а а предполагается достаточно большим, чтобы р к иная х" + ч = а при у Переходя к обобщенным полярным координатам р по формулам х = (т сов ~р) 1, у = (т тйп ~р) 2 1 Р 2 1112 на основании теоремы 2 получаем Используя исчерпание области 1(т, 1р) Е ~ р ж2 ~О< <я/2да(т< < оо) промежутками 1,А = 1(т,у) е К ) ~р / 0 < е «я/2 — еда < т < А) и применяя теорему Фубини, получаем о<~ <~1г йя~<х я12 — < А — 2-2 2-1 ° 2-1 / ~ Йт.
= 1пп совр ря1пя ~рсфср 1пп /т < — ~0 А — ~со а г 6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 191 Поскольку р > О и д > О, первый из этих пределов заведомо конечен, а второй конечен, лишь когда — + — < 1. ~ 1 1 Задачи и упражнения дхл 1. Укажите условие на р и д, при котором интеграл О о<(*(1-(у~яг сходится. А 2. а) Существует ли !пп ( созхг4х? А-м о Ь) Сходится ли интеграл ( сов хг 4х в смысле определения 2? н1 с) Проверив, что 1пп ('1 яп(х +у )4хду = н и — кю/ / (<~<ю 1пп Ч яп(хг + уг) дхду = О, в — ><о <2.~. 2<г .в убедитесь, что интеграл от яп(хг + уг) по плоскости Кг расходится.
111 3. а) Вычислите интеграл Щ -~,+~-. ооо Ь) Следует быть осторожным, применяя теорему Фубини к несобственным (как, впрочем, и к собственным) интегралам. Покажите, что интеграл г г Д вЂ” *г:-+г Нхду расходится, в то время как оба повторных интеграла » (х еу) г г 1 4х ) — ~ — --Уг-г 4у и ( 4у ( — *г — -+т 4х сходятся. (х -~- у ) (х -~- у ) с) Докажите, что если ( Е С(Кг, К) и у > О в Вг, то из существования любогоиз двухповторных интегралов ( пх ( у(х,у)ду, ( пу ( у(х у)ох вытекает, что интеграл О 1(х, д) о(хну сходится и равен значению этого понг вторного интеграла. 4. Покажите, что если у 6 С(К, К), то 1)щ — 1 Ьг г (х) ох = ~(О). 1 )' )г л.
о л. / Аг + хг — 1 5. Пусть Р— ограниченная область в К" с гладкой границей, а Я вЂ” гладкая lс-мерная поверхность, лежащая на границе области Р. Покажите, что 192 ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ если функция у 6 С(Р, К) допускает оценку Щ < — „--~ —;, где А = а(Я, х)— расстояние от точки х Е Р до Я, а е > О, то интеграл от функции 1 по области Р сходится. 6. В дополнение к замечанию 1 покажите, что оно остается в силе даже без предположения об измеримости множества Е.
Т. Пусть Р— открытое множество в К", а функция 1: .Р -+ К интегрируема на любом измеримом компакте, лежащем в Р. а) Покажите, что если несобственный интеграл от функции ф по Р расходится, то найдется такое исчерпание (Е„) множества .Р, что каждое из множеств Е„является элементарным компактом в Р, состоящим из конечного числа и-мерных промежутков и О Щ(х) дх -+ +оо при и — ~ оо. Ен Ь) Проверьте, что если интеграл от у по некоторому множеству сходится, а от )Д расходится, то должны расходиться также интегралы от Д.
= 2(~~~ + +~) и У' = 2(~Д вЂ” У). с) Покажите, что полученное в а) исчерпание (Е„) можно разрядить так, что для любого и 6 И будет выполняться соотношение ) Д~.(х)Нх > н„~.1~,е„ > )' )Д (х) дх + и. Е П) С использованием нижних интегральных сумм покажите, что если )' Д+(х) Нх > А, то найдется такой элементарный компакт Е с Е, состоящий в' из конечного числа промежутков, что 1' 1(х) дх > А.
р е) Выведите из с) и б), что существует такой элементарный компакт Р„С С Ен.ы ~ Е„, для которого 1 1(х) ах > ) ф(х) дх + и. Р Е 1) Покажите, используя е), что множества С„= Р'„П Е„являются лежащими в Р элементарными компактами (т.е. состоят из конечного числа промежутков), которые в совокупности образуют исчерпание множества Р и для которых имеет место соотношение ) 1(х) дх — > +со при и -+ оо. и„ Таким образом, если интеграл от Щ расходится, то расходится (в смысле определения 2) и интеграл от функции у. 8. Проведите подробно доказательство теоремы 2. 9. Напомним, что если х = (х',..., х"), а с = (с1,..., с"), то (х, с) = х~с1+ +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
