1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Поскольку В, есть шар размерности п — 1, радиус которого по теореме Пифагора равен у' г2 — х2, то, действуя по индукции и используя формулу (3), можно написать: я/2 с„ 1(г2 — х2) з дх = С„ 1 СОВ" гр дгр т". — я!2 (При переходе к последнему равенству, как видно, была сделана замена х = г в1пгр.) 'г Б. Кавальери (1898 — 1647) — итальянский математик, автор так называемого метода неделимых для определения площадей и объемов. ГЛ.
Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 160 Итак, показано, что К, = с„с", причем л,гг С„= С„1 СОЯ" гР Г6Р. (4) — гг гг Теперь найдем постоянную с„в явном виде. Заметим, что при гп > 2 ,гг Х = сое™ гр11гр = соя~ 2 гр(1 — я1пг гр) г1гр = — л,гг — л,гг л/2 г . лг-1 + — 1 я!игр асов п1 — 1 — л,гг 1 У вЂ” Хи — 2 — Хп, т — 1 Хш — 2 т.
е. имеет место рекуррентное соотношение т — 1 Х Хлг-2 т (5) В частности, Хг = я/2. Непосредственно из определения величины Х видно, что Х1 —— 2. Учитывая эти значения Х1 и Хг, из рекуррентной формулы (5) находим, что (2й) (. '(2й — 1)!! (2й + 1)!! ' (2й)!! Возвращаясь к формуле (4), теперь получаем (2й)!! (2й)!! (2й — 1)!! (2я)" 2/сг'1= 2Ь(2й 1)П ' гл-1(2й ! 1)П ' (2й)г1 = ° ° ° = 1 ' (2й ! 1)1г (2й — 1)!! (2й — 1)!! (2й — 2)!! (2я)л гй ~21г 1 (2й)!! ~21 (2гг)" гь (2й) и (2я) „гье1 2ь-~-1 (2й + ! )1! где й Е И, причем первая из этих формул справедлива и при й = О.
Но, как мы видели выше, с1 = 2, а сг = я, поэтому окончательные формулы для искомого объема 1'„таковыг 14. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 161 Задачи и упражнения 1. а) Постройте такое подмножество квадрата 1 С Нз, что, с одной стороны, его пересечение с любой вертикальной и любой горизонтальной прямой состоит не более чем из одной точки, а, с другой стороны, замыкание этого множества совпадает с 1.
Ь) Постройте функцию /: Х вЂ” 1 Н, для которой оба участвующих в теореме Фубини повторных интеграла существуют и равны между собой, в то время как / к?с(1). с) Покажите на примере, что если значения участвующей в теореме Фубини функции Е(х), подчиненные там условиям,7(х) < Е(х) < 7(х), в точ-. ках, где,7(х) < Х(х), просто положить равными нулю, то функция Е может оказаться неинтегрируемой. (Рассмотрите, например, в Из функцию /(х, у), равную единице, если точка (х, у) е Н не является рациональной, и равную 1 — 1/е в рациональной точке (р/е, т/и), где обе дроби несократимы.) 2. а) В связи с формулой (3) покажите, что если все сечения ограниченного множества Е семейством параллельных гиперплоскостей измеримы, то это еще не означает, что Е измеримо.
Ь) Пусть в дополнение к условиям а) известно, что функция р(Е„) из формулы (3) интегрируема на отрезке 1ю Можно ли в этом случае утверждать, что Š— измеримое множество? 3. Используя теорему Фубини и положительность интеграла от положительной функции, дайте простое доказательство равенства е- = ~~~ смешанных производных в предположении, что они являются непрерывными функциями. 4. Пусть /: 1 ь — 1 И вЂ” непрерывная функция, определенная на промежутке 1,1 = (х 6 2" ~ а' < х' < 6', 1 = 1,...,п), а функция Е: Х„,ь -+ Н, определена равенством где Х л С 1 ь.
Найдите частные производные этой функции по переменным 5. Пусть определенная на прямоугольнике 1 = 1а, 6] х (с, о) с а" непрерывная функция /(х, у) имеет непрерывную в 1 частную производную ~~1. ь ьХл а) Пусть Е(у) = ( 1(х, у) дх. Исходя из равенства Е(у) = ) ~ ) ~3/(х,с) с(1+ а а л +/(х, с) ех, проверьте праеило Лейбница, согласно которому Е'(у) ь хг аХ( ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 162 Ь) Пусть С(х, у) = 1 1(1, у) й. Найдите ф и ~~~. а мр) с) Пусть Н(у) = ) 1(х, у) пх, где а Е СЬО(а, О]. Найдите Н'(у). а 6. Рассмотрим последовательность интегралов 3о(х) = 1(у)ду, Г„(х) = 1, 1(у)с1у, па И, Г (х — у)" о о где 1" е С(11, 2). а) Проверьте, что Е'„'(х) = Е„1(х); ~Е ~(0) = О, если (о < и; г Р"~ ~(х) = = 1(х). Ъ) Покажите, что Ж Х1 ~п — 1 х 1х, 1 ах,... 1 1(х„) ах„= — ', ~(х — у)'*У(у) 1у.
о о о о 7. а) Пусть 1: Е -+ К вЂ” функция, непрерывная намножестве Е = ((х,у) Е Е й~ ! 0 < х < 1 А 0 < у < х). Докажите, что 1 1 1 1 ~1 Я*,у)е= 1 е) л*ю)~- о о о р рк ипх Ь) На примере повторного интеграла 1' дх ( 1 ду объясните, почему о о не каждый повторный интеграл является расписанным по теореме Фубини двойным интегралом. З 5. Замена переменных в кратном интеграле 1.
Постановка вопроса и эвристический вывод формулы замены переменных. Рассматривая интеграл в одномерном случае, мы получили в свое время важную формулу замены переменной в таком интеграле. Теперь наша задача состоит в том, чтобы найти формулу замены переменных в общем случае. Уточним вопрос.
Пусть Р— множество в к", 1 — интегрируемая на Р функция, а ур: Р, — + Р,— отображение 1 ~-р (о(1) множества Р~ С К" на Р . Спрашивается, по какому закону, зная у и у, находить функцию ~ в Р~ ~ 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 1бЗ так, чтобы иметь равенство 1'(х) пх = ф(~) сИ, позволяющее сводить вычисление интеграла по Р к вычислению интеграла по Рсу Предположим сначала, что Р~ есть промежуток 1 С К", а (г: 1 -+ -+ Р— диффеоморфное отображение этого промежутка на Р,. Любому разбиению Р промежутка 1 на промежутки 11, 11,..., 1ь соответствует разложение Р, на множества д(1;), г' = 1,..., й. Если все эти множества измеримы и пересекаются попарно лишь по множествам меры нуль, то в силу аддитивности интеграла Если 1 непрерывна на Р, то по теореме о среднем 1(х) дх = ~ф)р(~р(1;)), ж(б) где с, Е ~р(1,).
Поскольку (ф) = ~(~р(т,)), где т, = ~р ~ф), то нам остается связать д((о(1;)) с р(1;). Если бы ~р было линейным преобразованием, то ~р(11) был бы параллелепипед, объем которого, как известно из аналитической геометрии и алгебры, бь|л бы равен ~ бар'~р(1,). Но диффеоморфизм локально является почти линейным отображением, поэтому, если размеры промежутков 1; достаточно малы, то с малой относительной погрешностью можно считать, что д(х(1;)) = ) беФ ~р'(т;) ~(Ц (можно показать, что при некотором выборе точки т( Е 1; будет иметь место даже точное равенство).
Таким образом, (2) Но справа в этом приближенном равенстве стоит интегральная сумма от функции ~(у(~))~ де~ ~о'(~)~ по промежутку 1, отвечающая разбиению Р этого промежутка с отмеченными точками т. В пределе при ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Л(Р) — ~ О из (1) и (2) получаем Это и есть искомая формула вместе с ее объяснением. Намеченный путь к ней можно пройти со всеми обоснованиями (и это стоит проделать). Однако, чтобы познакомиться с некоторыми новыми полезными общематематическими приемами и фактами и избежать чисто технической работы, мы в дальнейшем доказательстве кое в чем отклонимся от этого пути. Перейдем к точным формулировкам.
Напомним Определение 1. Носителем заданной в области Р с К" функции у": Р— ~ К назовем замыкание в Р множества тех точек области Р, в которых 1(х) ~ О. В этом параграфе мы рассмотрим ситуацию, когда интегрируемая функция ~: Р -+ К равна нулю в окрестности границы области Р, точнее, когда носитель функции Р, (обозначаемый вирру) является лежащим в Р компактом~) К. Интегралы от у по Р и по К, если они существуют, очевидно, совпадают, поскольку вне К в Р функция равна нулю. С точки зрения отображений, условие вирру = К с Р равносильно тому, что замена х = у(с) действует не только на множестве К, по которому в сущности и надо интегрировать, но и в некоторой окрестности Р этого множества.
Теперь сформулируем, что мы собираемся доказать. Теорема 1. Если ~р: Р~ — е Р— диффеоморфизм ограниченного открытого множества Р~ С К" на такое же множество Р = у~(РД С К", а ~ с Я(Р ) и вирр У' — компакт в Р „то у о ф с1е1 у'~ е е Я.(Р~) и справедлива формула ОТакие функции обычно называют финишными в рассматриваемой области. з 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 165 2. Измеримые множества и гладкие отображения Лемма 1. Пустпь ~р: Рт -+ Р— диффеоморфизм открытпого множества Рт С ят; на такое же множество Р С К". Тогда справедливы следутощие утпверждения: а) Если Ет С Рт — множество меры нуль (в смысле Лебега), то его образ ут(Ет) С Р тпакже является множеством меры нуль.
Ь) Если множество Ео содержащееся в Рт вместе со своим замыканием Ео имеет обьем нуль (в смысле меры Жордана), то его образ ~р(Ет) = Е содержится в Р вместе со своим замыканием и тпоже имеетп обьем нуль. с) Если измеримое (по Жордану) множество Ет содержится в области Рт вместпе со своим замьаканием Ео то его образ Ез = у(Ет) является измеримым множеством и Е, С Р .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
