1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Л(Р) — ~0 Аналогичные рассуждения можно провести и для верхних сумм. ~ь с. Критерий Дарбу интегрируемости вещественнозначной функции Теорема 3 (критерий Дарбу). Определенная на промежутке 1 С С Вп веи1ественнозначная функция 1: 1 -+ К интегрируема на нем тогда и только тогда, когда она ограничена на 1 и ее нижний и верхний интегралы Дарбу совпадают. Итак, 1 е К(1) с=ь (1 оеракичена на 1) Л (,7 =,7). 1 Необходимость.
Если 1 б ьс(1), то по утверждению 1 функция Х ограничена на 1. Из определения 7 интеграла, определения 11 величин,7,,7 и п. а) леммы 5 следует, что в этом случае также,7 =,7. Достаточность. Поскольку л(Х,Р) < п(Х,Р,() < Я(Х,Р), то при,7 = 7 крайние члены этих неравенств по теореме 2 стремятся к одному и тому же пределу, когда Л(Р) — ь О. Значит, п(1, Р, ~) имеет и притом тот же предел при й(Р) — ь О.
~ Замечание 3. Из доказательства критерия Дарбу видно, что если функция интегрируема, то ее нижний и верхний интегралы Дарбу совпадают между собой и равны значению интеграла от этой функции. Задачи и упражнения 1. а) Покажите, что множество меры нуль не имеет внутренних точек. Ь) Покажите, что если множество не имеет внутренних точек, то это вовсе не означает, что это множество меры нуль. с) Постройте множество, имеющее меру нуль, замыкание которого совпадает со всем пространством К".
д) Говорят,что множество Е С Х имеет объем нуль, если для любого е > О его можно покрыть конечной системой Хм, .., 1ь промежутков так, что ь ~1;( < ж Всякое ли ограниченное множество меры нуль имеет объем нуль? в=1 е) Покажите, что если множество Е с К" является прямым произведением К х е прямой К и множества е С К" ь (п — 1)-мерной меры нуль, то Е есть множество и-мерной меры нуль.
2. а) Постройте аналог функции Дирихле в И" и покажите, что если ограниченная функция 1: 1 ь К равна нулю почти во всех точках промежутка 1, то это еще не означает, что Х е Я(1). Ь) Покажите, что если 1 е Гс(1) и 1(х) = О почти во всех точках промежутка 1, то ) 1(х) ььх = О. 1 3. Между прежним определением интеграла Римана на отрезке 1 С К и определением 7 интеграла на промежутке произвольной размерности имеется маленькое различие, связанное с определением разбиения и меры промежутка разбиения. Уясните для себя этот нюанс и проверьте, что ь / 1(х) ь1х = 1(х) дх, если а < Ь 12.
ИНТЕГРАЛ ПО МНОЖЕСТВУ 141 ь / 1(х) ах = — 1(х) дх, если а > Ь, где 1 — промежуток на прямой Ж с концами а, Ь. 4. а) Докажите, что определенная на промежутке 1 С Ж" вещественнозначная функция 1: 1 -+ Ж интегрируема на нем тогда и только тогда,когда для любого в > 0 существует такое разбиение Р промежутка 1, что Я(1',Р) — в(1,Р) ( в. Ь) Используя результат а) и считая, что рассматривается вещественнозначная функция 1: 1 -+ Ж, можно несколько упростить доказательство критерия Лебега в разделе, относящемся к достаточности. Постарайтесь самостоятельно сделать эти упрощения. 2 2.
Интеграл по множеству 1. Допустимые множества. В дальнейшем нам предстоит интегрировать функции не только по промежутку, но и по другим не слишком сложным множествам в Ж". Определение 1. Множество Е с Ж" будем называть допустимым, если оно ограничено в Ж" и его граница дЕ есть множество меры нуль (в смысле Лебега). Пример 1. Куб, тетраэдр, шар в Жз (Ж") являются допустимыми множествами.
Пример 2. Пусть определенные на (и — 1)-мерном промежутке 1 Е Е Ж" функции ~р;: 1 ь Ж, 1 = 1,2, таковы, что ~оь(х) ( ~рг(х) в любой точке х е 1. Если эти функции непрерывны, то на основании примера 2 из 21 можно утверждать, что область в Ж", ограниченная графиками этих функций и боковой цилиндрической поверхностью, лежащей над границей д1 промежутка 1, является допустимым множеством в Ж". Напомним, что граница дЕ множества Е С Ж" состоит из точек, в любой окрестности которых имеются как точки множества Е, так и точки дополнения Е в Ж". Значит, справедлива Лемма 1. Для любых множеств Е, Ем Ег С Ж": а) дŠ— замкнутое в Ж" множество; Ь) д(Еь и Ег) С дЕь и дЕг, с) д(Еь И Ег) с дЕь и дЕг, ГЛ. Х1.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 142 11) д(Е1 '1 Е2) С дЕ1 0 дЕ2. Отсюда и из определения 1 вытекает, что имеет место Лемма 2. Объединение или пересечение конечного числа допустимых множеств является допустимым множеством; разность допустимых множеств — тоже допустимое множество. Замечание 1. Для бесконечного количества допустимых множеств лемма 2, вообще говоря, неверна, как, впрочем, и соответствующие утверждения Ь) и с) леммы 1. Замечание 2.
Граница допустимого множества — не только замкнутое, но и ограниченное множество в К", т. е. зто — компакт в К". Значит, по лемме 3 из 2 1 ее можно покрыть даже конечной системой промежутков со сколь угодно близкой к нулю суммой объемов. Рассмотрим теперь характеристическую функцию ) 1, еслихЕЕ, '1 О, еслих~Е допустимого множества Е. Как и для любого множества Е, функция (х) имеет разрывы в граничных и только в граничных точках множества Е.
Значит, если Š— допустимое множество, то функция Х (х) непрерывна почти во всех точках пространства я4'. 2. Интеграл по множеству. Пусть 1 — определенная на множестве Е функция. Условимся, как и прежде, символом ~Х (х) обозначать функцию, равную 1(х) при х Е Е и равную нулю вне Е (хотя 1 вне Е не определена). Определение 2. Интеграл от функции 1' по множеству Е определяется соотношением 1ЗЕ где 1 — произвольный промежуток, содержащий множество Е. Если стоящий в правой части равенства интеграл не существует, то говорят, что 1 неинтегрируема (по Римзну) на множестве Е. В противном случае 1 называется интегрируемой (по Риману) на множестве Е.
12. ИНТЕГРАЛ ПО МНОЖЕСТВУ 143 Совокупность интегрируемых по Риману на множестве Е функций будем обозначать символом Я(Е). Определение 2, разумеется, требует пояснения, которое доставляет Лемма 3. Если 11 и Хг — два промежутка, содержащие порознь множество Е, то интегралы 1г существуют или не существуют одновременно, причем в первом слу- чае их значения совпадают. < Рассмотрим промежуток 1 = 111З Хг.
По условию 1 Э Е. Точки разрыва функции Х,"~е либо совпадают с точками разрыва функции Х на Е, либо проистекают от разрывов функции 1 и лежат на дЕ. Во всяком случае, все эти точки лежат в 1 П 11 П 1г. По критерию Лебега (теорема 1, ~1) отсюда следует, что интегралы от Х'1 по промежуткам 1, 11, Хг существуют или не существуют одновременно. Если они существуют, то мы вправе выбирать разбиения 1, 11, Хг по своему усмотрению. Будем поэтому брать только те разбиения промежутков 1П Хг, которые получаются продолжением разбиений промежутка 1 = Х1 О Хг.
Поскольку вне 1 рассматриваемая функция равна нулю, интегральные суммы, отвечающие описанным разбиениям 11 и Хг, сведутся к интегральной сумме соответствующего разбиения промежутка 1. После предельного перехода отсюда получается, что интегралы по 11 и 1г равны интегралу от рассматриваемой функции по промежутку Х. ~ Иэ критерия Лебега (теорема 1, ~1) существования интеграла на промежутке и определения 2 вытекает Теорема 1. Функция Х: Š— г К интегрируема на допустимом множестве тогда и только тогда, когда она ограничена и непрерывна почти во всех точках множества Е.
~ Функция 11 по сравнению с функцией 1 может иметь дополнительно точки разрыва лишь на границе дЕ множества Е, которая по условию является множеством меры нуль. ~ 144 ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3. Мера (объем) допустимого множества Определение 3. Мерой (Жордана) или объемом ограниченного множества Е С К" назовем величину п(Е):= 1 дх, если указанный интеграл (Римана) существует. Поскольку ХЕ(л) йх а множество точек разрыва функции Х совпадает с дЕ, то по критерию Лебега получаем, что так введенная мера определена только для допустимых множеств. Таким образом, допустимые множества и только они являются измеримыми в смысле определения 3. Выясним теперь геометрический смысл величины д(Е).
Если Е— допустимое множество, то д(Е) = Хе(х) дх — Хе(х) пх Хе(л) от, 1~К 1ЪЕ !ЗЕ где последние два интеграла суть нижний и верхний интегралы Дарбу соответственно. В силу критерия Дарбу существования интеграла (теорема 3 3 1) мера д(Е) множества определена тогда и только тогда, когда указанные нижний и верхний интегралы совпадают. По теореме Дарбу (теорема 2 3 1) они являются пределами нижних и верхних интегральных сумм функции Х, отвечающих разбиениям Р промежутка Х. Но в силу определения функции Х нижняя интегральная сумма равна сумме объемов промежутков разбиения Р, лежащих в Е (это объем вписанного в Е многогранника), а верхняя сумма равна сумме объемов тех промежутков разбиения Р, которые имеют общие точки с множеством Е (объем описанного многогранника).
Значит, р(Е) есть общий предел при Х(Р) -+ 0 объемов вписанных в Е и описанных около Е многогранников, что совпадает с принятым представлением об объеме простых тел Е С К". 12. ИНТЕГРАЛ ~О МНОЖЕСТВУ 145 При п = 1 объем принято называть длиной, а при п = 2 — площадью. Замечание 3. Поясним теперь, почему вводимая определением 3 мера р(Е) множества называется иногда мерой Жордана. Определение 4. Множество Е с К" называется множеством меры нуль е смысле Жордана или множеством объема нуль, если для любого е > О его можно покрыть такой конечной системой промежуть ков 11,..., 1ы что 2 ~11~ ( е.
1=1 По сравнению с мерой нуль в смысле Лебега здесь появилось требование конечности покрытия, которое сужает лебеговский класс множеств меры нуль. Например, множество рациональных точек является множеством меры нуль в смысле Лебега, но не в смысле Жордана. Для того, чтобы верхняя грань объемов вписанных в ограниченное множество Е многогранников совпадала с нижней гранью объемов описанных около Е многогранников (и служила мерой 14(Е) или объемом Е), очевидно, необходимо и достаточно, чтобы граница дЕ множества Е имела меру нуль в смысле Жордана. Именно поэтому прини- мают Определение б.
Множество Е называется измеримым в смысле Жордана, если оно ограничено и его граница имеет меру нуль в смысле Жордана. Как видно из замечания 2, класс множеств, измеримых по Жордану, это в точности тот класс допустимых множеств, который был введен определением 1. Вот почему определенная выше мера 4ь(Е) может быть названа (и называется) мерой Жордана множеств Е (измеримых по Жордану). Задачи и упражнения 1. а) Покажите, что если множество Е С Вь таково, что р(Е) = О, то и для замыкания Е этого множества справедливо равенство р(Е) = О.
Ъ) Приведите пример ограниченного множества Е меры нуль в смысле Лебега, замыкание Е которого уже не является множеством меры нуль в смысле Ле бега. с) Выясните, надо ли понимать утверждение Ь) леммы 3 нз 2 1 как то, что для компакта понятия множества меры нуль в смысле Жордана и в смысле Лебега совпадают. ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 146 б) Докажите, что если проекция ограниченного множества Е С К" на гиперплоскость К" ' имеет (и — 1)-мерный объем нуль, то само множество Е имеет и-мерный объем нуль. е) Покажите, что измеримое по Жордану множество без внутренних точек имеет нулевой объем. 2. а) Может ли существовать введенный определением 2 интеграл от некоторой функции 1 по ограниченному множеству Е, если Е не является допустимым множеством (измеримым в смысле Жордана)? Ь) Интегрируема ли постоянная функция 1: Е -+ К на ограниченном, но неизмеримом по Жордану множестве Е? с) Верно ли, что если некоторая функция 1 интегрируема на множестве Е, то ограничение Дл, этой функции на любое подмножество А С Е множества Е является интегрируемой на А функцией? б) Укажите необходимые и достаточные условия на функцию 1:Е -+ К, определенную на ограниченном (но не обязательно измеримом по Жордану) множестве Е, при которых интеграл Римана от нее по множеству Е существует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
