1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Трением, разумеется, мы пренебрегаем. Кроме того, будем считать, что тривиальный случай, когда обе точки находятся на одной вертикали, исключен из дальнейшего рассмотрения. В вертикальной плоскости, проходящей через точки Рв, Р1, введем прямоугольную систему координат так, чтобы точка Рв была ее началом, ось абсцисс была направлена вертикально вниз, а точка Р1 имела положительные координаты (х1, у1 ). Форму желоба будем искать только среди графиков, заданных на отрезке [О, х1) гладких функций, удовлетворяющих условиям 1(0) = О, 1(х1) = у1.
На исследовании этого отнюдь не бесспорного предположения мы пока не останавливаемся (см. задачу 4). Если частица начинала свое движение из точки Рв с нулевой скоростью, то закон изменения величины ее скорости в выбранной системе координат запишется в виде 16. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 113 Вспоминая, что дифференциал длины дуги вычисляется по формуле найдем время (16) Ь(1 2 3) и2 поэтому необходимое условие экстремума (11) в данном случае сводит- ся к уравнению д ( Г(х) из которого следует, что (17) где с — отличная от нуля постоянная (точки не лежат на одной вертикали!). С учетом (15) уравнение (17) можно переписать в виде (18) Однако с геометрической точки зрения дх дд — = сов ~р, — = з1п~р, (19) дл нл где ~р — угол между касательной к траектории и положительным направлением оси абсцисс.
Сравнивая уравнение (18) со вторым из уравнений (19), находим 1 х = — я1п у. .2 (20) о движения вдоль траектории, заданной графиком функции д = 1(х) на отрезке 10, х1]. Для функционала (16) ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Но из (19) и (20) следует, что с[у ду с)х йх д /я[пэ р'1 я[пэ р — — — =1И~р — = 1~у — ~ ) = 2 ар дх ар ар ар ~, сэ ) сэ откуда находим 2 у = — г(2~р — яп 2~р) + Ь. (21) Полагая 2/с~ =: а и 2~о =: 1, запишем соотношения (20) и (21) в виде х = а(1 — соя1), у = а(1 — яп1) + Ь. (22) Поскольку а ф О, то х = 0 лишь при 1 = 2йя, Ь е К.
Из вида функций (22) следует, что без ограничения общности можно считать, что точке Рд = (0,0) отвечает значение 1 = 0 параметра 1. В этом случае Ь = О, и мы приходим к более простой форме х = а(1 — сов1), у = а(1 — яп1) (23) Задачи и упражнения 1. Пусть 1: У -+ У вЂ” отображение класса СОО(У;У) открытого подмножества У нормированного пространства Х в нормированное пространство У. Пусть отрезок [х, х + Ь] полностью содержится в У, и в точках интервала ]х, х+ 6[ функция 1 имеет дифференциал (и+ 1)-го порядка, причем [ф"+О(С)[[ < М в любой точке Ь' е]х, х + 6[. параметрического задания искомой кривой.
Таким образом, брахистохроной является циклоида, имеющая в исходной точке Рс точку возврата с вертикальной касательной. Постоянная а, коэффициент гомотетии, должна быть подобрана так, чтобы кривая (23) прошла также через точку Р,. Такой выбор, как можно заметить, нарисовав кривую (23), вовсе не всегда является однозначным, и это свидетельствует о том, что необходимое условие экстремума (11), вообще говоря, не является достаточным. Из физических соображений, однако, ясно, какому из возможных значений параметра а следует отдать предпочтение (что, впрочем, можно подтвердить и прямым вычислением) .
56. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 115 а) Покажите, что функция д(1) = ((х+1Ь) — (~(х) + ~'(х)(1Ь) +... + —,~1"~(х)(6Ь)") определена на отрезке [О, 1] С К, дифференцируема на интервале ]О, 1[ и при любом 1 е]0, 1[ справедлива оценка [[д'(1)][ < —,М[1Ь[" ]Ь]. 1 Ъ) Покажите, что ]д(1) — д(0)[ < ( — -~М]Ь["+'. с) Докажите следующую формулу Тейлора: 1(х + Ь) — 1(х) + 1'(х)Ь + ... + †(00(х)Ь") < [Ь["+'. и! ) (п+ 1)! с1) Что можно сказать об отображении у: с1 — 1 У, если известно, что (~" ьО(х) = 0 в 11? 2. а) Если и-линейный симметрический оператор А таков, что Ах" = 0 для любого вектора х Е Х, то А(хм...,х„) = О, т.е. оператор А равен нулю на любом наборе хм..., х„векторов из Х. Ъ) Если отображение у: С вЂ” > У имеет в точке х В С и-й дифференциал ,(~"~(х) и удовлетворяет условию ,((х+ Ь) = Те+ 1,1Ь+...
+ —,Б„Ь" + о(Ь)[Ь]", 1 где Е;, 1 = О, 1,...,п суть 1-линейные операторы, а а(Ь) -+ 0 при Ь -+ О, то Ь, = ~~О(х), 1= 0,1,...,п. с) Покажите, что из наличия приведенного в предыдущей задаче разложения функции 1, вообще говоря, еще не вытекает наличие и-го дифференциала ,(00(х) (при п > 1) у этой функции в точке х. с1) Докажите, что отображение ь(Х; У) В А «ч А ' б ь(Х; У) в области своего определения является бесконечно дифференцируемым, причем (А ')00(А)(ЬИ,Ьь) =( — 1)"А 'Ь~А 'Ьг А 'ЬьА ' 3. а) Пусть у Е С([а,6], К).
Покажите, что если для любой функции Ь Е Е СОВ([а, 6], К) такой, что Ь(а) = Ь(6) = О, выполняется условие у(х)Ь(х) дх = О, то ~р(х) = 0 на [а,6]. а Ъ) Выведите уравнение (11) Эйлера — Лагранжа как необходимое условие экстремума функционала (3), ограниченного на множество функций 1 б Е СОВ([а, 6], К), принимающих на концах отрезка [а, 6] заданные значения. ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 116 4.
Найдите форму у = у(х), а < х < Ь, меридиана той поверхности вращения (вокруг оси Ох), которая имеет наименьшую площадь среди всех поверхностей вращения с окружностями заданного радиуса т„гь в сечениях поверхности плоскостями х = а, х = Ь соответственно. 5. а) Функция Т в задаче о брахистохроне не удовлетворяет условиям примера 1, поэтому непосредственное применение результатов примера 1 было в данном случае неоправданным.
Покажите, повторив с нужными видоизменениями вывод формулы (10), что она и уравнение (11) остаются в силе и в рассматриваемом случае. Ъ) Изменится ли уравнение брахистохроны, если частица стартует из точки Ре с отличной от нуля начальной скоростью (движение происходит беэ трения в закрытой трубке)? с) Покажите, что если Р— произвольная точка брахистохроны, отвечающей паре точек Ре, Р„то дуга этой брахистохроны от Ре до Р является брахистохроной пары Ре, Р. б) Допущение о том,что брахистохрона, отвечающая паре точек Ре,Р„ может быть записана в виде у = 1(х), как выяснилось из окончательных формул (23), не всегда оправданно.
Покажите, используя результат задачи с), что вывод формул (23) можно провести и без подобного предположения о глобальном устройстве брахистохроны. е) Расположите точку Р1 так, чтобы отвечающая паре Ре, Р1 брахистохрона в системе координат, которая была введена в примере 3, не могла быть записана в виде у = 1(х). 1) Расположите точку Р, так, чтобы отвечающая паре Ре, Р1 брахистохрона в системе координат примера 3 имела вид у=у(х), причем 1 ф СО1 ((а, Ь), К). Таким образом, получится, что в этом случае интересующий нас функционал (16) имеет на множестве СО1([а, Ь1 Н) нижнюю грань, но не имеет минимума. я) Покажите, что брахистохрона пары точек Ре, Р1 пространства является плоской кривой. 6. Удаление й(Ре, Р1) точки Ре пространства от точки Р1 в однородном гравитационном поле будем измерять временем движения материальной частицы по брахистохроне, отвечающей паре Ре, Рп а) Найдите измеряемое в этом смысле удаление точки Ре от фиксированной вертикальной прямой.
Ь) Найдите асимптотику функции 6(Ре, Р1), когда точка Р1 поднимается по вертикали, приближаясь к уровню высоты точки Ре. с) Выясните, является ли функция д(Ре, Р1 ) метрикой. 3 7. Общая теорема о неявной функции В этом заключительном параграфе главы почти весь развитый в ней аппарат будет продемонстрирован в работе на примере исследо- 17.
ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 117 вания неявно заданной функции. Представление о содержании и месте теоремы о неявной функции в анализе и его приложениях читатель уже имеет из гл. 11П1, поэтому мы не останавливаемся здесь на предваряющих формализм пояснениях существа дела. Отметим только, что на сей раз неявно заданная функция будет построена совсем иным методом, опирающимся на принцип сжимающих отображений. Этот метод часто используется в анализе и весьма полезен ввиду его вычислительной эффективности. Теорема.
Пусть Х, У, Š— нормированные пространства (на- пример, К™, К", Кх), причем У вЂ” полное пространство; И~ = ((х, у) Е Е Х х У ) )х — хо! < о Л )у — уо) < 13) — окрестность точки (хо, уо) в произведении Х х У пространств Х, У. Если отображение Е: И" — о Е удовлетворяет условиям: 1. г (хо~ УО) = Ж 2. Е(х, у) непрерывно в точке (хо, уо); 3. го(х,у) определено в И' и непрерывно в (хо, уо); 4. Р,'(хо, уо) — обратимыйО оператор, то найдутся окрестность П = П(хо) точки хв в Х, окрестность И = У(уо) точки уо в У и отображение з: П -+ У такие, что: 1'. П х У С И~; 2'. (Е(х,у) = О в П х У) е (у = 7" (х), еде х е 17, а 7"(х) е У); 3 у -У("), 4'.
у непрерывно в точке хо. По существу, теорема утверждает, что если линейное отображение Е,', обратимо в точке (условие 4), то в окрестности этой точки соотношение Г(х,у) = О равносильно функциональной зависимости у = 7" (х) (заключение 2'). < 1' Для упрощения записи и, очевидно, без ограничения общности рассмотрения можно считать, что хо = О, уо = О и, следовательно, И = 1(х,у) Н Х х У ! |х! < о Л )у( < 13). 2' Основную роль в доказательстве теоремы играет вспомогательное семейство отображений д (у):= у — (Е„(О,О)) г'(х,у), ПТо есть 3[с„'(хо,уо] ' е С(л;1'), ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 118 зависящих от параметра х Н Х, ~х~ < о, и определенных на множестве (уеУ) (у! <Я. Обсудим формулу (1).
Прежде всего выясним, корректно ли определены отображения д~ и где лежат их значения. При (х, д) Е И' определено отображение г, значение г'(х, у) которого на паре (х, у) лежит в пространстве Я. Частное производное отображение Г„'(х, у) в любой точке (х, у) б И~, как мы знаем, есть линейное непрерывное отображение пространства У в пространство Я. По условию 4 отображение Г„'(0,0): У вЂ” > Я имеет непрерывное обратное отображение (Г„'(О, 0)) ~: Я вЂ” ~ У.
Значит, композиция (г,",(О, 0)) ~ г'(х, у) действительно определена и ее значения лежат в пространстве У. Итак, при любом х из а-окрестности Вл(0, а):= 1х Е Х ! )х) < а) точки 0 Н Х дя есть отобРажение д: ВУ(0, В) -+ У В-окРестности ВР(0, 13):= (у Е У ! )у) < Я точки 0 Н У в пространство У. Связь отображений (1) с задачей разрешения относительно переменной у уравнения г (х, у) = 0 состоит, очевидно, в том, что точка у является неподвижной точкой отображения д тогда и только тогда, когда г (х,у ) = О. Зафиксируем это важное наблюдение; (2) д,(д,) = у, «=~ Е(х,у,) = О. Таким образом, отыскание и исследование неявно заданной функции у = у = ('(х) сводится к отысканию неподвижных точек отображений (1) и исследованию их зависимости от параметра х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
