1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(9) Пример 8. Попробуем дать математическое описание мгновенной скорости вращения твердого тела с одной неподвижной точкой о (волчок). Рассмотрим в точке о ортонормальный репер (е!,е2,ез), жестко связанный с телом. Ясно, что положение тела вполне характеризуется положением такого орторепера, а тройка (е!, ез, ез) мгновенных скоростей движения векторов репера, очевидно, вполне характеризует мгновенную скорость вращения тела. Положение самого репера 1е!, ез, ез) в момент 4 можно задать ортогональной матрицей (и,'), г, ! = 1, 2, 3, составленной из координат векторов е!, ез, ез относительно некоторого неподвижного ортонормированного репера пространства.
Таким образом, движению волчка отвечает отображение 1 -+ 0(1) 3 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ 85 из К (ось времени) в группу ЕО(3) специальных ортогональных матриц третьего порядка. Следовательно, скорость вращения тела, которую мы договорились описывать тройкой (е1, ез, ез), задается матрицей 0(1) =: (ог,'.)(3) = (а",')(1) — производной от матрицы 0(1) = (и,')(1) по времени. Поскольку 0(3) — ортогональная матрица, то в любой момент 1 выполнено соотношение (10) 0(1)0*(1) = Е, где 0*(~) — транспонированная по отношению к 0(3) матрица, а Е— единичная матрица. Заметим, что произведение А В матриц есть билинейная функция от А и В, а производная от транспонированной матрицы, очевидно, равна матрице, транспонированной по отношению к производной исходной матрицы. Дифференцируя равенство (10) с учетом сказанного, находим, что 0(~)0*(1) + 0(3)0*(~) = б или 0(1) = — 0(1)0*(1)0(1), поскольку 0*(1)0(1) = Е.
В частности, если считать, что в момент ~ репер (е1, ез, ез) совпадает с репером пространства, то 0(~) = Е и из (11) получается, что 0(1) = — 0" (1), (12) т.е. матрица 0(1) =: й(1) = (ьг,') координат векторов (е1, ез, ез) в ба- зисе (е1, ез, ез) оказывается кососимметрической: с1(3) „1 „2 3 „3 б 1 Таким образом, мгновенная скорость волчка на самом-то деле характеризуется тремя независимыми параметрами,что в наших рассуждениях проистекало из соотношения (10) и что с физической точки зрения естественно, поскольку положение репера (е1,ез,ез), а значит, и самого тела, описывается тремя независимыми параметрами (в механике зто, например, углы Эйлера).
ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 86 Если с каждым вектором ы = ы е1+ы ег+ы ез пространства, приз з ложенным к точке о, связать правое вращение пространства с угловой скоростью ~ш~ относительно определяемой этим вектором оси, то из полученных результатов нетрудно заключить, что в каждый момент 1 тело имеет свою мгновенную ось вращения и скорость тела в данный момент может быть адекватно описана мгновенным вектором скорости вращения ы(1) (см. задачу 5). 4. -1астные производные отображения.
Пусть У = с1(а)— окрестность точки а Е Х = Х1 х ... х Х в прямом произведении нормированных пространств Хь..., Х, и пусть 1: с1 — ~ У вЂ” отображение 11 в нормированное пространство У. В этом случае (13) у =,) (х) = У(хы ~ хт)~ и значит, фиксирован в (13) все переменные, кроме одной перемен- ной х;, положив хь = аь, к Е (1,..., т) 11, мы получим функцию ,1'(аы..., а, ь х;, а,.~ы..., а ) =; ~Р,(х,), (14) определенную в некоторой окрестности У; точки а; пространства Х,.
Определение 3. Отображение ~р,: У; — ~ У по отношению к исходному отображению (13) называют частным отобралсением по переменной х; в точке а Е Х. Эту частную производную обозначают обычно одним из символов д, ('(а), Р,1 (а), — (а), Д, (а). д~ дх, В соответствии с этими определениями РД(а) б 1:(Х,", У), точнее, Р;~(а) б Е(ТХ,(а,);ТУ(~(а))). Дифференциал е(1(а) отображения (13) в точке а (если 1 дифференцируемо в точке а) часто в рассматриваемой ситуации называют полным дифференциалом, чтобы отличить его от частных дифференциаяов по отдельным переменным. Определение 4. Если отображение (14) дифференцируемо в точке х, = а„то его производная в этой точке называется частной производной или частным ди44еренциалом отображения ~ в точке а по переменной х;.
13. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ 87 Ранее все эти понятия нам уже встречались в случае вещественнозначных функций т вещественных переменных, поэтому мы не будем здесь подробно их обсуждать. Отметим только, что, повторив прежние рассуждения, с учетом разобранного в 82 примера 9, легко доказать, что и в общем случае справедливо следующее 'Утверждение 3. Если отображение (13) дифференцируемо в точке а = (ам...,а,„) е Х1 х... х Х,„= Х, то оно имеет в этой точке частные дифференциалы по каждой из переменных, причем полный дифференциал и частные дифференциалы связаны соотношением (15) е[1(а)6 = д~~(а)61+...
+ д 1(а)а адв 6 = (Ьм..., 6,„) Е ТХ1(а1) х... х ТХ,(а,„) = ТХ(а). На примере числовых функций мы уже уяснили себе, что наличие частных дифференциалов, вообще говоря, не гарантирует дифференцируемости функции (13). Задачи и упражнения 1. а) Пусть А й Е(Х;Х) — нильпотентный оператор, т.е, существует такое к Е )Ц, что АЯ = О. Покажите, что оператор (Š— А) в этом случае имеет обратный, причем (Š— А) ' = Е + А +... + А" Ь) Пусть Р: Р[х] — ~ Р[х] — оператор дифференцирования на линейном пространстве Р[х] полиномов.
Заметив, что Р— нильпотентный оператор, запишите оператор ехр(аР), где а Е К, и покажите, что ехр(аР)(Р(х)) = Р(х + + а) =; Ть(Р(х)). с) Запишите матрицы операторов Р: Р„[х] -+ Р„[х] и Т,: Р„[х] -+ Р„[х] (из задачи Ь) в базисе е, = ~* — )~ , 1 < 1 < и, пространства Р„[х] вещественных полиномов степени п от одной переменной. 2. а) Если А,В Е ь(Х;Х) и ЗВ ' Е .С(Х;Х), то ехр(В 'АВ) = В '(ехрА)В. Ь) Если АВ = ВА, то ехр(А + В) = ехр А ехр В. с) Проверьте, что ехрО = Е и что ехрА всегда имеет обратный оператор, причем (ехрА) ' = ехр( — А).
3. Пусть А Е ь(Х; Х). Рассмотрим отображение ул: К -+ Е(Х; Х), определяемое соответствием К Э 1 + ехр(1А) е Е(Х; Х). Покажите, что: а) отображение рд непрерывно; Ь) ~рл есть гомоморфизм К как аддитивной группы в мультипликативную группу обратимых операторов из С(Х;Х). 4. Проверьте, что: ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 88 а) Если Ль..., ˄— собственные значения оператора А Е ь(С'; С'), то ехр Ль ..,, ехр Л„суть собственные значения оператора ехр А. Ь) бес(ехр А) = ехр(сгА), где сгА — след оператора А е ь(С"; С'). с) Если А й ь(К"; К"), то с1ес(ехр А) > О.
д) Если А" — транспонированнвя по отношению к матрице А е ь(С'; С') матрица, а А — матрица из комплексно сопряженных (по отношению к элементам А) элементов, то (ехр А)' = ехрА' и ехр А = ехр А. — О е) Матрица ~ ) не является матрицей вида ехр А, какова бы ни бь|ла квадратная матрица А второго порядка. 5. Напомним, что множество, наделенное одновременно структурой группы и структурой топологического пространства, называется тпопологической или непрерывной группой, если групповая операция непрерывна в указанной топологии; если же групповая операция в некотором смысле даже аналитична, то топологическая группа называется группой ЛиО.
Алгебра Ли — это линейное пространство Х с антикоммутативной билинейной операцией [, [: Х х Х -+ Х, удовлетворяющей таолсдеству Якоби: для любых векторов а,б,се Х [[а,б),с[+ [[б,с[,а)+ [[с,а[,6! = О. Группы и алгебры Ли тесно связаны между собой и важную роль в осуществлении этой связи играет отображение ехр (см. задачу 1). Примером алгебры Ли может служить ориентированное евклидова пространство Ез с операцией векторного произведения его векторов. Обозначим пока эту алгебру Ли через ВАь а) Покажите, что вещественные кососимметрические матрицы порядка 3 образуют алгебру Ли (обозначим ее ВАг), если произведение матриц А и В определить соотношением [А, В] = А — ВА.
Ь) Покажите, что соответствие О -шз шг Й = ш Π— ш е+ (зз!,за,ьзз) = ы — ш ш О 2 1 является изоморфизмом алгебр ВАг и ВАь с) Проверьте, что если кососимметрическая матрица П и вектор ш соответствуют друг другу, как указано в Ь), то для любого вектора г Е Ез имеет место равенство Пт = [ы, т), а для любой матрицы Р й ВО(3) — соответствие Р П Р 1 ~ Р О Р д) Проверьте, что если К Э 1 + 0(~) е ВО(3) — гладкое отображение, то матрица й(г) = 0 '(г)0(г) — кососимметрическая.
е) Покажите, что если г(г) — радиус-вектор некоторой точки вращающегося волчка, а П(г) — найденная в й) матрица (О '0)(г), то г(1) = (Пг)(г). ПТочное определение группы Ли и соответствуюшую сноску см. в гл. ХЧ, г 2, задача 8. 14. ТЕОРЕМА О КОНЕЧНОМ ПРИРАЩЕНИИ 89 1) Пусть г и ш — два приложенных к началу координат вектора пространства Ез. Пусть в Е' выбран правый репер и пространство совершает правое вращение с угловой скоростью [ш[ вокруг оси, определяемой вектором ш. Покажите, что при этом г(1) = [ы, т(1)]. 8) Сопоставьте результаты задач о), е), 1) и укажите вектор мгновенной скорости вращающегося волчка, о котором говорилось в примере 8.
Ь) Используя результат задачи с), проверьте, что вектор скорости аз не зависит от выбора неподвижного орторепера в Ез, т. е. не зависит от системы координат. 6. Пусть г = г(в) = (х'(в),хз(в),хз(в)) — параметрическое уравнение гладкой кривой в Ез, причем в качестве параметра взята длина дуги вдоль кривой (иатуралвнал парометризаиил кривой). а) Покажите, что вектор ез(в) = ддт(в), касательный к кривой, в этом случае имеет единичную длину. Ь) Вектор а — '(в) = ~ — ~~(в) ортогонален вектору ег Пусть ез(в) — единичВз ный вектор, сонаправленный -~1 (в).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
