1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 22
Текст из файла (страница 22)
< Для доказательства рассмотрим тейлоровское разложение (1) функции ) в окрестности точки х. Сделанные предположения позволяют записать, что )'( +Ь) — )'( ) = —,~®(х)Ь'+ (Ь)~Ь~", где о(Ь) -- вещественноэначная функция, причем а(Ь) -+ О при Ь + О. Докажем сначапа необходимые условия.
ОЭто значит, что форма 1~~~(х)ь~ не может принимать значения разных знаков, хотя при некоторых значениях А ЗЕ 0 она может обращаться в нуль. Равенство У01(х) = О, как обычно, понимается в том смысле, что У01(х)Ь = 0 для любого вектора Ь. 66. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 107 Поскольку ~ОО(х) ~ О, найдется такой вектор Ьо 7о О, на котором ~ОО(х)Ь" ф О. Тогда при значениях вещественного параметра 1, достаточно близких к нулю, ((х + йо) — ('(х) = — „, (х)(йо) + о(йо) !йо/~ = —,, УОО(х) Ьо + н(йо) 1Ьо!" и заключенное во внешние скобки выражение имеет тот же знак, что и )'ОО(х) Ьь~. Для того, чтобы х была точкой экстремума, необходимо, чтобы левая (а значит, и правая) часть последнего равенства не меняла знака при изменении знака Е Но это возможно, только если Ь четно.
Проведенное рассуждение показывает, что если х — точка экстремума, то знак разности 7'(х+ 1Ьо) — у(х) при достаточно малых значениях 1 совпадает со знаком ~ОО(х)Ьо, и, следовательно, в этом случае не может быть двух векторов Ьо, ЬО на которых бы форма ~ОО(х) принимала значения разных знаков. Перейдем к доказательству достаточных условий экстремума. Для определенности рассмотрим случай, когда ~ОО(х)Ь~ > о > О при ~Ь~ = 1.
Тогда 7(х+ Ь) — 7(х) = —,)~ ~(х)Ь + о(Ь)~Ь~ ь — УОО(х) ( — 1) + (Ь)1 ~Ь~" > ( — б+ (Ь)) ~Ь~", и, поскольку а(Ь) -+ О при Ь вЂ” ~ О, последний член неравенства положителен для всех достаточно близких к нулю векторов Ь ~ О. Таким образом, для всех таких векторов Ь 7'(х + Ь) — 7"(х) > О, т.е.
х — точка строгого локального минимума. Аналогично проверяется достаточное условие строгого локального максимума. ° Замечание 1. Если пространство Х конечномерно, то единичная сфера Я(х,1) с центром в точке х Е Х, являясь ограниченным замкнутым множеством в Х, компактна. Тогда непрерывная функция 108 ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (й-форма) 1'1"1(х)а" = д.. л„~(х)Ч' ... 6'" имеет на Я(х, 1) как максимапьное значение, так и минимальное значение. Если эти значения разных знаков, то экстремума в точке х функция (' не имеет.
Если же зти значения одного знака, то, как было показано в теореме 2, экстремум есть. В последнем случае достаточное условие экстремума, очевидно, можно высказать в виде эквивалентного ему требования определенности (положительной или отрицательной) формы ('("~(х)аь. Именно в таком виде оно нам уже встречапось при рассмотрении вещественнозначных функций в К". Замечание 2. Как мы видели на примере функций ~: К" — 1 К, указанная в необходимых условиях экстремума полуопределенность формы ~(~~(х)а~ еще не является достаточным признаком экстремума.
Замечание 3. На практике при исследовании экстремумов дифференцируемых функций обычно пользуются только первым или первым и вторым дифференциалами. Если по смыслу исследуемой задачи единственность и характер экстремума очевидны, то при отыскании экстремума можно ограничиться первым дифференциалом, найдя ту точку х, где ('(х) = О. 3. Некоторые примеры. Пример 1. Пусть 1 Е С(Н(Кз,К), а 1 Н С1Н([а,Ь],К). Иными словами (и1,и~,из) + ци1,и~,из) — определенная в Кз непрерывно дифференцируемая вещественнозначная функция, а х + 1 (х) — гладкая вещественнозначная функция, определенная на отрезке [а, 6] С К.
Рассмотрим функцию .Ь': С(1) ([а, Ь], К) -+ К, (2) задаваемую соотношением С~И([а,6],К) Э 1 + Г(() = А(х,1(х),~'(х))дх Е К. (3) а Таким образом, (2) есть вещественнозначный функционал, определенный на множестве функций 1' Н С~И([а, Ь], К). В физике и механике известны фундаментальные вариационные принципы, связанные с движением. Согласно этим принципам истин- ~6. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 109 Г1. СВ)([а, Ь],К) -+ С([а, Ь],К), (4) задаваемого формулой (5) и последующего отображения С([а,Ь],К) Э д ~-+ Ьг(д) = д(х)дх е К а (6) Отображение Рр в силу свойств интеграла, очевидно, линейное и непрерывное, таким образом, с его дифференцируемостью вопрос ясен.
Покажем, что отображение г1 тоже дифференцируемо, причем Г,'(~)Ь(х) = дэба(х, ~(х), ~'(х))Ь(х) + дзИх, Дх), )'(х))Ь'(х) (7) при а Е СЦ([а, Ь]; К). Действительно, в силу следствия из теоремы о конечном прираще- ные движения среди всех мыслимых выделяются тем, что они совершаются по траекториям, вдоль которых те или иные функционалы имеют экстремум. Вопросы, связанные с экстремумами функционалов,— центральные в теории оптимального управления. Таким образом, отыскание и исследование экстремумов функционалов является важной самостоятельной задачей, теории которой посвящен обширный раздел анализа — вариационное исчисление.
Мы уже кое-что сделали для того, чтобы переход от анализа экстремумов числовых функций к отысканию и исследованию экстремумов функционалов был для читателя естественным. Однако мы не будем углубляться в специальные вопросы вариационного исчисления и проиллюстрируем на примере функционала (3) лишь рассмотренные выше общие идеи дифференцирования и исследования локальных экстремумов. Покажем, что функционал (3) является дифференцируемым отображением и найдем его дифференциал. Заметим, что функцию (3) можно рассматривать как композицию отображения ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 110 нии в нашем случае можно записать, что Т,(и1+ 2.'11 и2+ А2 из+ 1."13) — Х(и' и2 из)— 3 — д1Т(и1,из,из)131 < впр [[(д1ци+ОЬ) — д1Т(и), О<В<1 д2й(и+ ОЬ) — д2Ь(и),дзЦи+ О1л) — дзЦи))[[ [Ь/ < < 3 шах [дЬЦи+ Ои) — д,Ци)~ шах )1."1'[, (8) =ь2,3 ( 1 2 3) ааа (~1 1~2 2~3) Если теперь вспомнить, что в С1И([а, Ь[, К) норма ~Дсо1 функции 7" есть шах([7" [с, )~'[с7 (где ) 7'[с есть максимум модуля функции на отрезке [а, Ь)), то, полагая и1 = х, и2 = 7'(х), из = 7'(х), 1."11 = О, 1.'12 = 6(х) и 2)13 = 6'(х), из неравенства (8), учитывая равномерную непрерывность функций д,Т (и1, и2, из), 1 = 1, 2, 3, на ограниченных подмножествах Кз, получаем шах Щх, 7(х) + 6(х), 7'(х) + 6'(х)) — Ь(х, 7(х), 7"'(х))— а<а<Ь вЂ” д2Ь(х, ~(х), ~'(х))6(х) — дзА(х, ~(х), ~'(х))6'(х)[ = = о()6)с10) при [6)ср1 -+ О.
Но это и означает, что имеет место равенство (7). В силу теоремы о дифференцировании композиции отображений теперь заключаем, что функционал (3) действительно дифференцируем и г'(7)6 = (д2Цх,7(х),7"(х))6(х) + дзЬ(х,у(х),~'(х))6'(х)) дх. (9) а Часто рассматривается ограничение функционала (3) на аффинное пространство тех функций 7" б С1И([а, Ь[, К), которые на концах отрезка [а, Ь) принимают фиксированные значения 7'(а) = А, 7'(Ь) = В.
В этом случае функции 6 из касательного пространства ТС должны на кон- (1) цах отрезка [а, Ь) иметь нулевые значения. Учитывая зто, равенство (9) интегрированием по частям в рассматриваемом случае, очевидно, мож- О6. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 111 но привести к виду Р" У)6 = (Дгй(х, У(*), Й*)) — — дФ(*, П ), 1'(*))6( ) йх, (10) йх а разумеется, уже в предположении, что Х, и (' принадлежат соответствующему классу С~о~. В частности, если у — точка экстремума (зкстремаль) такого функционала, то, согласно теореме 2, Рч(~)6 = 0 при любой функции 6 Е Е С(И([а, Ь), Ж) такой, что 6(а) = 6(6) = О. Отсюда и из (10) нетрудно заключить (см. задачу 3), что функция у' должна удовлетворять урав- нению дгЦх, Ях), (~(х)) — — дзй(х, У(х), ~'(х)) = О.
(11) Это частный вид уравнения, именуемого в варионионном исчислении уравнением Эйлера — Лагранжа. Рассмотрим теперь конкретные примеры. 1 Р(у) = 1+ (~')г(х) ах о (12) зависит от функции ~ и является функционалом рассмотренного в при- мере 1 типа. В данном случае функция А имеет вид Пример 2.
Задача о кратчайшей. Среди кривых, лежащих в плоскости и соединяющих две фиксированные ее точки, найти ту кривую, которая имеет минимальную длину. Ответ в данном случае очевиден, и он скорее послужит контролем над следующими формальными выкладками. Будем считать, что в плоскости фиксирована декартова система координат, в которой указанными точками являются, например, точки (О, 0) и (1, 0). Мы ограничимся рассмотрением только тех кривых, которые являются графиками функций ( Е СО)([0, Ц, К), принимающих на концах отрезка [О, Ц нулевые значения. Длина такой кривой ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 112 поэтому необходимое условие экстремума (11) здесь сводится к урав- нению из которого следует, что на отрезке [О, Ц (13) Поскольку функция и, нигде не постоянна, то (13) возможно ~/~+ и2 лишь при условии, что ~'(х) = сопв1 на [а, Ь]. Таким образом, гладкая зкстремвль нашей задачи должна быть линейной функцией, график которой проходит через точки (О, 0), (1,0).
Отсюда следует, что )'(х) = О, и мы приходим к отрезку прямой, соединяющему две заданные точки. Пример 3. Задача о кривой скорейшего спуска. Эта классическая, поставленная в 1б9б г. Иоганном (первым) Бернулли, задача о брахистохроне состоит в отыскании формы желоба, вдоль которого материальная частица под действием силы тяжести за кратчайшее время переходит из заданной точки Рв в другую фиксированную точку Р1, расположенную на более низком уровне.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
