1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Коэффициент й(в) в равенстве -~з (в) = = Й(в)ез(в) называют кривизной кривой в соответствующей точке. с) Построив вектор ез(в) = [ез (в), ез(в)], мы получаем в каждой точке нашей кривой репер (ез, ез, ез)(в), который называют репером Фреиео или сопровождаюизим гарехераиником кривой. Проверьте следующие формулы Френе: +', (в) -„-;з(в) = -Й(в)е1(в) -'Р( ) Й(в)ез(в), +зв(в)ез(в), -м(в)ез(в).
Выясните геометрический смысл коэффициента м(в), называемого кручением кривой в соответствующей точке. 84. Теорема о конечном приращении и некоторые примеры ее использования П Ж. Ф. Фреие (1816 — 1900) — французский математик. 1. Теорема о конечном приращении. Изучая числовые функции одной переменной, мы в гл. Ъ', 8 3, п.2 доказали для них теорему о конечном приращении и подробно обсудили различные аспекты этой важной теоремы анализа.
Здесь теорема о конечном приращении будет доказана в общем виде. Чтобы ее утверждение было для читателя очевидным, советуем восстановить в памяти обсуждения, проведенные ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 90 в указанном пункте, а также обратить внимание на геометрический смысл нормы линейного оператора (см.
92, п. 2). [У(х+ 6) — У(х)[~ < яир У Ы)[[с(хд ][6]х (1) ~е]юе-~-ь[ м Заметим прежде всего, что если бы для любого отрезка [х', хо] С С [х, х + 6] нам удалось проверить неравенство [у(хо) — у(х')! < япр [[К'(~)[[]хо — х'[, сг (я',а" ] (2) в котором верхняя грань берется уже по всему отрезку [х', хо], то, поль- зуясь непрерывностью 1 и нормы, а также тем, что мы в пределе при х' — > х и хо — > х + Ь получили бы неравенство (1). Итак, нам достаточно доказать, что [у(х+6) — у(х)! < М[Ь], (3) где М = зпр [[у'(х+ ВЬ)]! и функция у считается дифференцируемой о<в<з на всем отрезке [х, х + 6].
Простая, использующая только неравенство треугольника и свойства отрезка, выкладка [~(хз) — ~(х~)! ~< [,1(хз) — ~(хз)[+ [~(хз) — ~(х~)! < ~ ~М[хз — хз! + М[х2 — х1! = М([хз — х2! + ]х2 — х1!) = = М[хз — хт! показывает, что если на частях [хз, хз], [хз, хз] отрезка [хд, хз] справед- ливо неравенство вида (3), то оно справедливо и на отрезке [хз, хз].
Теорема 1 (о конечном приращении). Пусть у: У вЂ” ~ У вЂ” непрерывное отображение открытого множества У нормированного пространства Х в нормированное пространство У. Если отрезок [х,х+ Ь] = Я Н Х ! с = х+ оЬ,О < о < 1) полностью содержится в У и отображение [' дифференцируемо во всех точках интервала ]х, х + 6[= (с Н Х ! ( = х + оЬ, О < о < 1), то справедлива следующая оценка: е4. ТЕОРЕМА О КОНЕЧНОМ ПРИРАЩЕНИИ 91 Значит, если оценка (3) неверна для отрезка [х, х + Ь], то последовательным делением его пополам можно получить последовательность стягивающихся к некоторой точке хо е [х,х + Ь] отрезков [аь, Ь|] С [х, х+ Ь], на каждом из которых (3) нарушено.
Поскольку хв Е [аь, Ь|], то, рассмотрев отрезки [аь, хо], [хо, Ь|], по тем же соображениям можно считать, что нашлась последовательность отрезков вида [хв, хо + Ьь] С С [х, х + Ь], где Ьь — 1 О при Ь -+ оо, на которых (4) [у(хо+ Ьь) — у(хо)[ > М]Ьь[. Если (3) доказать с заменой М на М + е, где е — любое положительное число, то при е -+ О все равно получится (3), поэтому (4) тоже можно заменить на [У(хо + Ьь) — У(хо)[ > (М + е)[Ьь[ (4') и теперь показать, что это несовместимо с дифференцируемостью у в точке хо.
Действительно, в силу дифференцируемости [1(хо + Ь|) — у(хо)[ = [,('(хо)Ьь + о(Ьь)] < < []У (хв)[[[Ьь[ + о([Ьь[) < (М + е)[Ьь[ при Ьь -+ О. ~ Теорема о конечном приращении имеет следующее часто технически полезное Следствие. Если А Н .с,(Х; У), т. е. А есть линейное непрерывное отображение нормированноео пространства Х в нормированное пространство У, а у: У вЂ” ь У вЂ” отображение, удовлетворяющее условиям теоремы о конечном приращении, то [Дх+ Ь) — ~(х) — АЬ[ < впр [[У'(4) — А][ [Ь[. 4е)х,х-нь( < Для доказательства достаточно применить теорему о конечном приращении к отображению ГЛ.
Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 92 единичного отрезка [О, 1] с К в У, ибо Г(1) — г (О) = 1(х + 6) — 1(х) — А6, Р" (д) = ~'(х+ 66)6 — А6 при 0 < д < 1, ]]Р'(О) [[ < ]],1'(х + 06) — А[[]6], цр Ф'(6)]] < р [[У'Ы) — А[[]6[ > о<в<~ <е)х,х-~-ь( Замечание. Как видно из доказательства теоремы 1, в ее условиях нет нужды требовать, чтобы 1 было дифференцируемо как отображение 1: У -+ У; достаточно, чтобы ограничение 1 на отрезок [х, х + 6] было непрерывным отображением этого отрезка, дифференцируемым в точках интервала ]х,х+ 6[.
Это замечание в равной степени относится и к доказанному только что следствию теоремы о конечном приращении. 2. Некоторые примеры применения теоремы о конечном приращении. а. Непрерывно дифференцируемые отображения. Пусть 1: 11-+ У (5) — отображение открытого подмножества 11 нормированного пространства Х в нормированное пространство У. Если 1 дифференцируемо в каждой точке х Е У, то, сопоставляя точке х отображение 1'(х) Е Е ь".(Х;У), касательное к 1 в этой точке, мы получаем производное отображение ~': У вЂ” > 2"..(Х;У). (6) Поскольку пространство С(Х; У) линейных непрерывных операторов иэ Х в У является, как нам известно, нормированным (нормой оператора) пространством, то можно говорить о непрерывности отображения (6).
Определение. В том случае, когда производное отображение (6) непрерывно в Е~, отображение (5), в полном соответствии с прежней терминологией, будем называть непрерывно дифференцируемым. Множество непрерывно дифференцируемых отображений типа (5) будем по-прежнему обозначать символом СП) (11, У) или, короче, СОН(11), если из контекста ясно куда идет отображение. 14. ТЕОРЕМА О КОНЕЧНОМ ПРИРАЩЕНИИ 93 Итак, по определению 1 б СО)((7,У) 4: 1~ Е С(П,1.(Х;У)). Посмотрим, что означает непрерывная дифференцируемость отображения в различных конкретных случаях. Пример 1.
Рассмотрим знакомую ситуацию, когда Х = У = К, и, таким образом, 7': 17 -+ К есть вещественнозначная функция вещественного аргумента. Поскольку любое линейное отображение А б е Е(2„К) сводится к умножению на некоторое число а Е 2, т.е. АЬ = = аЬ, причем, очевидно, ~~А~~ = ~а(, то в любой точке х Е 17 для любого вектора Ь е Ти К получаем, что 1'(х)6 = а(х)6, где а(х) — числовая производная функции 1 в точке х. Далее, так как (~'(х + б) — ~'(х))6 = ~'(х + б)6 — ~'(х)6 = = а(х + б)6 — а(х)6 = (а(х + б) — а(х))6, (7) то ~~~'(х+ б) — 1'(х)~~ = ~а(х+ б) — а(х)~ и, значит, непрерывная дифференцируемость отображения 1 в данном случае равносильна рассматривавшемуся ранее понятию непрерывно дифференцируемой числовой функции (класса СО) (11, К)). Пример 2. Пусть на сей раз Х есть прямое произведение Х1 х х...
х Х,„нормированных пространств. Отображение (5) в этом случае есть функция 1(х) = ~(хп...,х~) от т переменных х, б Х,, 1 = 1,..., т, со значениями в пространстве У. Если отображение 1 дифференцируемо в точке х Е П, то его дифференциал 4'(х) в этой точке есть элемент пространства ь",(Х1 х... х Х = Х;У). Действие с(1'(х) на вектор 6 = (Ьм ..,,6 ), согласно формуле (15) из 9 3, представляется в виде 4(х)6 = д1~(х)61+... + д ~(х)6 где д,1'(х): Х; -+ У, 1 = 1,..., т, суть частные производные отображе- ния 1 в рассматриваемой точке х.
ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Далее, т (а7'(х + Б) — с(7'(х))й = ~~> (д17(х + д) — д;у'(х))61. (8) в=1 Но в силу свойств стандартной нормы в прямом произведении норми- рованных пространств (см. 81, п.2, пример 6) и определения нормы оператора получаем, что ~~д,У(х+ д) — д1)(х)~~с(хпу> ~ ~~4(х+ б) — 4(хК~с(хХ ( та < ~ ~~д,У'(х+ Б) — д,,('(хНС~Хихг (9) Таким образом, дифференцируемое отображение (5) в данном случае непрерывно дифференцируемо в 17, если и только если все его частные производные отображения непрерывны в 17.
В частности, если Х = К™ и У = 2, мы вновь получаем уже знакомое понятие непрерывно дифференцируемой числовой функции т действительных переменных (функции класса С(1)(17, К), где 17 С К ). Замечание. Стоит отметить, что в записи равенств (7) и (8) мы существенно пользовались каноническим отождествлением ТХ Х, позволившим сравнивать или отождествлять векторы, лежащие в различных касательных пространствах. Покажем теперь, что для непрерывно дифференцируемых отображений имеет место о'тверждение 1.
Если К вЂ” выпуклый компакт в нормированном пространстве Х и 1" е С(0(К,у), еде у — тоже нормированное пространство, то отображение у: К вЂ” + У удовлетворяет условию Липшица на К, т. е. существует настоянная М ) 0 такал, что длл любых точек х1,хг Е К выполнено неравенство ~У(хг) У(х1)~ ~ М~хг — х1~. (10) < По условию 7"'. К вЂ” 1 Е(Х; У) есть непрерывное отображение компакта К в метрическое пространство Е(Х; У). Поскольку норма есть непрерывная функция на нормированном пространстве, взятом с его естественной метрикой, то отображение х ~-+ ((У'(х)~~, как композиция непрерывных отображений, само есть непрерывное отображение 14.
ТЕОРЕМА О КОНЕЧНОМ ПРИРАЩЕНИИ 95 компакта К в Я. Но такое отображение обязано быть ограниченным. Пусть М вЂ” такая постоянная, что в любой точке х Е К имеет место неравенство ]]~'(х)]] < М. Ввиду выпуклости К вместе с любыми двумя точками хь Е К, хз Е К компакт К содержит и весь отрезок (хм хз]. Применяя к этому отрезку теорему о конечном приращении, немедленно получаем соотношение (10), ь утверждение 2. В условиях утверждения 1 существует такая неотрицательная стремящаяся к нулю при б — + +О функция бо(О), что имеет место соотпнощение ]У( +6) — У( ) — 1'(х)6] < (б)]6], справедливое в любой точке х Е К при ]6] < б, если х + 6 Е К.
< В силу следствия теоремы о конечном приращении можно записать,что ]1(х+ 6) — 1(х) — 1'(х)6] < впр ]]1'(х+ ВЬ) — ~'(х)]] ]6] о<в<т и,полагая ьт(б) = впр Ц'(хг) — ~'(хт) ]], *т тек ы<б получаем (11) ввиду равномерной непрерывности функции х т 1'(х), непрерывной на компакте К. ь Ь. Достаточное условие дифференцируемости. Покажем теперь, как, располагая общей теоремой о конечном приращении, можно в общем виде получить достаточное условие дифференцируемости отображений в терминах частных производных.
Теорема 2. Пусть У вЂ” окрестность точки х нормированного пространства Х = Х1 х... х Х, являющегося прямым произведением нормированных пространств Хт х ... х Х, и пусть 1: Ст -б У— отпображение У в нормированное пространство У. Если в У отображение т' имеет все частпные производные отображения, то при условии их непрерывности в точке х отображение т' дифференцируемо в этой точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
