1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 14
Текст из файла (страница 14)
2. а) Докажите неравенство (5). Ь) Проверьте соотношение (6). с) Покажите, что при р — 1 +со определенная формулой (12) величина ЦДр стремится к величине ЦЛ, задаваемой формулой (11). 3. а) Проверьте, что рассмотренное в примере 7 нормированное пространство 1р является полным. Ь) Покажите, что подпространство пространства 1ю состоящее из финитных (заканчивающихся нулями) последовательностей, не является банаховым пространством.
ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 60 4. а) Проверьте, что соотношения (11), (12) задают норму в пространстве С[а, Ь], и убедитесь в том, что при этом в одном случае получается полное, а в другом не полное нормированное пространство. Ь) Задает ли формула (12) норму в линейном пространстве %[а, Ь] интегрируемых по Риману функций? с) Какую факторизацию (отождествление) следует провести в к[а, Ь], чтобы задаваемая формулой (12) величина была нормой в полученном линейном пространстве? 5. а) Проверьте, что формулы (13) — (15) действительно задают скалярное произведение в соответствующих линейных пространствах.
Ь) Будет ли задаваемая формулой (15) форма скалярным произведением в пространстве Я.[а, Ь] интегрируемых по Риману функций? с) Какие функции в Я[а, Ь] следует отождествить, чтобы ответ на вопрос Ь) был положительным в фактор-пространстве классов эквивалентности? 6. Используя неравенство Коши-Буняковского, найдите нижнюю грань (ь Л ?'ь значений произведения [ ] 1(х) ах ] ~] (1/1)(х) ах на множестве непрерыва а ных вещественнозначных функций, не обращающихся в нуль на отрезке [а, Ь] 5 2, Линейные и полилинейные операторы 1.
Определения и примеры. Начнем с того, что напомним следующее Определение 1. Если Х и У вЂ” линейные пространства над одним и тем же полем (в нашем случае полем Ж или С), то отображение А: Х ь У называется линейным, если для любых векторов х, хм хэ пространства Х и любого числа Л поля коэффициентов имеют место равенства А(х1+хэ) = А(х1) + А(хз), А(Лх) = ЛА(х). Для линейного оператора А: Х вЂ” ь У вместо А(х) часто пишут Ах. Определение 2. Отображение А: Хь х ... х Մ— ь У прямого произведения линейных пространств Х1,..., Х„в линейное пространство У называется полилинейным (п-линейным), если это отображение р = А(х1,..., х„) линейно по каждой переменной при фиксированных значениях остальных переменных. Множество и-линейных отображений А: Х, х ...
х Մ— ь У будет обозначаться символом Е(ХО..., Х„; У). 1 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 61 В частности, при и = 1 получаем множество ь(Х; У) линейных отображений иэ Х1 = Х в У. При и = 2 полилинейное отображение называется билинейным, при и = 3 — трилинейным и т.
д. Не следует смешивать и-линейное отображение Ае.С(Х1,..., Х„; У) и линейное отображение А Е х,(Х;У) линейного пространства Х = = Х1 х ... х Х„(см. в этой связи примеры 9 — 11). Если У = К или У = С, то линейные и полилинейные отображения называют чаще линейными или соответственно полилинейными функиилми (или функционалами, если отображаются пространства функций). Когда же У вЂ” произвольное линейное пространство, линейное отображение А: Х -+ У чаще называют линейным оператором, действующим из пространства Х в пространство У. Рассмотрим некоторые примеры линейных отображений. Пример 1. Пусть 1 — линейное пространство числовых финитных о последовательностей.
Оператор А: 1 -+ 1 определим следующим обрао о эом: А((х1,х2,...,х„,О,... )):= (1х1,2х2,...,пх„,О,... ). Пример 2. Функционал А: С([а, Ь], К) — ь К определим соотношением А(у):= у(хо), где у Е С([а, Ь], К), а хо — фиксированная точка отрезка [а, Ь]. Пример 3. Функционал А: С([а, Ь], К) ь К определим соотношением ь А(у):= у(х) ах. а Пример 4.
Преобразование А: С([а,Ь],К) — ь С([а,Ь],К) определим формулой А(('):= ~(1) сМ, а где х — точка, пробегающая отрезок [а, Ь]. Все это, очевидно, линейные отображения. ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Рассмотрим некоторые знакомые примеры полилинейных отображений. Пример 5. Обычное произведение (хь...,х„) ~-+ х1.... х„п действительных чисел является типичным примером и-линейной функции А е Е(К,...,К;К). п А ПРимеР 6. СкалЯРное пРоизвеДение (хм хз) ~-+ (хь хз) в евклиДовом векторном пространстве над полем К является билинейной функцией.
Пример 7. Векторное произведение (хмхз) ~-з (хьхз] векторов А трехмерного евклидова пространства Ез является билинейным оператором, т.е. А б ь(Ез Ез Ез) Пример 8. Если Х вЂ” конечномерное векторное пространство над полем К; (ем..., е„) — базис в Х; х = х'е,— координатное представление вектора х Е Х, то, полагая х' 1 хв 1 А(хь...,х„) = без 1 в хв хв получаем п-линейную функцию А: Х" — ) К. В качестве полезного дополнения к приведенным примерам разберем еще структуру линейных отображений произведения линейных пространств в произведение линейных пространств. Пример 9. Пусть Х = Хз х ... х Х вЂ” линейное пространство, являющееся прямым произведением линейных пространств Хь..., Х и пусть А: Х вЂ” ~ У вЂ” линейное отображение Х в линейное пространство У.
Представляя каждый вектор х = (хь..., х,„) Е Х в виде х=(хь...,х ) = =(хд,0,...,0)+(О,хз,0,...,0)+...+(0,...,0,х ) (1) и полагая для х, Е Х„г Е (1,..., т) (2) А;(х;):= А((0,..., О, х;, О,..., 0)), 12, ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 63 мы замечаем, что А;: Х, — ~ У суть линейные отображения и что А(х) = А1(х1) +... + А (х~). (3) Пример 10.
Исходя из определения прямого произведения У = = У1 х ... х У„линейных пространств У2,..., У„и определения линейного отображения А: Х вЂ” ~ У, легко видеть, что любое линейное ото- бражение А:Х вЂ” >У=У1х...хУ„ имеет вид х ~-+ Ах = (А1х,..., А„х) = (ум..., у„) = у Е У, где А;: Х -+ У, — линейные отображения. Пример 11.
Объединяя примеры 9 и 10, заключаем, что любое линейное отображение А: Х1 х ... х Х,„= Х вЂ” ~ У = У1 х ... х У„ прямого произведения Х = Х1 х ... х Х линейных пространств в другое прямое произведение У = У1 х ... х У„линейных пространств имеет вид где А,: Х -+ У,— линейные отображения. Вчастности,еслиХ~=Х2=...=Х =К, У1 =Уз=...=У„=К, то А,: Х вЂ” ~ У, суть линейные отображения К Э х ~-+ а, х Е К, каждое из которых задается одним числом а, . Таким образом, в этом случае соотношение (4) превращается в знакомую численную запись линейного отображения А: К вЂ” ~ К". 2.
Норма оператора Определение 3. Пусть А: Х1 х ... х Մ— ~ У --полилинейный оператор, действующий из прямого произведения нормированных пространств Хм..., Х„в нормированное пространство У. Поскольку при любых линейных отображениях А;: Х; -+ У определяемое формулой (3) отображение А: Х = Х„х... хХ вЂ” ~ У, очевидно, линейно, то мы показали, что формула (3) дает общий вид любого линейного отображения А Е с.(Х = Х1 х ... х Х,„; У).
ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 64 Величина )А(лм..., х„)(у (х~(х, х ... х )л„(х„' ~,яо (5) где верхняя грань берется по всевозможным наборам хь..., х„отлич- ных от нуля векторов пространств Хы..., Х„, называется нормой по- лилинейного оператора А. !)Ао = япр А (,..., "1 = яир /А(ед,...,е„)!, (6) ~1~~~'"'1~ 1~ *',фО где последняя верхняя грань берется по всевозможным наборам еь., ., е„единичных векторов пространств Хь..., Х„соответственно (т.е.
~е ~ =1,1=1,...,п). В частности, для линейного оператора А: Х вЂ” ~ У иэ (5) и (6) получаем '5А)! = ядр — = япр )Ае!. (Ат! (7) ,-~о 1х! Из определения 3 нормы полилинейного оператора А следует, что если 6А6 < оо, то при любых векторах х; Е Х;, г = 1,...,п, справедливо неравенство )А(хм...,х„)) < ))А5 (х1! х... х )х„). (8) В частности, для линейного оператора получаем )Ал( < 5А)!)л(. В правой части формулы (5) вместо знака 5 '5 нормы вектора употреблено обозначение ~ ~, рядом с которым стоит символ того нормированного пространства, которому вектор принадлежит.
В дальнейшем мы будем придерживаться этого обозначения для нормы вектора и, если не возникает недоразумений, будем опускать символ пространства, подразумевая, что норма (модуль) вектора вычисляется всегда в том пространстве, которому вектор принадлежит. Мы хотим тем самым пока внести некоторое различие в обозначения нормы вектора и нормы линейного или полилинейного оператора, действующего на нормированных векторных пространствах. Пользуясь свойствами нормы вектора и свойствами полилинейного оператора, формулу (5) можно переписать следующим образом: 1 2.
ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 65 Кроме того, из определения 3 следует, что если норма полилинейного оператора конечна, то она есть нижняя грань тех чисел М, для которых неравенство (10) ]А(хм...,х„)] < М]х1] х ... х ]х„[ выполнено при любых значениях х; е Х;, 1 = 1,..., и. Определение 4. Полилинейный оператор А: Х1 х ... х Մ— > У называется оераниченным, если существует такое число М Е К, что при любых значениях хп..., х„из пространств Хм..., Ха соответственно справедливо неравенство (10).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
