1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Теорема 2. При непрерывном отображении образ компакта лвллетсл компактом. ~ Пусть 1': К -+ У вЂ” непрерывное отображение компакта (К, тк) в топологическое пространство (У, ту) и пусть 1Сау, о е А) — покрытие т"(К) множествами, открытыми в У. В силу теоремы 1 множества (С = у '(С ),о Е А) образуют открытое покрытие К. Извлекая из него конечное покрытие С ', ..., С ", находим конечное покрытие С,', ..., С," множества ДК) С У. Таким образом, у(К) — компакт вУ.Ь 1 б. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 41 Следствие. Непрерывнал вещественная функция ~: К -+ К на компакте принимает в некоторой точке компакта наибольшее (наименьшее) значение. м Действительно, ДК) — компакт в К, т.
е. ограниченное и замкнутое множество. Это значит, что 1пГ ~(К) Е ~(К) и впр ~(К) Н ~(К). ~ В частности, если К вЂ” отрезок [а,б] С К, то мы вновь получаем классическую теорему Вейерштрасса. На отображения, непрерывные на компактах, дословно переносится теорема Кантора о равномерной непрерывности. Прежде чем ее формулировать, приведем нужное Определение 7. Отображение ~: Х вЂ” 1 У метрического пространства (Х, дх) в метрическое пространство (У, ду) называется равномерно непрерывным, если для любого г > О найдешься б > О такое, что на любом множестве Е с Х с диаметром, меньшим б, колебание ш(~, Е) отображения ~ меньше г.
Теорема 3 (о равномерной непрерывности). Непрерывное отображение ~: К + У метрического компакп1а К в метрическое пространство (У, ту) равномерно непрерывно. В частности, если К вЂ” отрезок на К„а У = К, то мы вновь возвращаемся к классической теореме Кантора, доказательство которой, изложенное в гл.1Ч, ~ 2, п.2, практически без изменений переносится на указанный общий случай.
Рассмотрим теперь непрерывные отображения связных пространств. Теорема 4. Нри непрерывном отображении образ связного топологического пространства свлзен. М Пусть у: Х вЂ” 1 У вЂ” непрерывное отображение связного топологического пространства (Х,тх) на топологическое пространство (У, ту). Пусть ЕР открыто-замкнутое подмножество У. В силу теоремы 1 прообраз Ех = 1 1(ЕР) множества ЕР открыто-замкнут в Х. В силу связности Х имеем тогда: либо Ех = о, либо Ех = Х. Но зто означает, что либо ЕР = Е1, либо Еу = У = ~(Х).
~ Следствие. Если функция )': Х -+ К, непрерывнал на связном топологическом пространстве (Х, т), принимает значения ~(а) = А Н К 42 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) и )'(Ь) = В Н К, то для любого числа С, лежащего между А и В, найдется такая точка с б Х, а которой ?'(с) = С. м Действительно, по теореме 4 ?'(Х) — связное множество в К. Но в К связными множествами являются только промежутки (см.
утверждение из ~ 4). Таким образом, вместе с точками А и В точка С содержится в у(Х). 1ь В частности, если Х вЂ” отрезок, мы возвращаемся к классической теореме о промежуточном значении непрерывной вещественнозначной функции. Задачи и упражнения 1. а) Если отображение у: Х вЂ” ~ У непрерывно, то будут ли образы открытых (замкнутых) в Х множеств открытыми (замкнутыми) множествами в У? Ь) Если при отображении у': Х -+ У не только прообраз открытого множества, но и образ открытого множества открыт, то обязано ли у быть гомеоморфизмом? с) Если отображение у: Х вЂ” ~ У непрерывно и биективно, то всегда ли оно гомеоморфно? д) Будет ли гомеоморфным отображение, удовлетворяющее условиям Ь) и с) одновременно? 2.
Покажите,что а) всякое непрерывное биективное отображение компакта в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом; Ь) без требования хаусдорфовости пространства образа предыдущее утверждение, вообще говоря, неверно. 3. Выясните, гомеоморфны ли (попарно) как топологические пространства следующие подмножества К": прямая, интервал на прямой, отрезок на прямой; сфера; тор. 4. Топологическое пространство (Х,т) называется линейно сеязны.м, если любые две его точки можно соединить путем, лежащим в Х.
Точнее зто означает, что для любых точек А и В из Х существует такое непрерывное отображение ~:? — ~ Х отрезка [а, б) с К в Х, что /(а) = А, у(Ь) = В. а) Покажите, что всякое линейно связное пространство связно. Ъ) Покажите, что любое выпуклое множество в К" линейно связно. с) Проверьте, что любое связное открытое подмножество К" линейно связно. д) Покажите, что сфера Я(а, т) линейно связна в К" (и > 1), но в другом метрическом пространстве она как множество, наделенное совсем иной топологией, может быть вообще не связной. О 7.
ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ 8 7. Принцип сжимающих отображений Здесь будет установлен принцип, который, несмотря на всю свою простоту, оказывается средством эффективного доказательства многих теорем существования. Определение 1. Точка а е Х называется неподвижной точкой отображения у: Х -+ Х, если у(а) = а. Определение 2. Отображение у: Х -+ Х метрического пространства (Х, д) в себя называется сжимающим, если существует число д, 0 < д < 1, такое, что для любых точек х1, х2 иэ Х имеет место нера- венство ч(э (х1)|э (х2)) < дд(х1, х2). Теорема (принцип неподвижной точки Пикара" ) — Банахаз) ).
Сжимающее отображение 7": Х -+ Х полного метрического пространства (Х,с)) в себя имеет и притом единственную неподвижную точку а. Более того, для любой точки хо Е Х итерационная последовательность хо, х1 = у(хо), ..., х„.ь1 = у(х„), ... сходится к а. Скорость этой сходимости дается оценкой д(а, х„) < й(х1, хо). д 1 — д (2) ~ Возьмем произвольную точку хо Е Х и покажем, что последовательность хо, х1 = у(хо), ..., х„+1 — — у(х„), ... фундаментальна. Отображение у сжимающее, поэтому в силу (1) д(х„е1,х„) < да(х„, х„ 1) « ... д"а(х1, хо) ПШ.Э. Пикар (1856 — 1941) — французский математик, которому принадлежит ряд важных результатов в теории дифференциальных уравнений и теории аналитических функций.
ПС, Бапах (1892 — 1945) — польский математик, один из создателей функционального анализа. е) Проверьте, что в топологическом пространстве нельзя соединить путем внутреннюю точку множества с внешней точкой множества, не пересекая границу этого множества.
44 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) Й(х„+ь,х„) < д(х„,х„.ь1) +... +д(х„+ь ых„ьь) < < Й +Ч + . +Ч )а(хыхо) < а(хыхо) — у Отсюда видно, что последовательность хо, хы ..., х„, ... действительно фундаментальная. Пространство (Х, с() полное, поэтому указанная последовательность имеет предел 1пп х„= а Н Х. Из определения сжимающего отображения видно, что сжимающее отображение всегда непрерывно, поэтому а = Нш х„+1 = 11ш 1(х„) = т( 1пп х„) = 1 (а). Таким образом, а — неподвижная точка отображения у.
Другой неподвижной точки отображение т" иметь не может, поскольку из а; = т'(а;), 4 = 1, 2, с учетом (1), следует О < д(аыаз) = й(т(ат),т(аз)) < дд(аыаз), что возможно только при д(ам а2) = О, т. е. при а1 — — аз. Далее, из соотношения д(х ььх„) < д(хыхо), у 1 — д переюдя к пределу при Й -+ оо,находим,что В дополнение к этой теореме докажем следующее Утверждение (об устойчивости неподвижной точки). Пусть (Х, д) — полное метрическое пространство; (й, т) — топологическое простпранстпво, иерающее в дальнейшем роль пространства параметров. Пустпь каждому значению параметра ~ Н й отвечает сжимающее отображение ~~. Х вЂ” + Х пространства Х в себя, причем выполнены следующие условия: 1 7.
ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ а) семейство Я;1 Е П) равномерно сжимающее, т. е. существует такое число д, О < д < 1, что каждое отображение ~~ является д-сжимающим; Ь) при каждом х Н Х отображение Ях): П -+ Х как 4ункция от 1 непрерывно в некоторой точке Фо Н П, т. е. 1пп Ях) = Д,(х). ' ь-н, Тоеда решение а(1) Е Х уравнения х = ~с(х) в точке 1о непрерывно зависит от 1, т.
е. 1пп а(ь') = а(1о). ' ь-н, ~ Как было показано при доказательстве теоремы, решение а(1) уравнения х = Ях) может быть получено как предел последовательности (х„.ь1 = Ях„); и = О, 1,... ), исходя из любой точки хо Н Х. Пусть хо = а(го) = Ус,(а(1о)). С учетом оценки (2) и условия а), получаем д(а(1),а(ьо)) = д(а(1),хо) < 1 1 < а(хы хо) = д(Ус(а(1о)) Ус,(а(йо))). Последний член в этом соотношении в силу условия Ь) стремится к нулю при 1-+ 4о. Таким образом, доказано, что 1пп д(а(1), а(1о)) = О, т. е. 1пп аф = а(1о). ~ь ь-но ' ь-н, Пример 1. В качестве важного примера применения принципа сжимающих отображений докажем, следуя Пикару, теорему существования решения дифференциального уравнения у'(х) = 7(х, у(х)), удовлетворяющего начальному условию у(хо) = уо.
Если функция 7' е С(1кг, К) такова, что ~У(и, иг) — У(и, иг) ~ < М~и1 — ег~, еде М вЂ” некоторая постоянная, то, каково бы ни бььло начальное условие у(хо) = уо, (3) существуют окрестность У(хо) точки хо Н К и определенная в ней единственная функция у = у(х), которая удовлетворяет уравнению у'=Пх,у) 46 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) и начальному условию (3). < Уравнение (4) совместно с условием (3) можно записать в виде одного соотношения х у(х) = уз+ Я,у(2))а2.
оо (5) Обозначая через А(у) правую часть последнего равенства, находим, что А: С($'(хв),К) -+ С(Р(хв), К) есть отображение множества определенных в окрестности $'(хв) точки хв непрерывных функций в себя. Рассматривая С($'(хв), К) как метрическое пространство с равномерной метрикой (см. формулу (6) из 3 1), находим, что А(Ау1, Ауг) = п1ах оеи(хо) я х У(~, у1 (4)) о(4 — У(2, угу)) с(2 о ло х М)у1(о) уг(о)) 1(г ~ ~М)х — хв)4У1, У2). < п1ах хек(ло) Если считать, что )х — хв) < 2)(у, то на соответствующем отрезке 1 1 оказывается выполненным неравенство 1 д(Ау1, Ауг) < -4у1, уг) 2 где с((у1, уг) =- п1ах ~у1(х) — уг (х) ~. Таким образом, мы имеем сжимающее хе( отображение А: С(1,К) -+ С(1,К) Пример 2.
В качестве иллюстрации к сказанному будем искать, исходя из принципа сжимающих отображений, решение уже знакомого нам уравнения у = у полного (см. пример 4 из 35) метрического пространства (С(1,К),с() в себя, которое по принципу сжимающих отображений должно иметь и притом единственную неподвижную точку у = Ау. Но это означает, что найденная в С(1, К) функция и будет той единственной функцией, которая определена в 1 Э хв и удовлетворяет уравнению (5). > 1 7. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ при начальном условии (3). В данном случае х АУ = Уо+ У(~) Ш, и принцип применим по крайней мере при [х — хо[ < д < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
