1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Таким образом, ограниченными являются те и только те операторы, которые имеют конечную норму. На основании соотношения (7) легко понять геометрический смысл нормы линейного оператора в знакомом случае А: й"' — > Я". В этом случае единичная сфера пространства К™ переходит под действием преобразования А в некоторый эллипсоид в К", центр которого совпадает с нулем в К". Значит, норма А в данном случае просто наибольшая из полуосей этого эллипсоида.
С другой стороны, норму линейного оператора можно трактовать также как верхнюю грань коэффициентов растяжения векторов при данном отображении, что видно из первого равенства в (7). Нетрудно доказать, что при отображении конечномерных пространств норма полилинейного и, в частности, линейного оператора всегда конечна.
В случае пространств бесконечной размерности это, вообще говоря, уже не так, что видно на первом из следующих примеров. Подсчитаем нормы операторов, рассмотренных в примерах 1 — 8. Пример 1'. Если считать, что 1 — надпространство нормирован- о ного пространства 1р, в котором вектор е„= (О,..., О, 1, О,... ) имеет а-1 единичную норму, то, поскольку Ае„= пе„, ясно, что ]]А]] = оо. Пример 2'. Если [у] = щах ]7(х)] < 1, то [АД = ]у(ха)] < 1, а<е<Ь причем [АД = 1, если у (ха) = 1, значит, [[А]] = 1.
Заметим, что если на том же линейном пространстве С([а, Ь], 1<) вве- ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 66 сти,например, интегральную норму Ь ]1](х) 4х, а то результат вычисления ]]А]! может существенно измениться. Действительно, пусть [а, 6] = [0,1], а хе = 1. Интегральная норма функции ~„= х" на отрезке [0,1], очевидно, равна — + — Г, в то время как 1 А1„= Ах" = х"! — 1 = 1. Отсюда следует, что в этом случае ][А]! = оо.
Всюду дальше, если не оговорено противное, пространство С([а,Ь],ьх) рассматривается с нормой, определяемой максимумом модуля функции на отрезке [а, Ь]. Пример 3'. Если ]1! = шах ]1(х)! < 1, то а<х<Ь ь 1'(х) дх а Ь Ь < ]1](х) дх < 1дх = Ь вЂ” а. ]Ау! = Но при 1(х) а— е 1 получаем ]А1! = Ь вЂ” а, поэтому ]]А]! = 6 — а. Пример 4'. Если ]1! = шах ! 1'(х)! < 1, то а<х<Ь жопах Я) й а<х<Ь а х < шах ]1](х)й < шах (х — а) а<х<Ь/ а<х<Ь а = Ь вЂ” а.
Но при Я) = 1 получаем х шах 1ах = 6 — а, а<х<Ь,/ а поэтому и в данном примере [[А]! = Ь вЂ” а. Пример 6'. В силу неравенства Коши — Буняковского ](хыхг)! < ]х1! [хг[, Пример 5'. Непосредственно из определения 3 в данном случае получаем, что ]]А]! = 1. 12. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 67 причем, если х1 = х2, то это неравенство переходит в равенство. Сле- довательно, 6А6 = 1. Пример Т'. Мы знаем, что )~х1 х2)) = (х~()х2)шпу где у — угол между векторами х1 и х2, поэтому 6А)! < 1. В то же время, если векторы хп х2 ортогональны, то 61п у = 1. Таким образом, ))А!) = 1.
Пример 8'. Если считать, что векторы берутся в евклидовом пространстве размерности и, то можно заметить, что А(хп...,х„) = = с1е$(хм..., х„) есть объем параллелепипеда, натянутого на векторы хм..., х„, и этот объем максимален, если векторы хм..., х„, сохранив их длины, сделать взаимно ортогональными. Таким образом, (с1е$1хм...,х„)) < (х1) .... )х„(, причем для ортогональных векторов имеет место равенство. Значит, в рассматриваемом случае 9А9 = 1.
Оценим теперь нормы операторов, рассмотренных в примерах 9 — 11. Будем считать, что в прямом произведении Х = Х1 х ... х Х нормированных пространств Хм..., Х норма вектора х = (хм..., х ) введена в соответствии с принятым в 2 1 1пример 6) соглашением.
Пример 9'. Задание линейного оператора А:Х1х...хХ =Х-+У, как было показано, равносильно заданию т линейных операторов А;: Х, — ~ У, определенных соотношениями А;х, = А(10,...,О,х„0,...,О)), г = 1,..., т. При этом имеет место формула 13), в силу которой (Ах(у < ~~~ )А;х,)у ( ~~~,|~АД ~х,~х; ( (~~~, ~~А!!)!4х з=1 а=1 в=1 Таким образом, показано, что )(А)) < ~ь '6А;!). ю=1 ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ С другой стороны, поскольку /А;х,! = /А((0,...,О,х;,О,... 0))! < < !!А~~ !(О,...,О,х„0,,0)/х = !!А/! /х;/х„ можно заключить, что при любом 1 = 1,..., т справедлива также оцен- ка ))А,(! < ))А(!. Пример 10'.
С учетом введенной в У = У1 х... х У„нормы в этом случае сразу получаем двусторонние оценки ))АД < )(А(! < у ))АД. 1=1 Пример 11'. Учитывая результаты примеров 9 и 10, можно заключить, что ((А;,(! < ))А)! < ~~~ ~~~ ))А, )). 3. Пространство непрерывных операторов. В дальнейшем нас будут интересовать не все линейные или полилинейные операторы, а только непрерывные. В этой связи полезно иметь в виду 'Утверждение 1. Для полилинейного оператора А: Х1 х ... х хХ„-+ У, действующего из произведения нормированных про- странств Хп..., Х„в нормированное пространство У, следующие условия равносильны: а) А имеет конечную норму, Ь) А — ограниченный оператор, с) А — непрерывный оператор, д) А — оператор, непрерывный в точке (О,...,0) Н Х1 х...
х Х„. ~ Докажем замкнутую цепочку импликаций а) ~ Ь) ~ с) ~ В) ~ ~ а). Ввиду (8), очевидно, а) ~ Ь). Проверим, что Ь) ~ с), т. е. что из (10) следует непрерывность оператора А. Действительно, учитывая полилинейность А, можем запи- З 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 69 сать,что А(х1+ Ьмхг+ Ьг,,хв+ Ь ) — А(хпхг,,х„) = = А(Ьпхг,...,х„) +... + А(хмхг,...,х ОЬ„) = + А(Ь1 Ь2, хз ° ° хя) + + А(х1 °, х -г, Ьа — 1 Ьв) + + А(ЬО..., Ь„). Теперь в силу (10) получаем оценку ~А(х1 + Ьм хг + Ьг,..., х„+ Ь„) — А(хп хг,..., х„) ~ < < М(!Ь1~ |хг~ ...
~х„!+... + ~х~~. ~хг| ... ~х„1! 1Ь„|+ + 1Ь~!. )ЬгНхз~ " )х ~+" + 1х1~. 1х~! " ~х ~~ !Ь ~+ из которой следует непрерывность А в любой точке (хг,...,х„) еХ1 х...хХ„. В частности, если (хг,..., х„) = (О,..., 0), то из с) получаем б). Остаюсь показать, что б) =~ а). Но е > 0 найдем Б = Б(е) > 0 так, чтобы при шах((х1(,..., ~х„Ц < Б иметь |А(хм...,х„)! < е. Тогда для любого набора ем..., е„единичных векторов получаем (А(е1,...,е„)( = — „~А(бем...,бе„)~ < — „, 1 е т.е.
9А!) « — '„оо. ~ Выше (пример 1) мы видели, что не всякий линейный оператор имеет конечную норму, т. е. он не всегда непрерывен. Мы отмечали также, что нарушение непрерывности линейного оператора может произойти только в случае, когда он определен на пространстве бесконечной размерности. Начиная с этого места, символом Е(ХП ...,Х„; У) будет обозначаться множество полилинейных непрерывных операторов, действующих из прямого произведения линейных нормированных пространств Хп ...,Х„ в линейное нормированное пространство У. ГЛ.
Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 70 В частности, С(Х; У) есть множество всех линейных непрерывных операторов из Х в У. В множестве С(ХЬ..., Х„; У) вводится естественная структура линейного пространства: (А + В)(хь..., х„):= А(хь..., х„) + В(хь..., х„) (ЛА)(хь..., х„):= ЛА(хь..., х„). Очевидно, если А,В Е С(ХИ...,Х„;У), то (А+ В) е С(ХН...,Х„;У) и (ЛА) Е С(ХИ...,Х„;У). Таким образом, .С(ХИ..., Х„; У) можно рассматривать как линейное пространство.
Утверждение 2. Норма полилинейного оператора является нормой в линейном пространстве С(ХН...,ХгЛУ) непрерывных полилинейных операторов. ~ Прежде всего отметим, что в силу утверждения 1 для любого оператора А Е С(ХН..., Х„; У) определено неотрицательное число !)А8 < оо. Неравенство (8) показывает, что '8 А 8 = 0 ~=> А = О. Далее, по определению нормы полилинейного оператора )/ЛА// = /(ЛА)(хы...,хп)/ /Л/)А(хд,...
хп~ = /Л!/(А(). )х1! ... )х„! ~1,—,* )х1) ... /х„/ т,нО ,Фо Наконец, если А и  — элементы пространства С(Хд,..., Х„; У), то )(А+ В)(хд,..., х„)/ )х1) ... /х„) *,~0 (А(хь..., х„) + В(хь..., х„)( 1х1!" М! ~,фе < вп ' ' + впр ' ' =040+0В)1» е 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Теперь, употребляя символ .С(ХП..., Х„; У), мы будем иметь в виду линейное пространство непрерывных п-линейных операторов, нормированное указанной операторной нормой. В частности, Е(Х,У)— нормированное пространство линейных непрерывных операторов, действующих из Х в У. Сделаем к утверждению 2 следующее полезное Дополнение.
Если Х, У, Š— нормированные пространства и А Е С(Х;У), а В Е С(У; Я), то )(В о А() < ))В)! ))А)(. м В самом деле, 'йВ о А)( = впр )(В о А)х( )(В!) )Ах! < вир *Мо ~х! *Фо 1х~ = ((В!) впр — = ))В() ))А((. ~ )Ах( *ФО 1х! 'Утверждение 3. Если У вЂ” полное нормированное пространство, то Е(ХП...,Х„; У) также является по.аным нормированным пространством.
м Проведем доказательство для пространства с,(Х; У) линейных непрерывных операторов. Общий случай, как будет видно из приводимых ниже рассуждений, отличается только более громоздкой записью. Пусть Ап Аз,..., А„,... — фундаментальная последовательность в ь(Х; У). Поскольку при любом х Е Х )А„,х — А„х( = )(А — А„)х( < !)А — А„() )х(, то ясно, что при любом х Е Х последовательность А1х,А2х,..., А„х,... фундаментальна в У.
Ввиду полноты У она имеет предел в У, который мы обозначим через Ах. Итак, Ах:= 1пп А„х. Покажем, что А: Х вЂ” > У вЂ” линейный непрерывный оператор. Линейность А следует из того,что 1пп А„(Л1х1 + Л2хз) = 1пп (Л1А„х1+ ЛзА„х2) = П вЂ” >Ос о — ~со = Л1 1пп А„х1+ Л2 1пп А„хз. ГЛ. Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
