1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 78 Таким образом, дифференциал обратного отображения есть линейное отображение, обратное к дифференциалу исходного отображения в соответствующей точке. Доказательства утверждений а, Ь, с мы опускаем, поскольку они аналогичны тем доказательствам, которые были даны в гл. У111, 8 3 для случая Х = К, У = К". 3. Некоторые примеры.
Пример 1. Если (': 17 — > У вЂ” постоянное отображение окрестности У = У(х) С Х точки х, т. е. ~Щ = уе Н У, то 1'(х) = 0 Е .С(Х; У). ~ Действительно,в этом случае, очевидно, 1(х + 6) — ('(х) — 06 = уе — уя — 0 = 0 = о(6). ~ Пример 2. Если отображение 1: Х -+ У есть линейное непрерывное отображение линейного нормированного пространства Х в линейное нормированное пространство У, то Г'(х) = 1 Е ь",(Х; У) в любой точке х е Х. ~ Действительно, Заметим, что на самом-то деле здесь ~'(х) е С(ТХ~; ТУ1( )), и 1«вЂ” вектор касательного пространства ТХ .
Но в линейном пространстве определен перенос вектора в любую точку х б Х, что позволяет нам отождествить касательное пространство ТХ с самим линейным пространством Х.(Аналогично в случае аффинного пространства (А,Х) пространство ТА, векторов, «приложенных«к точке а б А, можно отождествить с векторным пространством Х данного аффинного пространства.) Следовательно, выбрав базис в Х, его можно разнести по всем касательным пространствам ТХ,.
Это означает, что если, например, Х = )и ', У = К" и отображение ~ Е ь".(И™; Ж") задается матрицей (а7«), то в любой точке х Е К"' касательное к нему отображение 7'(х): ТК™. — «ТЯ' также будет задаваться той же матрицей. П*) В частности, для линейного отображения х «-> ах = у из К в К при х б К и Ь б Т1к К получаем соответствующее отображение Т ТР э 6 + а)«е ТК1( ). 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ 79 С учетом сделанных оговорок результат примера 2 можно условно сформулировать так: отображение у'. Х -~ У,производное от линейного отображения ~:Х вЂ” ~ У линейных нормированных пространств, постоянно, причем ~'(х) = у в любой точке х Е Х. Пример 3. Из правила дифференцирования композиции отображений и результата примера 2 можно заключить, что если ~: У -+ У— отображение окрестности У = У(х) С Х точки х е Х, дифференцируемое в х, а А Е х,(У; Я), то (А о ~)'(х) = А о ~'(х).
Для числовых функций, когда У = Я = )й, зто не что иное, как знакомая возможность вынесения постоянного множителя за знак дифференцирования. Пример 4. Пусть снова с7 = (7(х) — окрестность точки х нормированного пространства Х, и пусть у:У вЂ” >У=У1х...хУ„ — отображение (7 в прямое произведение нормированных пространств Уп...,У„. Задание такого отображения равносильно заданию и отображений ~;: У -+ У;, г = 1,..., п, связанных с )' соотношением справедливым в любой точке У. Если теперь в формуле (1) учесть, что 7(х + 6) — 7(х) = (7,(х + 6) — 7,(х),..., 1„(х + Ь) — 7„(х)), Ь(х)Ь = (11(х)Ь,..., Х„(х)6), а(х; Ь) = (а1(х; 6),..., а„(х; 6)), то со ссылкой на результаты примеров б из 91 и 10 из 92 можно заключить, что рассматриваемое отображение у дифференцируемо в точке х тогда и только тогда, когда дифференцируемы все его компоненты Д: У -+ У;, ь' = 1,..., и, причем в случае дифференцируемости отображения ) имеет место равенство У'(х) = (Д(х),..., Д(х)).
ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 80 Пример 5. Пусть теперь А е ь".(Х1,...,Х„;У), т.е. А — непрерывный и-линейный оператор, действующий из произведения Х1 х... х х Х„линейных нормированных пространств Хм..., Х„в линейное нормированное пространство У.
Докажем дифференцируемость отображения А: Х1 х ... х Х„= Х -~ У и найдем его дифференциал. < Используя полилинейность А, находим, что А(х + 6) — А(х) = А(хг + Ьм..., х„+ 6„) — А(хг,..., х„) = = А(хм..., х„) + А(Ьг, хг,..., х„) +... + А(хг,..., х„м 6„) + + А(ЬН Ьг, хз,, х„) +... + А(хм..., х„-г, Ьп-м 6„) + + А(ЬН..., 6„) — А(хм..., х„). Поскольку норма в Х = Х1 х... х Х„удовлетворяет неравенствам !х;!х, <!х!х < Е!х,!хо 1=1 а норма !)А0 оператора А конечна и )А(6,...,(„)) < ))А)! (6! х ... х )~„), можно заключить, что А(х+ 6) — А(х) = А(х1+ Ьм...,х„+ 6„) — А(хг,...,х„) = = А(ЬН хг,..., х„) +...
+ А(хм..., х„м 6„) + о(х; Ь), где а(х; 6) = о(Ь) при Ь + О. Но оператор Ь(х)6 = А(ЬН хг,..., х„) +... + А(хм..., х„м Ь„) есть линейный по Ь = (Ьм..., 6„) непрерывный (в силу непрерывно- сти А) оператор. 81 З 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ Таким образом, установлено, что А'(х)6 = А'(Х1,...,Х„)(61,..., 6„) = = А(61,хг,...,х„) +... + А(х1,...,х„1,6„) или, короче, пА(х1,...,Х„) = А(сЬ1,хг,.,хп)+...
+ А(хм...,х 1 11х„) В частности, если: а) х1.... х„— произведение и-числовых переменных, то Й(Х1 ... х„) =ЙХ1 хг ... х„+...+х1 ... Х„1 Йх„; Ь) (хм хг) — скалярное произведение в Ез, то о(Х!, Х2) = (ОХ1, Х2) + (Х1, Йхг); с) [Х1, хг] — векторное произведение в Ез, то 4х1,хг] = ~ЙХ1,хг]+ [х1,дхг]; о) (х1, хг, хз) — смешанное произведение в Ез, то 4х1~ хг~ хз) = (дх1, х2, хз) + (х1, Йхг~ хз) + (х1, хг~ дхз)1 е) с(еФ(х1,..., х„) — определитель матрицы, составленной из координат и векторов х1,..., Х„п-мерного линейного пространства Х с фиксированным в Х базисом, то д(с)еС(Х1,..., х„)) = бей(1КХ1, хг,..., Х„) +... + ЙеС(Х1,..., х„1,1Ь„).
Пример 6. Пусть П вЂ” подмножество г".,(Х;У), состоящее из тех линейных непрерывных операторов А: Х -+ У, которые имеют непрерывные обратные операторы А ': У -+ Х (принадлежащие Е(У; Х)). Рассмотрим отображение (ТЭА +А 'еЕ(У;Х), состоящее в том, что каждому оператору А е У ставится в соответ- ствие обратный к нему оператор А ' Е 1.",(У; Х). ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 82 Доказываемое ниже утверждение 2 позволяет ответить на вопрос о дифференцируемости этого отображения.
Утверждение 2. Если Х вЂ” полное пространство и А Е П, то при любом Ь е с,(Х; У) таком, что !)Ц < 8А ")! 1, оператор А + Ь также принадлежит П и справедливо соотношение (А+ Ь) 1 = А 1 — А 1ЬА 1+ о(Ь) при Ь вЂ” ~ О. (3) < Поскольку (А+ Ь) ' = (А(Е+А 2Ь)) ' = (Е+А 1Ь) 2А 1, (4) то достаточно найти оператор (Е + А 1Ь) 1, обратный к оператору (Е + А 1Ь) б ь",(Х; Х), где Š— тождественное (единичное) отображение ех пространства Х на себя. Пусть сл:= — А 1Ь. Учитывая сделанное к утверждению 2 иэ 82 дополнение, можно заметить, что )Щ < йА 1!) йЬ8, поэтому в силу сделанных относительно оператора Ь предположений можно считать, что )Щ < о < 1. Проверим теперь,что (Е гц — 1 Е + А, +,А,г + + 2.'~в + (5) где ряд, стоящий справа, есть ряд, составленный из линейных операторов гл" = (гл о... о гл) ~ х,(Х; Х). Ввиду полноты Х (в силу утверждения 3 из 82) линейное нормированное пространство с".(Х;Х) является полным.
Тогда сходимость указанного ряда, составленного из векторов этого пространства, немедленно вытекает из того, что ))Ь"(! < (Щ" < о", и того, что ряд д" сходится, если ~д~ < 1. в=в Непосредственная проверка (Е + ~ + 2~2 + )(Е г~) = (Е+ б + Ь~+...) — (й+ сл~+ Ь~+...) = Е и (Е ~)(Е+ ~ + ~2+ — (Е+ А+,Лг+ ) („о, +,ог+,<э+ г 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ 83 показывает, что мы действительно нашли (Š— гэ) Стоит отметить, что свобода выполнения арифметических операций над рядами (перестановки членов!) в данном случае гарантируется абсолютной сходимостью (сходимостью по норме) рассматриваемых рядов. Сопоставляя соотношения (4) и (5), заключаем, что при 8'Ь8' < < )(А '!) (А+Ь) 1 = А 1 — А ~ЬА 1+ (А 'Ь)гА ...
+ ( — 1)"(А 'Ь)"А 1+... (6) Поскольку < ~~ 1-1~~3~~Ьиг ') и и ецг т=е то из (6), в частности, следует равенство (3). ~ь Возвращаясь теперь к примеру 6, можно сказать, что в случае полного пространства Х рассматриваемое отображение А ~ А 1 заведомо У дифференцируемо, причем 6('(А)Ь = д(А ')Ь = — А 'ЬА '.
В частности, это означает, что если А — квадратная невырожденная матрица и А 1 — обратная к ней матрица, то при возмущении матрицы А с помощью матрицы Ь с близкими к нулю элементами матрицу (А + Ь) 1, обратную к возмущенной матрице А + Ь, можно в первом приближении находить по следующей формуле: (А + Ь) 1 - А ' — А 1ЬА 1. Более точные формулы, очевидно, можно получить, исходя из равенства (6).
Пример 7. Пусть Х вЂ” полное линейное нормированное пространство. Важное отображение ехр: ь",(Х; Х) — ~ ь".(Х; Х) 84 ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ определяется следующим образом: 2 1 в ехрА:= л + — А + — А +... + — А" +..., 1! 2! и! (7) если А Е !".,(Х; Х). Стоящий в (7) ряд сходится, так как ь",(Х; Х) — полное пространство и ((-,А")~ < — у —, а числовой ряд ~; „-„сходится. !!А!Р Нетрудно проверить, что ехр(А+6) =ехрА+ЦА)6+о(6) при 6-+ оо, (8) где ЦА)6 = 6+ —,(АЬ+ ЬА) + —,,(А~6+ АЬА+ ЬАз) +...
1 1 + (Ав-!6 + Ав-26А + + АЬАв — 2 + ЬАв — !) + 1 и! и !ЩА)/! < ехр !!А/! = е!!л!!, т.е. ЦА) Н ь".(С(Х; Х); ь",(Х; Х)). Таким образом, отображение .С(Х; Х) Э А + ехрА Е ь".(Х; Х) дифференцируемо при любом значении А. Заметим, что если операторы А и Ь коммутируют, т.е. АЬ = ЬА, то, как видно из выражения для 7 (А)6, в этом случае ЦА)6 = (ехр А)6. В частности, для Х = Ж или Х = С вместо (8) вновь получаем ехр(А+ 6) = ехрА+ (ехрА)6+ о(6) при Ь вЂ” ~ О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
