1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 16
Текст из файла (страница 16)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 72 Далее, при любом фиксированном е ) 0 и достаточно больших значениях т, и Е г1 выполнено ~~А — А„~~ < е, поэтому (А х — А„х( < е(х( на любом векторе х Н Х. Устремляя в последнем неравенстве 7п к бес- конечности и пользуясь непрерывностью нормы вектора, получаем )Ах — А„х) < е(х!. Таким образом, ~~А — А„~~ < е, и, поскольку А = А„ + (А — А„), заключаем, что )(А)! < ((А„)(+ е.
Следовательно, мы показали, что А Е с.(Х; У) и ))А — А„й -+ 0 при и — ~ оо, т.е. А = 1пп А„в смысле нормы пространства с.(Х; У). > В заключение остановимся на одном специальном замечании, относящемся к пространству полилинейных операторов, которое нам потребуется при рассмотрении дифференциалов высшего порядка. о'тверждение 4. Между пространствами с. (Хь..., Х; л". (Х + ь..., Х„; У) ) и с. (Хм..., Х„; У) при любом т Е (1,..., п) существует биекиия, сохраняющая линейную структуру и норму. < Предъявим этот изоморфизм.
Пусть З Н Е(ХН...,Х;.С(Х +О...,Х„;У)), т.е. З(хь...,х ) Е е С(Х „, ...,Х„;У). Положим А(хь...,х„):= З(хь...,х )(х ~п...,х„). 1 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 73 Тогда ))З(хм..., х„,) )! ]х1] ... ]х~] *гяо япр * л-о1 " ,Фо япр *1 — *1 1;йо ]х1] ... ]х ] ]А(хы..., х„)] ]х~].... ]х„] *ойдо Проверку того, что соотношение (11) задает изоморфизм рассматриваемых линейных пространств, мы оставляем читателю. ь Применяя п раз утверждение 4, в частности, получаем, что пространство .С(ХП Е(Х2;...; Е(Х„; У))... ) изоморфно пространству Е(ХО..., Х„; У) и;линейных операторов.
Задачи и упражнения 1. а) Докажите, что если А: Х -+ У вЂ” линейный оператор, действующий из нормированного пространства Х в нормированное пространство У, и пространство Х конечномерно, то А — непрерывный оператор. Ь) Докажите для полилинейного оператора утверждение, аналогичное сформулированному в а). 2. Два линейных нормированных пространства называются изоморфными, если существует такой взоморфизм между ними (как линейными векторными пространствами), который вместе с ему обратным является непрерывным линейным оператором.
а) Покажите, что линейные нормированные пространства одинаковой конечной размерности изоморфны. Ь) Покажите, что для бесконечномерного случая утверждение а) уже, вообще говоря,не имеет места. с) В пространстве С([а,Ь], К) введите две нормы так, чтобы тождественное отображение С((а, Ь], К) на себя не было непрерывным отображением полученных нормированных пространств. 3. Покажите, что если полилинейный оператор непрерывен в некоторой точке, то он непрерывен всюду. 4.
Пусть А; Е" -+ Е" — линейное преобразование евклидова п-мерного пространства, А": Е™ -+ Е" — сопряженное к нему преобразование. Покажите, что: ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 74 а) Все собственные значения оператора А А*: Е" -+ Е" неотрицательны. Ь) Если Л» «... ˄— собственные значения оператора А А', то [[А]] = = ~/Л„. с) Если оператор А имеет обратный А ': Е" -+ Е", то []А ']] = л,' д) Если (а() — матрица преобразования А: Е" -+ К" в некотором базисе, то справедливы оценки < ][А]] < » о»'=-1 шах . ~ ~(а')з 1<»еп (а()з < ~/п[[А[]. 5. Пусть Р[х] — линейное пространство многочленов от переменной х с вещественными козффициентами.
Норму вектора Р Е Р[х] определим формулой 1 [Р[ = Рз(х) 0х о а) Ограничен ли в полученном пространстве оператор Р: Р[х] -+ Р[х] дифференцирования Р(Р(х)):= Р'(х)7 Ь) Найдите норму оператора Р: Р[х] -+ Р[х] умножения на х, действующего по закону Р(Р(х)):= х Р(х). 6. На примере операторов проектирования в Кз покажите, что неравенство ]]В А][ < ]]В[[. ][А[] может быть строгим.
6 3. Дифференциал отображения 1. Отображение, дифференцируемое н точке. ) (х + 6) — у (х) = Ь(х)6 + о(х; 6), где а(х; 6) = о(6) при 6 -+ О, х + 6 Е Е1). Е Запись»о(х; Ь) = о(Ь) при Ь -+ О„х + Ь Е Е», разумеется, означает, что Ьш [о(х; Ь)]г [Ь[х — — О. Определение 1. Пусть Х, У вЂ” нормированные пространства, Отображение у: Е -+ У множества Е с Х в У называется дифд»ерем»4ируемым е точке х е Е, внутренней для Е, если существует такое линейное непрерывное отображение Е(х): Х вЂ” > У, что 5 3.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ 75 Определение 2. Линейная относительно Ь функция Е(х) Е С(Х; У), удовлетворяющая соотношению (1), называется дифференциалом, касательным отображением или производной отображения 1:Š— >У в точкех. Как и прежде, мы будем обозначать Е(х) одним из символов а7" (х), Р1(х) или 1'(х). Мы видим, таким образом, что приведенное общее определение дифференцируемости отображения в точке почти дословно совпадает с уже знакомым нам из главы 17П1, 5 2 определением, где оно рассматривалось в случае Х = К, У = К". Поэтому без повторных пояснений мы позволим себе в дальнейшем употреблять такие введенные там понятия, как приращение функцищ приращение аргумента, касательное пространство в точке, оставляя за ними соответствующие обозначения.
Проверим, однако, в общем виде следующее о'тверждение 1. Если отображение 1": Е -+ У дифференцируемо во внутренней точке х множества Е С Х, то его дифференциал Е(х) в этой точке определен однозначно. 1(х + Ь) — Дх) — Е,(х)Ь = о1(х; Ь), 1(х + Ь) — 1(х) — Ег(х)Ь = ог(х; Ь), (2) где ол(х; Ь) = о(Ь) при Ь -+ О, х + Ь б Е, г' = 1, 2.
Тогда, полагая Цх) = Ег(х) — Ц(х) и а(х; Ь) = ог(х; Ь) — а1(х; Ь), после вычитания второго из равенств (2) из первого, получим, что Е(х)Ь = а(х; Ь). Здесь Цх) — линейное относительно Ь отображение, а а(х; Ь) = о(Ь) при Ь -+ О, х + Ь Е Е. Взяв вспомогательный числовой параметр Л, можно теперь записать, что )Цх)Ь! = = ' )Ь) -+ О при Л -+ О. Щх) (ЛЬ) ! /а(х; ЛЬ) ! м Итак, проверим единственность дифференциала.
Пусть Е1(х) и Ег(х) — линейные отображения, удовлетворяющие соотношению (1), т. е. ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 76 Таким образом, Цх)6 = 0 при любом Ь ~ 0 (напомним, что х— внутренняя точка Е). Поскольку Цх)0 = О, то мы показали, что при любом значении й имеет место равенство Ц(х)Ь = Хз(х)6. ~ь Если Š— открытое подмножество в Х, а ~: Š— + У вЂ” отображение, дифференцируемое в каждой точке х Н .Е, т.
е. диф4ерениируемое на Е, то в силу доказанной единственности дифференциала отображения в точке, на множестве Е возникает функция Е Э х + у'(х) Е с.(Х;У), обозначаемая ~'. Е -+ ь",(Х; У), которую называют производной от 1" или производным отображением по отношению к исходному отображению 1: Š— ~ 1'. Значение Г'(х) этой функции в индивидуальной точке х Е Е есть линейное непрерывное отображение 1'(х) Е Е(Х; У), являющееся дифференциалом или производной функции 1 в данной конкретной точке х Н Е. Отметим, что ввиду высказанного в определении 1 требования непрерывности линейного отображения Цх) из равенства (1) следует, что отображение, дифференцируемое в точке, необходимо является непрерывным в этой точке. Обратное, конечно, неверно, что мы уже видели на примере числовых функций.
Сделаем еще следующее важное Замечание. Если условие дифференцируемости отображения ~ в некоторой точке а записать в виде )'(х) — ~(а) = Цх)(х — а) + о(а; х), где о(а; х) = о(х — а) при х -+ а, то становится ясно, что определение 1 на самом деле относится к отображениям ~: А -+ В любых аффинных пространств (А, Х), (В, У), линейные пространства Х и У которых нормированы. Такие аффинные пространства, называемые а44инными нормированными пространствами, встречаются часто, поэтому сделанное замечание полезно иметь в виду при использовании дифференциального исчисления.
Все дальнейшее, если нет специальной оговорки, в равной степени относится как к линейным, так и к аффинным нормированным пространствам и лишь для упрощения записи мы используем символику векторных пространств. 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ 77 2. Общие законы дифференцирования. Из определения 1 вытекают следующие общие свойства операции дифференцирования. В приводимых ниже формулировках Х, У, Š— нормированные пространства, а о' и У вЂ” открытые множества в Х и У соответственно. а. Линейность дифференцирования. Если отображения ~;: П вЂ” > У, 1 = 1,2, дифференцируемы в точке х Е П, то их линейная комбинация (Л~Л + Лг6): П -+ У также дифференцируема в точке х, причем (Л1э1+ Лг1г) (х) = ЛД1(х) + Лгэг(х). Таким образом, дифференциал линейной комбинации отображений есть соответствующая линейная комбинация дифференциалов этих отображений. Ь.
Дифференцирование композиции отображений. Если отображение 7': П вЂ” + У дифференцируемо в точке х Е П С Х, а отображение д: У вЂ” > Е дифференцируемо в точке ('(х) = у Е У С У, то композиция д о 7" этих отображений дифференцируема в точке х, причем (д о у)'(х) = д'Щх)) о ~'(х). Таким образом, дифференциал композиции равен композиции дифференциалов. с. Дифференцирование обратного отображения.
Пусть 7': с7 — ~ У вЂ” непрерывное в точке х Е П С Х отображение, имеющее обратное ~ 1: У вЂ” > Х, определенное в окрестности точки у = ((х) и непрерывное в этой точке. Если отображение 1' дифференцируемо в точке х и его касательное отображение ~'(х) б ь(Х;У) в этой точке имеет непрерывное обратное [~'(х)] 1 Е я".(У,Х), то отображение (' ~ дифференцируемо в точке у = у(х), причем ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
