1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Исходя из начального приближения у(х) = О, построим последовательность О, у1 — — А(0),..., у„+1(~) = А(у„(Ф)),... приближений У1(~) = Уо, уг(г) = уо(1 + (х — хо)), уз(~) = уо(1 + (х — хо) + †(х — хо) ), 1 1 г у -ь1(~) = уо(1+(х — хо)+ — (х — хо) + + — (х — хо) ), 2! и.' из которой уже видно, что у(х) = уое* *'. Принцип неподвижной точки, сформулированный в приведенной выше теореме, носит также название принципа сжимающих отображений Он возник как обобщение рассмотренного в примере 1 доказательства Пикара теоремы существования решения дифференциального уравнения (4). В полной общности принцип сжимающих отображений был сформулирован Банахом.
Пример 3. Метод Ньютона отыскания корня уравнения 7'(х) = = О. Пусть выпуклая с положительной производной на отрезке [а„З] вещественнозначная функция принимает на концах отрезка значения разных знаков. Тогда на этом отрезке она имеет, и притом единственную, точку а, в которой у(а) = О. Наряду с простейшим общим методом поиска точки а путем деления отрезка пополам существуют разные более тонкие и быстрые методы отыскания точки а, использующие специфику функций 1. Так, в нашем случае можно воспользоваться следующим 48 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) Рис. 68.
методом, предложенным Ньютоном и называемым методом Ньютона или методом касательных. Возьмем произвольную точку хо Е [о, Д и запишем уравнение р = 1(хо)+7'(хо)(х — хо) касательной к графику нашей функции в точке (хо, 7'(хо) ). найдем точку х1 — — хо — [г'(хо)] ' Дхо) пересечения касательной с осью абсцисс (рис. 68). Примем х1 в качестве первого приближения корня а и повторим операцию, заменяя ха на х1. Так мы получим последовательность ' -ь1 = ' — [У'( ' )1 " 1( ' ) (6) точек, которые, как можно проверить, в нашем случае будут монотонно стремиться к а. В частности, если 1(х) = х~ — а, т.
е. когда мы ищем фа, где а > О, рекуррентное соотношение (6) имеет вид х — а ь и Хп-~-1 Хп й „-' ' что при Й = 2 преобразуется к знакомому выражению Хп~-1 — Хп + Способ (6) образования последовательности (хп) называют методом Ньютона. Если вместо последовательности (6) рассматривается последовательность, получаемая рекуррентным соотношением Х -Ь1 = Хп — [У'(ХО)Г'. У(Х ), (7) 17.
ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ 49 то говорят о модифицированном методе Ньютона1). Модификация состоит в том, что производная вычислена раз и навсегда в точке хо. Рассмотрим отображение х ~-+ А(х) = х — [~'(хе)] '~(х). (8) По теореме Лагранжа ]А(х2) — А(х1)] =][~'(хе)] ' ~ (О] ]х2 — х1], где ( — некоторая точка, лежащая между х1 и х2. Таким образом, если на некотором отрезке 1 с К выполнены усло- вия А(1) С 1 (9) и (10) Задачи и упражнения 1.
Покажите, что в принципе сжимающих отображений условие (1) нельзя заменить более слабым условием п(1(х~), 1 (х2)) < п(хм х2). 2. а) Докажите, что если отображение 1: Х вЂ” 1 Х полного метрического пространства (Х, д) в себя таково, что некоторая его итерация 1": Х -+ Х являетсл сжимающим отображением, то 1' имеет, и притом единственную, неподвижную точку. ПВ Функциональном анализе оп имеет многочисленные применения и называется методом Ньютона- Канторовича.
Л. В. Канторович (1912 — 1986) — выдающийся советский математик, экономико-математические исследования которого отмечены Нобелевской премией. то задаваемое соотношением (8) отображение А: 1 -+ 1 окажется сжимающим отображением этого отрезка. Тогда по общему принципу оно имеет на отрезке единственную неподвижную точку а.
Но, как видно из (8), условие А(а) = а равносильно соотношению 7'(а) = О. Значит, при выполнении условий (9) и (10), для любой функции 7' модифицированный метод Ньютона (7) на основании принципа сжимающих отображений приводит к искомому решению а уравнения 1 (х) = О. 50 ГЛ. 1Х, НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) Ь) Проверьте, что рассмотренное в примере 2 отображение А: С(1, К) + — > С(1, К) таково, что при любом отрезке 1 С К некоторая итерация А" отображения А является сжимающим отображением.
с) Получите из Ь, что найденное в примере 2 локальное решение у = = рве* *' на самом деле является решением исходного уравнения на всей числовой прямой. 3. а) Покажите, что в случае выпуклой с положительной производной на отрезке [а,,6) функции, принимающей на концах отрезка значения разных знаков, метод Ньютона (6) действительно дает последовательность (х„), сходящуюся к той точке а Б (а, )3], в которой 1(а) = О, Ь) Оцените скорость сходимости последовательности (6) к точке а.
ж ГЛАВА Х ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСхяИСЛЕНИЕ С БОЛЕЕ ОБЩЕЙ ТО'ЧКИ ЗРЕНИЯ З 1. Линейное нормированное пространство Дифференцирование — это отыскание наилучшего локального линейного приближения функции, поэтому любая сколь-нибудь общая теория дифференцирования должна опираться на элементарные представления, связанные с линейными функциями. Из курса алгебры читателю хорошо знакомо понятие линейного пространства, а также понятия линейной зависимости и независимости системы векторов, базиса и размерности линейного пространства,подпространства и т.д.
В этом параграфе мы дадим представление о линейных пространствах с нормой или, как говорят, линейных нормированных пространствах, широко используемых в анализе. Начнем, однако, с примеров линейных пространств. 1. Некоторые примеры линейных пространств анализа Пример 1. Классическими примерами линейных пространств над полем действительных и комплексных чисел являются соответственно вещественное К" и комплексное С" арифметические пространства размерности и. Пример 2. В анализе, наряду с указанными в примере 1 пространствами К", С", встречается наиболее близкое к ним пространство 1 последовательностей т = (т1,..., я",... ) действительных или комплексных чисел.
Линейные операции в 1, как и в Р' и С", осу- ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 52 ществляются покоординатно. Особенностью в сравнении с К" или С" является то, что любая конечная подсистема счетной системы векторов (х, = (О,...,О,х' = 1,0,... ), 1 Е И) линейно независима, то есть 1 — бесконечномерное (в данном случае счетномерное) линейное пространство. Совокупность финитных последовательностей (все члены которых, начиная с некоторого, равны нулю) является линейным подпространством 1 пространства 1, причем тоже бесконечномерным. о Пример 3. Пусть Г[а, Ь] — множество числовых (действительноили комплекснозначных) функций, определенных на отрезке [а, Ь].
Это множество является линейным пространством (над соответствующим числовым полем) по отношению к операциям сложения функций и умножения функции на число. Совокупность функций вида ][ О, если хб [а Ь] и хфт, [ 1, если хб[аЬ] и х=т является континуальной системой линейно независимых векторов в К[а, Ь]. Множество С[а, Ь] непрерывных функций, очевидно, является подпространством построенного пространства Р[а, Ь]. Пример 4. Если Х1 и Х2 — два линейных пространства над одним и тем же полем, то в их прямом произведении Х1 х Х2 естественным образом вводится структура линейного пространства, если линейные операции над элементами х = (хмх2) Е Х1 х Х2 выполнять покомпонентно. Анаюгично вводится структура линейного пространства в прямом произведении Х1 х ...
х Х„любого конечного набора линейных пространств. Это полный анаюг пространств К" и С". 2. Норма в линейном пространстве. Теперь дадим основное Определение 1. Пусть Х вЂ” линейное пространство над полем действительных или комплексных чисел. Функция ]] [[: Х вЂ” > К, ставящая каждому вектору х е Х в соответствие действительное число ]]х[[, называется кормой в линейном г 1. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО 53 пространстве Х, если она удовлетворяет следующим трем условиям: а) ~~х(~ = О <=в х = О (невырожденность); Ь) )(Лх)( = (Л())х)( (однородность); с) )(х1+ хг)! < 11х1)!+ ((хг(! (неравенство треугольника). Определение 2.
Линейное пространство с определенной на нем нормой называется линейным нормированным пространством. Определение 3. Значение нормы на векторе называется нормой зтого вектора. О = ((О!) = ))х + ( — хЦ < ((х)! + (! — х(! = ((х)! + ) — Ц((х)) = 2()х)!. > Из с) и принципа индукции следует общее неравенство ((х1+... + х„)( < !)х1((+... + ))х„)), а с учетом Ь) из с) легко вывести также полезное неравенство !1х11~ — !!хг!! (( 11х1 — хг1~. (2) Любое линейное нормированное пространство имеет естественную метрику д(х1, хг) = ))х1 — хг((. (3) То, что так определенная функция е1(х1, тг) удовлетворяет аксиомам метрики, непосредственно следует из свойств нормы. Благодаря наличию в Х линейной структуры метрика д в Х обладает двумя дополнительными специфическими свойствами: а(х1+х1хг+х) = ))(х1+х) (хг+х)~! = ((х1 хг(( = а(х1~хг)~ т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
