1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Говорят, что множество Е С Х является е-сетью в метрическом пространстве (Х,д), если для любой точки х б Х найдется точка е Е Е такая, что й(е, х) < е. Лемма 4 (о конечной е-сети). Если метприческое пространство (К, д) — компакта, то для любого е > О в нем имеется конечная е-сеть. М Для каждой точки х Е К берем открытый шар В(х, е). Из открытого покрытия К этими шарами выделяем конечное покрытие В(х1, е), ..., В(х„,е). Точки х1,...,х„, очевидно, образуют искомую е-сеть.
> Наряду с рассуждениями, в которых выделяют конечные покрытия, в анализе часто встречаются рассуждения, в которых из произвольной последовательности извлекают сходящуюся подпоследовательность. Оказывается, справедливо следующее Утверждение 2 (критерий метрического компакта). Метрическое пространство (К, й) является компактом в том и только в том случае, когда из любой последовательности его точек можно извлечь подпоследоватпельность, сходящуюся к некоторой тпочке из К. Сходимость последовательности (х„) к некоторой точке а е К, как и прежде, означает, что для любой окрестности У(а) точки а 6 К найдется номер Лт е г1 такой, что при и > Х будем иметь х„е У(а). Подробнее о пределе мы будем говорить ниже в 2 6. Доказательству утверждения 2 предпошлем две леммы. Лемма 5. Если метрическое пространстпво (К,д) таково, что из любой последовательности его точек можно выделить сходящуюся в К подпоследовательностпь, то для любого е > О имеетпся конечная е-сеть.
~ Если бы для некоторого ев > О в К не было конечной ев-сети, то в К можно было бы построить последовательность 1х„) точек так, что д(х„,х,) > ев при любом и Е И и любом значении 1 Е (1,..., и — 1). 22 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) Из этой последовательности, очевидно, нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность. ~ Лемма 6. Если метрическое пространство (К,д) таково, что из любой последовательности его точек можно выделить сходящуюся в К подпоследовательность, то любая последовательность вложенных замкнутых непустых подмножеств такого пространства имеет непустое пересечение.
м Если У'1 ~ ... ~ У;, ~ ... — указанная последовательность замкнутых в К множеств, то, взяв в каждом из них по точке, получим последовательность хы..., х„,..., из которой извлечем сходящуюся подпоследовательность (х„,.). Ее предел а Е К по построению обязан принадлежать каждому из замкнутых множеств У;, 1 Н И. ~ Теперь докажем утверждение 2. ~ Сначала проверим, что если (К, д) — компакт, а (х„) — последовательность его точек, то из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке К.
Если последовательность (х„) имеет всего конечное число различных значений, то утверждение очевидно, поэтому можем считать, что последовательность (х„) имеет бесконечно много различных значений. Для е1 = 1/1 строим конечную 1-сеть и берем тот замкнутый шар В(аы 1), который содержит бесконечное число членов последовательности. По лемме 3 шар В(ам 1) сам является компактом, в котором существует конечная е2 = 1/2 сеть и ее шар В(а2, 1/2), содержащий бесконечно много элементов последовательности. Так возникает последовательность В(аы1) З В(а2,1/2) З ... З З В(а„, 1/и) Э ... вложенных компактов, имеющих по лемме 2 общую точку а Н К.
Выбирая в шаре В(ап1) точку х„„последовательности (х„), затем в шаре В(а2, 1/2) точку х„„последовательности с номером пг > и, и т. д., получим подпоследовательность (х„,), которая по построению сходится к а. Докажем теперь обратное утверждение, т.е. проверим, что если из любой последовательности (х„) точек метрического пространства (К, д) можно выделить сходящуюся в К подпоследовательность, то (К, д) — компакт. В самом деле, если из некоторого открытого покрытия (С, а Н А) пространства (К, д) нельзя выделить конечное покрытие, то, построив в силу леммы 5 конечную 1-сеть в К, найдем замкнутый шар В(ам 1), 13.
КОМПАКТЫ 23 который тоже нельзя покрыть конечным набором множеств системы (С„, а е А). Этот шар В(аь, 1) теперь можно считать исходным множеством и, построив в нем конечную 1/2-сеть, найдем в нем шар В(а2, 1/2), который не допускает конечного покрытия множествами системы (С, а Е е А). Получаемая таким образом последовательность вложенных замкнутых множеств В(ам1) З В(а2,1/2) З ... Э В(а„,1/и) Э ...
в силу леммы 6 имеет, и как видно из построения, только одну общую точку а е К. Эта точка покрыта некоторым множеством С, нашей системы, и, поскольку С, открыто, все множества В(а„, 1/и) при достаточно больших значениях п должны лежать в С . Полученное противоречие завершает доказательство утверждения 2. ь Задачи и упражнения 1. Подмножество метрического пространства называется еполне оераниненным, если для любого е > 0 оно имеет конечную е-сеть. а) Проверьте, что полная ограниченность множества не зависит от того, формируется ли е-сеть иэ точек самого множества или из точек объемлющего пространства. Ь) Покажите, что подмножество полного метрического пространства является компактом тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено и замкнуто. с) Покажите на примере, что замкнутое ограниченное множество метрического пространства не всегда вполне ограничено и, значит, не всегда является компактом.
2. Подмножество топологического пространства называется отиносительно компакпьным, если его замыкание является компактом. Приведите примеры относительно компактных подмножеств 1е". 3. Топологическое пространство называется локально компактным, если каждая точка этого пространства имеет относительно компактную окрестность. Приведите примеры локально компактных, но не компактных топологических пространств.
4. Покажите, что для любого локально компактного, но не компактного топологического пространства (Х, тх) найдется такое компактное топологическое пространство (У,гу), что Х С У, а У 1Х состоит из одной точки и пространство (Х,тх) является подпространством топологического пространства (У, тг). 24 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) 2 4.
Связные топологические пространства Определение 1. Топологическое пространство (Х, т) называется связнььм, если в нем нет других открыто-замкнутых подмножеств' ), кроме самого Х и пустого множества. Это определение становится более прозрачным с точки зрения нашей интуиции, если ему придать следующую форму. Топологическое пространство связно тогда и только тогда, когда его нельзя представить в виде объединения двух его непустых замкнутых (открытых) подмножеств без общих точек. Определение 2.
Множество Е в топологическом пространстве (Х, т) называется связньол, если оно связно как топологическое надпространство (Х, т) (с индуцированной топологией). Из этого определения и определения 1 вытекает, что свойство множества Е быть связным не зависит от объемлющего пространства. Точнее, если (Х, тх) и (У,ту) — топологические пространства, содержащие Е и индуцирующие на Е одну и ту же топологию, то Е связно или нет одновременно как в Х, так и в У. Пример 1. Пусть Е = (х Е Ж ~ х ф 0). Множество Е = (х Е Е ! х < 0) непусто, не совпадает с Е и в то же время открыто-замкнуто в Е (как и Е ь — — (х Е Е ~ х > О)), если рассматривать Е как топо- логическое пространство с топологией, индуцированной стандартной топологией )к.
Таким образом, Е не связно, как и подсказывает наша интуиция. з'тверждение (о связных подмножествах )к). Непустое мнолсество Е с Ж связно тогда и только тогда, когда для любых х, г, принадлежащих Е, из х < у < г следует, что у Е Е. Таким образом, на прямой связными являются только промежутки (конечные или бесконечные): интервалы, полуинтервалы, отрезки. ~ Необходимость. Пусть Š— связное подмножество )й и тройка точек а, Ь, с такова, что а е Е, Ь е Е, но с ф Е, хотя а < с < Ь. Полагая А = (х Е Е ! х < с), В = (х Е Е ) х > с), видим, что а Е А, Ь б В, т. е.
А ~ И и В ф О и А )') В = О. Кроме того, Е = А 0 В и оба множества А, В открыты в Е. Это противоречит связности Е. ПТо есть одновременно открытых н замкнутых. з 4. СВЯЗНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 25 Достаточность. Пусть Š— подпространство К, обладающее тем свойством, что вместе с любой парой точек а и 6 ему принадлежит и всякая промежуточная точка отрезка [а, 6]. Покажем, что Е связно. Предположим, что А — открыто-замкнутое подмножество Е, причем А ф ю' и В = Е ~ А ф о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
