1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Мы знаем, однако, что интеграл от неотрицательной функции ~р Е ')<[а, Ь) равен нулю тогда и только тогда, когда ~р(х) = 0 почти во всех точках отрезка [а, Ь]. То,что при р > 1 это действительно метрика, следует из неравенства Минковского для интегралов, получающегося предельным переходом из неравенства Минковского, которое можно написать для интегральных сумм. Особо важными частными случаями метрики (7) являются; при р = = 1 †интегральн метрика; при р = 2 †метри среднего квадратичного уклонения;при р = +ос †равномерн метрика.
Пространство С[а,Ь), наделенное метрикой (7), часто обозначают символом С,[а,Ь). Можно проверить, что С, [а,Ь) есть пространство С[а, Ь], наделенное метрикой (6). 1 Е МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО Таким образом, если разбить Я[а, Ь] на классы эквивалентных функций, причем функции из а.[а,6] считать эквивалентными, если они отличаются не более чем на множестве меры нуль, то на совокупности 7с[а, 6] таких классов эквивалентности соотношение [7) действительно задает метрику. Множество %[а, 6], наделенное этой метрикой, обозначается через Яр[а, 6], а иногда и просто через Яр[а, 6].
Пример 10. В множестве С1")[а,Ь] функций, определенных на [а, 6] и имеющих на этом отрезке непрерывные производные до порядка Й включительно, можно определить следующую метрику: [8) 4У д) = шах1Мо ...,Мь), где М, = шах ф'~ [х) — д® [х)], г = О, 1,..., Ь. а(х(Ь Используя то,что [б) есть метрика, легко проверить,что и [8) есть метрика.
Предположим, например,что у есть координата движущейся точки как функция времени. Если ставится ограничение на допустимый район пребывания точки в промежуток времени [а,Ь] и запрещается превышать определенную скорость, а, кроме того, желают иметь некоторый комфорт, состоящий в том, что ускорения не должны превышать определенный уровень, то естественно рассмотреть для функции у Е С1~)[а,Ь] набор 1 шах ]Дх)], шах ]у'[х)], шах ]1а[х)]) и поэтимха- а<х<Ь а<х<Ь а<х<Ь рактеристикам два движения ~, д считать близкими, если величина [8) для них мала. Рассмотренные примеры показывают, что одно и то же множество можно метризовать различными способами.
Введение той или иной метрики диктуется обычно самой постановкой задачи. Сейчас же мы будем интересоваться самыми общими свойствами метрических пространств, присущими им всем. 2. Открытые и замкнутые подмножества метрического пространства. Пусть [Х, д) — метрическое пространство.
Подобно тому, как это было сделано в главе Ъ'П, 81 для случая Х = Ка, в общем случае тоже можно ввести понятия шара с центром в данной точке, открытого множества, замкнутого множества, окрестности точки, предельной точки множества и т. д. 6 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) Напомним эти основные для дальнейшего понятия. Определение 2. При 6 > О и а Е Х множество В(а,й) = (х Е Х [ с1(а, х) ( о) называется шаром с центром а Е Х радиуса 6 или также 5-окрестностью точки а. В случае общего метрического пространства это название удобно, но его не следует отождествлять с традиционным геометрическим образом, к которому мы привыкли в Кз.
Пример 11. Единичный шар в С[а,6) с центром в функции, тождественно равной нулю на [а, 6), состоит из тех функций, непрерывных на отрезке [а, 6], модуль которых меньше единицы на этом отрезке. Пример 12. Пусть Х вЂ” единичный квадрат в К~, расстояние между точками которого определяется как расстояние между этими же точками в 1х . Тогда Х является метрическим пространством, причем взятый сам по себе квадрат Х с такой метрикой можно считать шаром любого радиуса р > ~/2/2 относительно своего центра. Ясно, что так можно было бы построить шары весьма причудливой формы. Так что термин шар не следует понимать слишком буквально. Определение 3. Множество С С Х называется открытым в метрическом пространстве (Х, д), если для любой точки х Е С найдется шар В(х, 6) такой, что В(х,д) с С.
Из этого определения, очевидно, следует, что само Х вЂ” открытое в (Х,с~) множество; пустое множество Е1 также открыто. Теми же рассуждениями, что и в случае К", можно доказать, что шар В(а, г) или его внешность (х Е Х [ с~(а,х) > г) суть открытые множества. (См. гл. Ъ'1П, ~ 1, примеры 3, 4.) Определение 4. Множество У' С Х называется замкнутым в (Х, д), если его дополнение Х 1У' открыто в (Х, д).
В частности, отсюда заключаем, что замкнутый шар В(а,г):= (х Н Х [ д(а,х) ( г) является множеством, замкнутым в метрическом пространстве (Х, а). 11. МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО Для открытых и замкнутых множеств в метрическом пространстве (Х, а) справедливо Утверждение 1. а) Объединение Ц С множеств любой си- аЕА стемы (С, а Е А) множеств С, открытых в Х, является множеством, открытым в Х. Ь) Пересечение П С;, конечного числа множеств, открытых в Х, 1=1 является множеством, открытым в Х. а') Пересечение П У' множеств любой системы (У~, о б А) мно- аеА жеств У„, замкнутых в Х, является множеством, замкнутым в Х.
Ь') Объединение Ц У; конечного числа множеств, замкнутых в Х, 1=1 является множеством, замкнутым в Х. Доказательство утверждения 1 дословно повторяет доказательство соответствующего утверждения для открытых и замкнутых множеств в К", и мы его опускаем. (См. гл. Ъ'11, ~ 1, утверждение 1.) Определение 5. Открытое в Х множество, содержащее точку х Е Х, называется окрестностью этой точки в Х. Определение 6. Точка х Е Х по отношению к множеству Е С Х называется внутренней точкой Е, если она содержится в Е вместе с некоторой своей окрестностью; внешней точкой Е, если она является внутренней точкой дополнения к Е в Х, граничной точкой Е, если она не является ни внутренней, ни внешней точкой по отношению к Е (т.
е, если в любой окрестности этой точки имеются как точки, принадлежащие, так и точки, не принадлежащие множеству Е). Пример 13. Все точки шара В(а,г) являются его внутренними точками, а множество СхВ(а, г) = Х 1 В(а, г) состоит из точек, внешних по отношению к шару В(а, т). В случае пространства К" со стандартной метрикой д в 2" сфера 8 ГЛ.
1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) о'(а, т) = (х Н Ко ~ д(а,х) = т ) 0) является множеством граничных точек шара В(а, т)'). Определение Т. Точка а е Х называется предельной для множества Е с Х, если для любой ее окрестности 0(а) множество Е О 0(а) бесконечно. Определение 8.
Объединение множества Е и всех его предельных точек в Х называется замыканием множества Е в Х. Как и прежде, замыкание множества Е с Х будем обозначать через Е. Утверждение 2. Множество У' С Х замкнуто в Х тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки. Итак, (У' замкнуто в Х) ~ (У = У в Х). Доказательство мы опускаем, так как оно повторяет доказательство аналогичного утверждения в случае, когда Х = К", изложенного в гл. ЧП, 8 1.
3. Подпространство метрического пространства. Если (Х, д) — метрическое пространство, Š— подмножество Х, то, полагая для любой пары точек х1, хг из Е расстояние равным д(х1, хг), т. е. расстоянию между этими точками в Х, мы получим метрическое пространство (Е, д), которое по отношению к исходному пространству (Х, д) принято называть подпространством.
Итак, мы принимаем следующее Определение 9. Метрическое пространство (Хмд1) называется подпространством метрического пространслпва (Х,д), если Х1 С Х и для любой пары точек а, Ь множества Х1 справедливо равенство д1 (а, Ь) = д(а, Ь). Поскольку шар В1(а, г) = (х Е Х1 ~ д1(а, х) ( г) в подпространстве (Х1, с(1) метрического пространства (Х, д), очевидно, является пересечением В1 (а, т) = Х1 П В(а, г) ОВ связи с примером 13 см. также задачу 2 и конце этого параграфа.
~ 1. МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО множества Х1 С Х с шаром В(а,г) в Х, то всякое открытое в Х1 множество имеет вид а =х,па, где а — множество, открытое в Х, а всякое замкнутое в Х1 множество У~ имеет вид т =хпт, где У вЂ” множество, замкнутое в Х. Из сказанного следует, что свойство множества, лежащего в метрическом пространстве, быть открытым или замкнутым относительно и зависит от этого объемлющего пространства. Пример 14.
Интервал [х[ ( 1, у = О оси абсцисс плоскости й~ со стандартной метрикой в Кз является метрическим пространством (Хмс(1), которое, как и всякое метрическое пространство, замкнуто в себе, ибо содержит все свои предельные точки в Хь Вместе с тем очевидно, что Х1 не является замкнутым множеством в и~ = Х. Этот же пример показывает, что и понятие открытости множества также относительно. Пример 15. Множество С[а, 6) непрерывных на отрезке [а, 6) функций с метрикой (7) является подпространством метрического пространства Яр[а,61.
Однако, если на С[а, Ь) рассматривать метрику (6), а не (7), то зто уже не будет иметь место. 4. Прямое произведение метрических пространств. Если (Хп д1) и (Хз, йз) — два метрических пространства, то в прямом произведении Х1 х Хз можно ввести метрику Н. Наиболее распространенные способы введения метрики в Х1 х Хз состоят в следующем. Если (хм хз) Е Х1 х Хз и (х1, х~з) Е Х1 х Хз, то можно положить д((хмхг),(хмхз)) = или п((х1|х2)~ (х1~ хз)) = п1(х1, х1) + п2(х2~ хз)~ или д((ХО ХЗ), (Х1, Х~з)) = Шак(д1(ХП Х1), дэ(ХЗ, Хз~)). 1Ю ГЛ.
1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) Легко видеть, что в любом из этих случаев мы получаем метрику на Х1 х Хз. Определение 10. Если (Хм с(1), (Хз, дз) — два метрических пространства, то пространство (Х, х Хз, а), где а' — введенная любым из указанных выше способов метрика в Х1 х Хз, будем называть прямым произведением исходных мегпрических просшранств. Пример 16. Пространство 11~ можно считать прямым произведением двух метрических пространств К со стандартной метрикой на Я, а метрическое пространство жз есть прямое произведение 1с2 х Й" метрических пространств Й~ и н" = В. Задачи и упражнения 1. а) Развивая пример 2, покажите, что если /: И+ — > К~ — непрерывная строго выпуклая вверх функция, причем /(О) = О, а (Х, а) — метрическое пространство, то на Х можно определить новую метрику Н1 следующим соотношением: 41(хмхз) = /(й(хмхз)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
