1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Предел отображения а. Основное определение и его частные случаи Определение 1. Пусть у: Х -+ У вЂ” отображение множества Х с фиксированной в Х базой В = (В) в топологическое пространство У. Говорят, что точка А й У является пределом отображения ~: Х вЂ” + У по базе В и пишут 1пп1(х) = А, если для любой окрестности У(А) и точки А в У существует элемент В Е В базы В, образ которого при отображении 1 содержится в У(А). В логической символике определение 1 имеет вид 1пп1(х) = А:= ЧУ(А) С У Ч В Е В (1(В) С T(А)). Чаще всего нам будет встречаться случай, когда Х, как и У,— топологическое пространство, а  — база окрестностей или проколотых окрестностей некоторой точки а Е Х.
Сохраняя для базы проколоо тых окрестностей (В (а) ) точки а прежнее обозначение х — о а, можно Зб ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) конкретизировать определение 1 для этой базы: 1пп 1(х) = А:= ЧУ(А) с У Л Ц (а) с Х ЦЯ (а)) с У(А)). Если (Х,дх) и (У,ду) — метрические пространства, то последнее определение можно переформулировать уже на языке е — 6: 1пп 1(х) = А:= Че ) О Лб ) О Чх н Х х — >а (О < дг(а,х) < б ~ ду(А, 1'(х)) < е). Иными словами, 1пп 1(х) = А л=ь 1пп ду(А,1(х)) = О.
Мы видим, таким образом, что, имея понятие окрестности, можно определить понятие предела отображения 1': Х -+ У в топологическое или метрическое пространство У так же, как зто было сделано в случае У = К или, более общо, в случае У = 2". Ь. О свойствах предела отображения.
Сделаем некоторые замечания относительно общих свойств предела. Отметим прежде всего, что получавшаяся ранее сама собой единственность предела в случае, когда У не является хаусдорфовым пространством, уже не имеет места. Если же У вЂ” хаусдорфово пространство, то единственность предела имеет место и доказательство ее ничем не отличается от уже проведенного в частных случаях У = К или У = К'. Далее, если 1': Х -+ У вЂ” отображение в метрическое пространство, то можно говорить об оераниченности отображения (что означает ограниченность множества 1(Х) в У) и о финальной оераниченности отображения по базе В в Х (что означает существование элемента В базы В, на котором 1 ограничено). Из самого определения предела отображения вытекает, что если отображение )': Х вЂ” + У множества Х с базой В в метрическое пространство У имеет предел по базе В, то оно финально ограничено по этой базе.
с. Вопросы существования предела отображения зхтверждение 1 (о пределе композиции отображений). Пусть У вЂ” мнолсество с базой Ву, а д: У -+  — отображение У в топологичесное пространство л, имеющее предел по базе Ву. 37 1 б. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Пусть Х вЂ” множество с базой Вх и ~: Х -+ У вЂ” такое отображение Х в У, что для любого элемента Ву Е Ву базы Ву существует элемент Вх Е Вх базы Вх, образ которого содержится в Ву, т. е.
,~(Вх) С Ву. При этих условиях композиция д о у: Х вЂ” + Я отображений у' и д определена, имеет предел по базе Вх и 1ппд о ~(х) = 1ппд(у). вх и Доказательство см. в гл. П1, ~ 2, теорема 5. Другим важным утверждением о существовании предела является критерий Коши, к которому мы теперь переходим. На сей раз речь будет идти уже об отображении ~: Х -+ У в метрическое и даже в полное метрическое пространство. В случае отображения у:Х -+ У множества Х в метрическое пространство (У, д) естественно принять следующее Определение 2. Колебанием отображения у: Х -+ У на множестве Е С Х называется величина хохьеЕ Имеет место Утверждение 2 (критерий Коши существования предела отображения). Пусть Х вЂ” множество с базой В, у: Х вЂ” + У вЂ” отображение Х в полное метрическое пространство (У, д).
Для того, чтобы отображение ~ имело предел по базе В, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О нашелся такой элемент В базы В, на котором колебание отображения меньше е. Короче: 311ш~(х) л=ь Че > О ЗВ е В (ы(~,В) ( е). Доказательство см. в гл. П1, ~ 2, теорема 4. Полезно заметить, что полнота пространства У нужна только при переходе от правой части последнего соотношения к левой. Более того, если У не является полным пространством, то именно этот переход, вообще говоря, невозможен.
38 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) 2. Непрерывные отображения а. Основные определения Определение 3. Отображение )': Х вЂ” + У топологического пространства (Х, тх) в топологическое пространство (У,ту) называется непрерывным в точке а б Х, если для любой окрестности УЩа)) с У точки 1(а) е У найдется окрестность с1(а) С Х точки а Е Х, образ которой уела)) содержится в У(у(а)). Итак, 1: Х -+ У непрерывно в а Е Х:= = ЧУ(т(а)) 3(1(а)(1Ща)) С У(1(а))).
В случае, если Х и У вЂ” метрические пространства (Х, дх), (У, ду), определение 3, разумеется, можно сформулировать на языке г — б: )': Х -+ У непрерывно в а Е Х:= = Чг > О Вб > О Чх е Х (дх(а,х) ( б ==к ду(т"(а),Дх)) ( г). Определение 4. Отображение у: Х -+ У называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке х б Х. Множество непрерывных отображений Х в У обозначают символом С(Х, У). Теорема 1 (критерий непрерывности). Отображение у: Х -+ У топологического простпранства (Х, тх) в топологическое простпранство (У, ту) непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого (замкнутого) подмножества У открыт (замкнут) в Х. ~ Поскольку прообраз дополнения есть дополнение к прообразу, достаточно доказать теорему для открытых множеств.
Покажем сначала, что если у е С(Х,У), а Су е ту, то Сх =,1 1(Су) б тх. Если Сх = ю, то открытость прообраза налицо. Если же Сх ф ю и а Е Сх, то по определению непрерывности отображения у в точке а для окрестности Су точки у(а) найдется такая окрестность (тх(а) точки а в Х, что т(0х(а)) С Су.
Значит, о'х(а) С Сх = 1 (Су). Поскольку Сх = () Пх(а), заключаем, что ьео» Сх — открыто, т.е. Сх Е тх. 1 б. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 39 Теперь докажем, что если прообраз любого открытого в У множества открыт в Х, то )' Е С(Х, У). Но, взяв любую точку а Е Х и произвольную окрестность |'у®а)) ее образа в У, мы обнаруживаем, что множество Пх(а) = у '(УРЩа))) является открытой окрестностью точки а в Х, образ которой содержится в УР®а)). Следовательно, проверено определение непрерывности отображения у: Х вЂ” ~ У в произвольной точке а б Х. ~ Определение 5.
Биективное отображение у: Х -+ У одного топологического пространства (Х,тх) на другое (У,ту) называется гомеоморфным или гомеоморфизмом, если как оно само, так и ему обратное отображение у 1: У -+ Х непрерывны. Определение 6. Топологические пространства, допускающие гомеоморфное отображение друг на друга, называются гомеоморфными. Как показывает теорема 1, при гаме аморфном отображении у: Х -+ У топологического пространства (Х,тх) на пространство (У, тг) системы открытых множеств тх, 7у соответствуют друг другу в том смысле, что Сх е тх Ф>,) (Сх) = СР е 7У.
Таким образом, с точки зрения топологических свойств гомеоморфные пространства абсолютно одинаковы. Следовательно, гомеоморфность топологических пространств есть такое же отношение эквивалентности в множестве топологических пространств, как, например, изометричность есть отношение эквивалентности в метрических пространствах. Ь. Локальные свойства непрерывных отображений. Укажем локальные свойства непрерывных отображений. Они вытекают непосредственно из соответствующих свойств предела.
Утверждение 3 (непрерывность композиции непрерывных отображений). Пусть (Х,тх), (У,тг), (Е,тг) --топологические пространства. Если отображение д: У -+ Е непрерывно в точке 6 Е У, а отображение 1': Х -+ У непрерывно в точке а Е Х, причем ~(а) = 6, то композиция этих отображений д о 1': Х вЂ” + Е непрерывна в точке а Е Х. Это следует из определения непрерывности отображения и утверждения 1. Утверждение 4 (ограниченность отображения в окрестности 40 ГЛ.
ГХ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБП1АЯ ТЕОРИЯ) точки непрерывности). Если отображение (': Х -+ У топологического пространстпва (Х,д) в метрическое пространство (У, а) непрерывно в некоторой точке а б Х, то оно ограничено в некотпорой окрестности этой точки. Утверждение следует из финальной ограниченности (по базе) отображения, имеющего предел. Прежде чем формулировать следующее утверждение о свойствах непрерывных отображений, напомним, что для отображений в К или в й" величину ы(1, а):= 1!та ы(1, В(а, т)) в — ~0 мы назвали колебанием отображения т в точке а. Поскольку и понятие колебания отображения на множестве, и понятие шара В(а, т) остаются в силе в любом метрическом пространстве, то определение колебания ы(1", а) отображения 1 в точке а также остается в силе для отображения у: Х -+ У метрического пространства (Х, ду) в метрическое пространство (У, ду).
Утверждение 5. Отображение т": Х -+ У метрического пространства (Х,дл) в метприческое пространство (У,ду) непрерывно в точке а е Х тогда и только тогда, когда ы(1, а) = О. Это утверждение непосредственно следует из определения непрерывности отображения в точке. с. Глобальные свойства непрерывных отображений. Остановимся теперь на важнейших глобальных свойствах непрерывных отображений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
