1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Ь) Покажите, что на любом метрическом пространстве (Х, И) можно ввести метрику а'(хп хз) = *„'*, в которой расстояния между точками не 1-~-л хмхз) ' будут превосходить единицу. 2. Пусть (Х, Н) — метрическое пространство с указанной в начале примера 2 тривиальной (дискретноо) метрикой, и пусть а Е Х. Каковы в данном случае множества В(а, 1/2), В(а, 1), В(а, 1), В(а, 1), В(а, 3/2) и множества (х е Х ! д(а, х) = 1/2), (х Б Х ! д(а, х) = 1), В(а, 1) ~ В(а, 1), В(а, 1) ~ В(а, 1)? 3.

а) Верно ли, что объединение любого семейства замкнутых множеств является множеством замкнутым? Ь) Всякая ли граничная точка множества является его предельной точкой? с) Верно ли, что в любой окрестности граничной точки множества имеются как внутренние, так и внешние точки этого множества? 4) Покажите, что множество граничных точек любого множества является замкнутым множеством.

4. а) Докажите, что если (У, Иу) есть подпространство метрического пространства (Х,дл), то для любого открытого (замкнутого) множества Сг (Уу) в У найдется такое открытое (замкнутое) множество Сх (Ух) в Х, что Су = У О Сл (Уу = У О Ух). Ь) Проверьте, что если открытые множества С1,, С~ из У не пересекаются, то соответствующие множества Сл, С~. в Х можно выбрать так, что они тоже не будут иметь общих точек. 5. Имея метрику 4 на множестве Х, можно попытаться определить рас- 12.

ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО стояние Й( А, В) между множествами А С Х и В С Х следующим образом: д(А, В) = ш1 д(а, Ь). аЕА,6ЕВ а) Приведите пример метрического пространства и двух замкнутых не пересекающихся его подмножеств А, В, для которых Й(А, В) = О. Ь) Покажите, следуя Хаусдорфу, что иа множестве замкнутых подмножеств метрического пространства (Х, д) можно ввести метрику Хаусдорфа Р, полагая, что для А с Х и В с Х Р(А, В):= щах(япр д(а, В), вир Й(А, Ь) ). аЕА ЬЕВ ~ 2. Топологнческое пространство Для вопросов, связанных с понятием предела функции или отображения, во многих случаях существенным является не наличие той или иной метрики в пространстве, а возможность сказать, что такое окрестность точки.

Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, что само определение предела или определение непрерывности может быть сформулировано в терминах окрестностей. Топологическое пространство является тем математическим объектом, на котором операция предельного перехода и непрерывность отображения изучаются в наиболее общем виде. 1. Основные определения Определение 1. Говорят, что множество Х наделено структурой топвлогического пространства, или наделено топологией, или что Х есть топологическое пространство, если указана система т подмножеств Х (называемых открытыми множествами в Х), обладающая следующими свойствами: а) Ябт;Хбт.

Ь) (Чо б А (та Е т)) ~ Ц т„ б т. аЕА с) (т16т;1=1,...,п) а Пт,бт. 1=1 Таким образом, топологическое пространство есть пара (Х, т), состоящая из множества Х и системы т выделенных его подмножеств, обладающей теми свойствами, что т содержит пустое множество и все 12 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБП1АЯ ТЕОРИЯ) множество Х, что объединение любого числа множеств системы т есть множество системы т и пересечение конечного числа (любых двух) множеств системы т есть множество системы т. Как видно, в аксиоматике а), Ь), с) топологического пространства постулированы те свойства открытых множеств, которые мы уже доказали в случае метрического пространства. Таким образом, любое метрическое пространство с определенным выше понятием открытого множества в нем является топологическим пространством. Итак, задать топологию в Х значит указать систему т подмножеств Х, удовлетворяющую аксиомам а), Ь), с) топологического пространства.

Задание метрики в Х, как мы видели, автоматически задает топологию на Х, индуцированную этой метрикой. Следует, однако, заметить, что разные метрики на Х могут порождать на этом множестве одну и ту же топологию. Пример 1. Пусть Х = К" (и ) 1). Рассмотрим в К" метрику д1(хм хг), задаваемую соотношением (5) 2 1, и метрику дг(хп хг), определенную формулой (3) 2 1. Из неравенств д1(хмхг) ( дг(хпхг) ( 4пй,(хмхг), очевидно, следует, что каждый шар В(а, г) с центром в произвольной точке а е Х, понимаемый в смысле одной из этих метрик, содержит шар с тем же центром, понимаемый в смысле другой метрики. Отсюда в силу определения открытого подмножества метрического пространства вытекает, что обе метрики индуцируют на Х одну и ту же топологию.

Почти все топологические пространства, которые мы будем активно использовать в пределах этого курса, являются метрическими. Не следует, однако, думать, что всякое топологическое пространство можно метризовать, т.е. наделить его метрикой, открытые множества в которой будут совпадать с открытыми множествами системы т, задающей топологию на Х. Условия, при которых это можно сделать, составляют содержание так называемых метризационных теорем. Определение 2. Если (Х,т) — топологическое пространство, то множества системы т называют открьилыми, а дополнения к ним в з 2. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО Х вЂ” замкнутыми множествами топологического пространства (Х, т). Топологию т в множестве Х редко задают перечислением всех множеств системы т. Чаще систему т задают, указывая лишь некоторый набор подмножеств Х, объединением и пересечением которых можно получить любое множество системы т. Весьма важным поэтому является Определение 3.

Базой тополозическозо пространства (Х, т) (открытой базой или базой тополозии) называется такое семейство З открытых подмножеств Х, что каждое открытое множество С е т является объединением некоторой совокупности элементов семейства З. Пример 2. Если (Х,а) — метрическое пространство, а (Х,т)— соответствующее ему топологическое пространство, то совокупность З = ~В(а, т)) всех шаров, где а Е Х и т > О, очевидно, является базой топологии т. Более того, если брать систему З всех шаров с положительными рациональными радиусами г, то эта система также будет базой топологии т.

Итак, топологию т можно задать, описав лишь базу этой топологии. Как видно из примера 2, топологическое пространство может иметь много различных баз топологии. Определение 4. Минимальнзл мощность баз топологического пространства называется его весом. Мы будем, как правило, иметь дело с топологическими пространствами, допускающими счетную базу топологии (см., однако, задачи 4 и 6). Пример 3.

Если в й" взять систему З шаров всевозможных рациональных радиусов г = т > О с центрами во всевозможных рациональных точках (™„,',..., ™~) б й', то мы, очевидно, получим счетную базу стандартной топологии пространства й". Нетрудно проверить, что конечной системой открытых множеств стандартную топологию в й" задать невозможно. Таким образом, стандартное топологическое пространство й" имеет счетный вес. Определение 5. Окрестностью точки топологического про- 14 ГЛ.

1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБП(АЯ ТЕОРИЯ) странства (Х,т) называется открытое множество, содержащее зту точку. Ясно, что если на Х задана топология т, то для каждой точки определена система ее окрестностей. Ясно также, что система всех окрестностей всевозможных точек топологического пространства может служить базой топологии этого пространства. Таким образом, топологию в Х можно ввести, описав окрестности точек множества Х.

Именно зта форма задания топологии в Х и была начальной в определении топологического пространства">. Заметьте, что, например, в метрическом пространстве саму топологию мы ввели по существу, указав лишь, что такое б-окрестность точки. Приведем еще Пример 4. Рассмотрим множество С(К, К) вещественнозначных непрерыв- У ных функций, определенных на всей числовой прямой, и на его основе постро- х им новое множество — множество ростков непрерывных функций. Две функции д у, д Е С(К, К) будем считать эквивалент- Рис. 66. ными в точке а Е К, если найдется такая окрестность У(а) этой точки, что Чх Е У(а) (у(х) = д(х)).

Введенное отношение действительно является отношением эквивалентности (оно рефлексивно, симметрично и транзитивно). Класс эквивалентных между собой в точке а е К непрерывных функций назовем ростком непрерывных функций в этой точке. Если 7' — одна из функций, порождающих росток в точке а, то сам росток будем обозначать символом у,. Определим теперь окрестность ростка.

Пусть У(а) — окрестность точки а в К, ) — определенная в У(а) функция, порождающая росток у в точке а. Эта же функция в любой точке х Е У(а) порождает свой росток у . Множество (Я ростков, отвечающих точкам х Е У(а), назовем окрестностью ростка уо. Приняв множество таких окрестностей всевозможных ростков за базу топологии, мы превратим множество ростков непрерывных функций в топологическое пространство.

ОПонятия метрического и топологического пространства были сформулированы в явном виде в начале двадцатого столетия. В 1906 г. французский математик М. Р. Фреше (1878 — 1973) ввел понятие метрического пространства, а в 1914 г. немецкий математик Ф. Хаусдорф (1868 — 1942) определил топологическое пространство. 2 2. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО Полезно заметить, что в полученном топологическом пространстве две различные точки (ростки) у„д, могут не иметь непересекающихся окрестностей (рис.

66). Определение 6. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если в нем выполнена аксиома Хаусдорфа; любые две различные точки пространства обладают непересекающимися окрестностями. Пример 5. Любое метрическое пространство, очевидно, является хаусдорфовым, поскольку для любых двух точек а, Ь б Х таких, что д(а,Ь) ) О, их шаровые окрестности В (а, 2~д(а, Ь)), В (Ь, 2~д(а, Ь)) не имеют общих точек. Вместе с тем, как показывает пример 4, бывают и не хаусдорфовы топологические пространства. Пожалуй, простейшим примером тут может служить топологическое пространство (Х, т) с простейшей топологией т = (Я, Х).

Характеристики

Список файлов книги