1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Пусть а Е А и 6 Е В. Для определенности будем считать, что а < Ь (а ~ Ь, так как А П В = О). Рассмотрим точку с4 = впр(А П [а, Ь]). Поскольку А Э а < с1 < Ь Е В, имеем с1 Е Е. Ввиду замкнутости А в Е заключаем, что с1 Е А. Рассматривая теперь точку с2 = '1пЦВ О [сь, 6]), аналогично, ввиду замкнутости В, заключаем, что с2 б В. Таким образом, а < с1 < с2 < Ь, поскольку с1 Е А, с2 Е В и А П В = О. Но из определений с1 и сэ и того, что Е = А 0 В, теперь вытекает, что ни одна точка интервала ]ем с2[ не может принадлежать Е. Это противоречит исходному свойству Е. Таким образом, множество Е не может иметь подмножества А с указанными свойствами, что и доказывает связность Е.

ь Задачи и упражнения 1. а) Проверьте, что если А — открыто-замкнутое подмножество (Х, г), то В = Х ~ А тоже является таковым. Ь) Покажите, что в терминах объемлющего пространства свойство связности множества можно выразить в следующем виде: подмножество Е топологнческого пространства (Х, т) связно тогда н только тогда, когда в Х нельзя указать пару открытых (эамкнутых) н не пересекающихся множеств С~я, С'»- таких, что Е О С» Ф а, Е П Сх ~ а и Е С Сх 0 С'».

2. Покажите, что: а) Объединение связных подпространств, имеющих общую точку, связно. Ь) Пересечение связных подпространств не всегда связно. с) Замыкание связного пространства — связно. 3. Группу СЦп) невырожденных матриц порядка и с вещественными элементами можно рассматривать как открытое подмножество в пронзведе- 2 ннн К" топологнческих пространств, если с каждым элементом матрицы связывать свой экземпляр множества К действительных чисел. Связно ли пространство СЦп)? 4. Топологическое пространство называется локально свлэньиц если каждая его точка обладает связной окрестностью.

а) Покажите, что иэ локальной связности еще не вытекает связность топологического пространства. Ь) Множество Е в Кэ есть график функции х ~-> з1п 1 (при х ф О) плюс отрезок ((х,у) В К~ [ х = 0 А ]у[ < Ц осн ординат. На Е рассматривается индуцнрованная нз К~ топология.

Покажите, что получающееся прн этом 26 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) топологическое пространство является связным, но не является локально связным. 5. В гл. ЧП, Э 2, и. 2 мы определили связное подмножество К" как такое множество Е С К", любые две точки которого можно соединить путем с носителем в Е. В отличие от введенного в настоящем параграфе определения топологической связности, рассмотренное в главе ЧП понятие именуется обычно линейной селэностью.

Проверьте, что: а) Всякое линейно связное подмножество К" является связным. Ь) Не всякое связное подмножество К" при и > 1 является линейно связным (см. задачу 4). с) Всякое связное открытое подмножество К" является линейно связным. З 5. Полные метрические пространства В этом параграфе речь будет уже только о метрических пространствах и, точнее, об одном классе таких пространств, играющем важную роль в различных отделах анализа.

1. Основные определения и примеры. По аналогии с уже известными нам иэ рассмотрения пространства К" понятиями введем понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей точек произвольного метрического пространства. Определение 1. Последовательность (х„; п Е И) точек метрического пространства (Х,с() называется фундаментальной последовательностью или последовательностью Коши, если для любого е > О найдется номер )Ч Е г( такой, что при любых номерах т, и Е И, больших, чем 1Ч, выполняется соотношение д(х,„, х„) ( е.

Определение 2. Будем говорить, что последовательность (х„; и Е 14) точек метрического пространства (Х, д) сходится к точке а Е Е Х и что а есть предел этой последовательности, если 1пп д(а, х„) = О. Последовательности, имеющие предел, будем, как и прежде, называть сходяепимисл. Теперь дадим основное Определение 3. Метрическое пространство (Х,с() называется полным, если каждая фундаментальная последовательность его точек является сходящейся. Пример 1.

Множество К действительных чисел со стандартной 15. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 27 метрикой является полным метрическим пространством, что следует из критерия Коши сходимости числовой последовательности. Заметим, что поскольку всякая сходящаяся последовательность точек метрического пространства, очевидно, является фундаментальной последовательностью, то в определении полного метрического пространства в сущности просто постулируется выполнение в нем критерия Коши сходимости последовательности.

Пример 2. Если из множества К удалить, например, число О, то в стандартной метрике множество К '1 0 уже не будет полным пространством. Действительно, последовательность х„ = 1/и, п Е И, его точек фундаментальна, но она не имеет предела в К '1 О. Пример 3. Пространство К" с любой из стандартных метрик в нем является полным, как зто было выяснено в гл. ЧП, 5 2, п.

1. 47",д) = шах [7(х) — д(х)] а<х<5 (см. 3 1, пример 7). Покажем, что метрическое пространство (С[а, Ь],д) является полным. Пусть (7„(х);п Е М) — фундаментальная последовательность функций из С[а,Ь], т,е. Чс>О 31уб1Ч Чтб1Ч Чпбу1 ((т>пдп>Х) ~ Чх б [а,Ь] (]~~,(х) — ~„(х)] < е)). (2) При каждом фиксированном значении х е [а, Ь], как видно из (2), числовая последовательность 17'„(х); и Е г() фундаментальна и по критерию Коши имеет определенный предел 7" (х).

Итак, у(х):= 11ш 7'„(х), х б [а,Ь]. (3) Проверим, что функция 7(х) непрерывна на [а, Ь], т.е. 1' б С[а, Ь]. Из (2) и (3) следует, что при и > Х выполнено неравенство ]у(х) — у„(х)[ < е, Чх Е [а, Ь]. (4) Пример 4. Рассмотрим множество С[а,Ь] вещественнозначных непрерывных на отрезке [а, Ь] С К функций с метрикой 28 ГЛ.

1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) Фиксируем точку х Е [а, Ь] и проверим непрерывность функции / в этой точке. Пусть смещение Ь таково, что (х+ Ь) Е [а, Ь]. Из тождества /(х + и) — /(х) = /(х + и) — /„(х + а) + ~'„(х + Ь) — ~'„(х) + ~'„(х) — Дх) вытекает неравенство ]/(х + Ь) — Дх)[ < < ]/(х + Ь) — Д„(х + Ь)] + Щх + Ь) — /в(х)] + ~Д„(х) — Дх)[. (5) Крайние члены правой части последнего неравенства в силу (4) не превосходят е, если и > М. Фиксирован и > Ф, получаем функцию /„Е С[а, Ь] и, подбирая б = Ь(е) так, что при ~Ь] < Ь выполняется ]/„(х+ Ь) — /„(х)) < е, получаем, что [/(х+ Ь) — Дх)) < Зе, если )А] < б.

Но это и означает, что функция / непрерывна в точке х. Поскольку точка х была произвольной точкой отрезка [а, Ь], мы показали, что /ЕС[а,Ь]. В Итак, пространство С[а, Ь] с метрикой (1) является полным метрическим пространством.

Это очень важный и широко используемый в анализе факт. Пример 5. Если на том же множестве С[а, Ь] вместо метрики (1) рассмотреть интегральную метрику (6) д(/,д) = [/ — д](х) дх, а то возникающее метрическое пространство уже не будет полным. Ради простоты обозначений положим [а, Ь] = [ — 1,1] и рассмотрим, к примеру, последовательность (/ Е С[ — 1, 1]; и Е М) функций, определенных следующим образом: -1, если — 1 < х < -1/и, / (х) = их, если — 1/и < х < 1/и, 1, если 1/и<х<1 (рис. 67). 15.

ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 29 Из свойств интеграла непосредственно вытекает, что эта последовательность фундаментальна в смысле метрики (6) в С[ — 1, 1]. Вместе с тем она не имеет предела в С[ — 1, 1], ибо если бы непрерывная функция / б С[ — 1, 1] была пределом указанной последовательности в смысле метрики (6), то на промежутке — 1 < х < 0 функция / должна была бы быть постоянной, равной — 1, а на промежутке 0 < < х < 1 — постоянной, равной 1, что несовместимо с непрерывностью / в точке х=О. ~ Рис. 67. Пример 6.

Несколько труднее показать, что даже множество Я[а, Ь) определенных на отрезке [а, Ь] вещественнозначных интегрируемых по Риману на этом отрезке функций также не является полным в смысле метрики (6)'). Мы покажем это, опираясь на критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.

ППо поводу самой метрики (6) на %[а,Ь] см. замечание, сделанное в примере 9 из 11. В качестве [а, Ь] возьмем отрезок [0,1) и построим на нем такое канторовское множество, которое не является множеством меры нуль. Пусть Ь Е)0,1/3[. Удалим из отрезка [0,1) среднюю его часть длины сз, точнее, Ь/2-окрестность середины отрезка [О, 1]. На каждом из оставшихся двух отрезков удалим среднюю часть длины 2л 1/3. На каждом из четырех оставшихся отрезков удалим среднюю часть длины Ь.

1/32 и т. д. Длина всех удаленных в таком процессе интервалов равна Ь+Ь 2/3+Ь 4/32+... +сз (2/3)" +... = Зсз. Поскольку 0 < сз < 3~, имеем 1 — ЗЬ > 0 и, как можно проверить, отсюда следует, что оставшееся на отрезке [О, 1) (канторово) множество К не имеет меру нуль в смысле Лебега. Рассмотрим теперь следующую последовательность: (/„Е 7с[0,1]; п Е 14). Пусть /„— функция, равная единице всюду на [О, 1), кроме точек, выбрасываемых на первых и шагах интервалов, на которых она полагается равной нулю.

Легко проверить, что эта последовательность фундаментальна в смысле метрики (6). Если бы некоторая функция ЗО ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) (' Е ')с[0, Ц была пределом этой последовательности, то у должна была бы почти во всех точках отрезка [О, Ц совпадать с характеристической функцией множества К. Тогда ~ имела бы разрывы во всех точках множества К.

Но поскольку К не имеет меру нуль, из критерия Лебега можно было бы заключить, что ~ ф Я.[0, Ц. Значит, н.[а, Ь] с метрикой (6) не является полным метрическим пространством. > 2. Пополнение метрического пространства Пример 7. Вернемся вновь на действительную ось и рассмотрим множество Я рациональных чисел с метрикой, индуцированной стандартной метрикой на Я. Ясно, что последовательность рациональных чисел, сходящаяся в )к к ~Г2, фундаментальна, но не имеет предела в Я, т.е. Я с указанной метрикой не является полным пространством. Вместе с тем, Я оказывается подпространством полного метрического пространства В„ которое естественно рассматривать как пополнение ф Заметим,что множество Я С К можно было бы рассматривать и как подмножество полного метрического пространства )к", однако называть К~ пополнением Я не представляется целесообразным.

Определение 4. Наименьшее полное метрическое пространство, содержащее данное метрическое пространство (Х,д), назовем пополнением пространства (Х, д). Это интуитивно приемлемое определение требует по меньшей мере двух разъяснений: что такое енаименьшеее и существует ли оно. Очень скоро мы сможем ответить на оба эти вопроса, а пока примем следующее более формальное Определение 5. Если метрическое пространство (Х,д) является подпространством полного метрического пространства (У,д) и множество Х С У всюду плотно в У, то пространство (У, й) называется пополнением метрического пространства (Х, и). Определение 6.

Характеристики

Список файлов книги