1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Если Х содержит хотя бы две точки, то (Х, т), очевидно, не хаусдорфово. Более того, дополнение Х ~ х к точке в этом пространстве не является открытым множеством. Мы будем работать исключительно с хаусдорфовыми пространствами. Определение 7. Множество Е С Х называется всюду плотным в топологическом пространстве (Х, т), если для любой точки х Е Х и любой ее окрестности У(х) пересечение Е й У(х) непусто.
Пример 6. Если в И рассмотреть стандартную топологию, то множество Я рациональных чисел является всюду плотным в К. Аналогично множество Я" рациональных точек К" всюду плотно в К". Можно показать, что в каждом топологическом пространстве имеется всюду плотное множество, мощность которого не превосходит веса этого топологического пространства.
Определение 8, Метрическое пространство, обладающее счетным всюду плотным множеством, называется сепарабельным пространством. Пример 7. Метрическое пространство (й",а) в любой из стандартных метрик является сепарабельным пространством, поскольку множество Я" всюду плотно в нем. 16 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) Пример 8. Метрическое пространство (С((0, 1], К), д) с метрикой, определенной соотношением (6), также сепарабельно, ибо, как следует из равномерной непрерывности функций у Н С([0, Ц, К), график любой такой функции сколь угодно точно можно аппроксимировать конечнозвенной ломаной, вершины которой имеют рациональные координаты.
Множество таких ломаных счетно. Мы будем иметь дело главным образом с сепарабельными пространствами. Отметим теперь, что поскольку определение окрестности точки в топологическом пространстве дословно совпадает с определением окрестности точки в метрическом пространстве, то, естественно, рассмотренные в ~1 понятия внутренней, внешней, граничной, предельной точки множества и понятия замыкания множества, использующие только понятие окрестности, без изменения переносятся на случай произвольного топологического пространства.
Кроме того (как видно из проведенного в гл. Ъ'Н, 2 1 доказательства утверждения 2), справедливо также утверждение о том, что множество в хаусдорфовом топологическом пространстве замкнуто в том и только в том случае, когда оно содержит все свои предельные точки. 2. Подпространство топологического пространства. Пусть (Х, тх) — топологическое пространство, а У вЂ” подмножество в Х.
Топология тх позволяет определить следующую топологию ту в У, называемую индуиированной или относительной топологией в У С Х. Открытым в У назовем любое множество Су вида Су = У Г) Сх, где Сх — множество, открытое в Х. Нетрудно проверить, что возникающая система ту подмножеств У удовлетворяет аксиомам открытых множеств топологического пространства. Определение открытых в У множеств Су, как видно, согласуется с тем, которое мы получили в п. 3 предыдущего параграфа в случае, когда У было подпространством метрического пространства Х. Определение 9. Подмножество У с Х топологического пространства (Х, т) с индуцированной в У топологией ту называется подпространством топологичесного пространства (Х, т). 12. ТО110ЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО 17 Ясно, что множество, открытое в (1; «Т), уже не обязано быть открытым в (Х, тх). 3. Прямое произведение топологических пространств.
Если (Х1, т1) и (Хэ, тэ) — два топологических пространства с системами т1 = = (С1), тг = (Сз? открытых множеств, то в Х1 х Х«можно ввести топологию, считая ее базой всевозможные множества вида С, х Сз. Определение 10. Топологическое пространство (Х1 х Х«, т, х тз), базу топологии которого составляют множества вида С, х Сэ, где С;— открытое множество в топологическом пространстве (Х„т;), «' = 1,2, называется прямым проиэеедекаем топологических пространств (Хы т1 ), (Хз, тз).
Пример 9. Если К = 1«1 и л«~ рассматривать со стандартной топологией, то, как видно, 1«з является прямым произведением 1«1 х 1«1, ибо всякое открытое множество в )кз можно получить, например,как объединение «квадратных» окрестностей всех его точек. Квадраты же (со сторонами, параллельными координатным осям) являются прямым произведением интервалов — открытых в К множеств. Следует обратить внимание на то, что множества вида С1 х Сз, где С1 Е т, и Сз Е тз, образуют лишь базу топологии, а не все открытые множества прямого произведения топологических пространств.
Задачи и упражнения 1. Проверьте, что если (Х, д) — метрическое пространство, то (Х, — -~) « †то метрическое пространство, причем метрики д и — 2 индуцируют л Т-~- Ы на Х одну и ту же топологию. (См. также задачу 1 из предыдущего параграфа.) 2. а) В множестве М натуральных чисел окрестностью числа и е М назовем арифметическую прогрессию с разностью д, взаимно простой с п. Является ли возникающее при этом топологическое пространство хаусдорфовым? Ь) Какова топология И как подмножества К действительных чисел, взятых со стандартной топологией? с) Опишите все открытые подмножества В.
3. Если на одном и том же множестве заданы две топологии т» и тю то гояорят, что топология т«сильнее топологии т„если т» С тю т. е. в тю кроме 18 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) открытых множеств, составляющих систему ты содержатся еще некоторые множества, не вошедшие в тм а) Сравнимы ли две топологии на М, рассмотренные в предыдущей задаче? Ь) Если на множестве С[О, Ц непрерывных вещественнозначных функций, определенных на отрезке [О, 1], ввести метрику сначала соотношением (6) из 8 1, а затем соотношением (7) из того же параграфа, то на С[а, Ь] возникнут, вообще говоря, две топологии.
Сравнимы ли они? 4. а) Докажите подробно, что рассмотренное в примере 4 пространство ростков непрерывных функций не хаусдорфово. Ь) Объясните, почему это топологическое пространство не метризуемо. с) Каков вес этого пространства? 5. а) Сформулируйте аксиомы топологического пространства на языке замкнутых множеств. Ь) Проверьте, что повторное замыкание множества совпадает с его замыканием. с) Проверьте, что граница любого множества является множеством замкнутым. д) Покажите, что если У замкнуто, а С открыто в (Х, т), то множество С '1 У' открыто в (Х, т). е) Если (У, тг) — подпространство топологического пространства (Х, тх), а множество Е таково, что Е С У С Х и Е 6 тх, то Е 6 тг.
6. Топологическое пространство (Х, т), в котором любая точка является замкнутым множеством, называют таопологичссним простаранставом в сильном смысле или т1-нростпранством. Проверьте, что а) всякое хаусдорфово пространство является тгпространством (отчасти поэтому хаусдорфовы пространства называют тг-простпранспьва и); Ь) не всякое тмпространство является тг-пространством (см. пример 4); с) двоеточие Х = (а,Ь) с системой открытых множеств т = (~г~,Х) не является тюпространством; Й) в тыпространстве множество У замкнуто тогда и только тогда, когда У содержит все свои предельные точки.
7. а) Докажите, что в любом топологическом пространстве имеется всюду плотное множество, мощность которого не превосходит веса пространства. Ь) Проверьте сепарабельность метрических пространств С[а, Ь], СОВ [а, Ь], ??ч [а, Ь], Я [а, Ь] (формулы соответствующих метрик см. в 8 1). с) Проверьте, что если на множестве ограниченных вещественнозначных функций, определенных на отрезке [а, Ь], ввести метрику соотношением (6) из 8 1, то получится не сепарабельное метрическое пространство. 13.
КОМПАКТЫ 19 3 3. Компакты 1. Определение и обпдие свойства компакта Определение 1. Множество К в топологическом пространстве (Х, т) называется компактом (бикомпактом1)), если из любого покрытия К множествами, открытыми в Х, можно выделить конечное покрытие К. Пример 1. Отрезок [а,Ь] множества И действительных чисел, рассматриваемого в стандартной топологии, является компактом, что немедленно вытекает из доказанной в гл. П, 9 1, п. 3 леммы о возможности выделить конечное покрытие из покрытия отрезка интервалами.
И вообще т-мерный промежуток 1"' = (х Е к"' ~ а' < х' < Ь',г' = = 1,..., т) в Ж™ является компактом, что было установлено в гл. ЧП, '91, п.3. В гл. УП, 9 1, п. 3 было доказано также, что подмножество И является компактом в том и только в том случае, когда оно замкнуто и ограничено. В отличие от относительных свойств множества быть открытым или замкнутым в топологическом пространстве, свойство множества быть компактом абсолютно в том смысле, что не зависит от объемлющего пространства. Точнее, имеет место следующее Утверждение 1. Подмножество К топологического пространства (Х, т) является компактом в Х тогда и только тогда, когда К является компактом в себе как в топологическом пространстве с индуиированноб из (Х, т) топологией.
~ Сформулированное утверждение следует из определения компакта и того обстоятельства, что каждое множество Ск, открытое в К, получается пересечением К с некоторым множеством Сх, открытым вХ. ~ Таким образом, если (Х, тх) и (У,ту) — два топологических пространства, индуцирующих одинаковую топологию на множестве К С С (Х О У), то К одновременно компактно или нет как в Х, так и в У. Пример 2. Пусть Н вЂ” стандартная метрика на К, а 1 = 1х Е К ~ и То понятие компакта, которое вводит определение 1, в топологии иногда именуют бикомпактом. 20 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) 0 < х < Ц вЂ” единичный интервал в К. Метрическое пространство (1, д) замкнуто (в себе) и ограничено, однако это не компакт, ибо, например, оно не является компактом в К.
Установим теперь важнейшие свойства компактов. Лемма 1 (о замкнутости компакта). Если К вЂ” компакт в хаусдорфовом пространстве (Х, т), то К вЂ” замкнутое подмножество Х. м В силу критерия замкнутости множества достаточно проверить, что любая предельная для К точка хо Е Х принадлежит К. Пусть хо ~ К.
Для каждой точки х Е К построим такую ее открытую окрестность С(х), что хв обладает окрестностью, не пересекающейся с С(х). Совокупность С(х), х Е К, всех таких окрестностей образует открытое покрытие К, из которого выделяется конечное покрытие С(х1),..., С(х„). Если теперь 0;(хо) — такая окрестность точки хо, что С(х;) П 0,(хв) = к1, то множество 0(х) = П 0,(хо) также 1=1 является окрестностью точки хв, причем С(х;) П 0(хо) = Е1 при любом 1 = 1,..., и. Но это означает, что К Г1 0(хо) = О и хв не может быть предельной точкой для К. ь Лемма 2 (о вложенных компактах). Если К1 З К2 Э К„~ ... — последовательность непустых вложенных компактов хаусдорфова пространства, то пересечение П К, непусто.
1=1 < В силу леммы 1 множества С, = К1 '1 К„1 = 1,...,п,... открыты в К1. Если пересечение П К; пусто, то последовательность 1=1 С1 С С2 С ... С С„С... в совокупности образует покрытие К1. Извлекая из него конечное покрытие, найдем, что некоторый элемент С, последовательности уже покрывает К1. Но по условию К,„= К1 '1С Полученное противоречие завершает доказательство леммы 2. > Лемма 3 (о замкнутом подмножествекомпакта).
3 мкнутое подмножество с компакта К само лвллетсл компактом. ~ Пусть (С, о Е А) — открытое покрытие с'. Добавив к нему открытое множество С = К 1.с', получим открытое покрытие всего компакта К. Из этого покрытия можно извлечь конечное покрытие К.
13. КОМПАКТЫ 21 Поскольку С й У = ю, то, значит, иэ системы (С„, о е А) выделяется конечное покрытие множества У'. ~ 2. Метрические компакты. Далее мы установим некоторые свойства метрических компактов, т. е. метрических пространств, являющихся компактами, относительно топологии, индуцированной метрикой. Определение 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
