1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Потенциальные поля 1. Потенциал векторного поля (339). 2. Необходимое условие потенциальности (340). 3. Критерий потенциальности векторного поля (341). 4. Топологическая структура области и потенциал (345). 5. Векторный потенциал. Точные и замкнутые формы (348). Задачи и упражнения 3 4. Примеры приложений 1.
Уравнение теплопроводности (356). 2. Уравнение неразрывности (358). 3. Основные уравнения динамики сплошной среды (360). 4. Волновое уравнение (362). Задачи и упражнения 325 336 339 351 355 364 *Глава Х.У. Интегрирование дифференциальных форм на многообразиях 367 31. Некоторые напоминания из линейной алгебры ........... 367 1.
Алгебра форм (367). 2. Алгебра кососимметрических форм (368). 3. Линейные отображения линейных пространств и сопряженные отображения сопряженных пространств (372). Задачи и упражнения 374 3 2. Многообразие 375 1. Определение многообразия (375). 2. Гладкие многообразия и гладкие отображения (381). 3. Ориентация многообразия и его края (385).
4. Разбиение единицы и реализация многообразий в виде поверхностей в И" (390). Задачи и упражнения 394 3 3. Дифференциальные формы и их интегрирование на многообразиях . 397 1. Касательное пространство к многообразию в точке (397). 2. Дифференциальная форма на многообразии (401). 3. Внешний дифференциал (404).
4. Интеграл от формы по многообразию (405). 5. Формула Стокса (407). Задачи и упражнения 3 4. Замкнутые и точные формы на многообразии 1. Теорема Пуанкаре (415). 2. Гомологии и когомологии (419). Задачи и упражнения ................... 425 ОГЛАВЛЕНИЕ ЧП1 Глава ХЧ1. Равномерная сходимость и основные операции анализа над рядами и семействами функций............ 428 437 438 476 Глава ХЧ11. Интегралы, зависящие от параметра. 479 3 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра......... 1.
Понятие интеграла, зависящего от параметра (479). 2. Непрерывность интеграла, зависящего от параметра (480). 3. Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра (482). 4. Интегрирование интеграла, зависящего от параметра (486). Задачи и упражнения 3 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 1. Равномерная сходимость несобственного интеграла относительно параметра (489). 2. Предельный переход под знаком несобственного интеграла и непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра (499).
3. Дифференцирование несобственного интеграла по параметру (502). 4. Интегрирование несобственного интеграла по параметру (505). Задачи и упражнения 479 487 489 511 3 1. Поточечная и равномерная сходимость ................ 1. Поточечная сходимость (428). 2. Постановка основных вопросов (429). 3. Сходимость и равномерная сходимость семейства функций, зависящих от параметра (432). 4. Критерий Коши равномерной сходи мости (436) .
Задачи и упражнения 3 2. Равномерная сходимость рядов функций............... 1. Основные определения и критерий равномерной сходимости ряда (438). 2. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда (441). 3. Признак Абеля — Дирихле (443). Задачи и упражнения 448 З 3. Функциональные свойства предельной функции .......... 449 1. Конкретизация задачи (449). 2. Условия коммутирования двух предельных переходов (450). 3. Непрерывность и предельный переход (452). 4. Интегрирование и предельный переход (456). 5.
Дифференцирование и предельный переход (458). Задачи и упражнения 464 я 3 4. Компактные и плотные подмножества пространства непрерывных функций 468 1. Теорема Арцела — Асколи (468). 2.Метрическое пространство С(К, 1') (471). 3. Теорема Стоуна (473). Задачи и упражнения ОГЛАВЛЕНИЕ 1Х ~ 3. Эйлеровы интегралы 1. Бета-функция (515). 2. Гамма-функция (517). 3.
Связь между функциями В и Г (521). 4. Некоторые примеры (522). Задачи и упражнения 515 524 ~ 4. Свертка функций и начальные сведения об обобщенных функциях 1. Свертка в физических задачах (наводящие соображения) (528). 2. Некоторые общие свойства свертки (531). 3. Дельтаобразные семейства функций и аппроксимационная теорема Вейерштрасса (535). я 4. Начальные представления о распределениях (542). Задачи и упражнения 528 554 ~ 5. Кратные интегралы, зависящие от параметра 1. Собственные кратные интегралы, зависящие от параметра (561). 2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра (562).
3. Несобственные интегралы с переменной особенностью (564). я 4. Свертка, фундаментальное решение и обобщенные функции в многомерном случае (569). Задачи и упражнения 561 582 Глава ХЧ111. Ряд Фурье и преобразование Фурье 587 з 1. Основные общие представления, связанные с понятием ряда Фурье 1. Ортогональные системы функций (587). 2.
Козффициенты Фурье и ряд Фурье (595). *3. Об одном важном источнике ортогональных систем функций в анализе (608). Задачи и упражнения 587 613 ~ 2. Тригонометрический ряд Фурье 1. Основные виды сходимости классического ряда Фурье (620). 2. Исследование поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье (625).
3. Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов Фурье (637). 4. Полнота тригонометрической системы (643). Задачи и упражнения 620 651 660 3 3. Преобразование Фурье .. 1. Представление функции интегралом Фурье (660). 2. Взаимосвязь дифференциальных и асимптотических свойств функции и ее преобразования Фурье (676). 3. Важнейшие аппаратные свойства преобразования Фурье (679). 4. Примеры приложений (686). Задачи и упражнения 692 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава Х1Х. Асимптотические разложения. 700 31. Асимптотнческая формула и асимптотический ряд........ 703 1.
Основные определения (703). 2. Общие сведения об асимптотических рядах (709). 3. Степенные асимптотические ряды (714). Задачи и упражнения 717 ~ 2. Асимптотика интегралов (метод Лапласа).............. 720 1. Идея метода Лапласа 1720). 2. Принцип локализации для интеграла Лапласа (724). 3. Канонические интегралы и их асимптотика (727). 4.
Главный член асимптотики интеграла Лапласа (731). *5. Асимптотические разложения интегралов Лапласа (734). Задачи и упражнения 747 Некоторые вопросы и задачи коллоквиумов 755 760 Вопросы к экзамену Экзаменационное задание (математический анализ, третий семестр) 764 Промежуточное контрольное задание (математический анализ, четвертый семестр) 765 Дополнение 1. Ряд как инструмент (вводная лекция) 766 Дополнение 2. Замена переменных в кратном интеграле (вывод и первое обсуждение формулы замены переменных)... 774 Д о п о л н е и и е 3. Многомернаа геометрия и функции очень многих переменных (концентрация мер и законы больших чисел) .
782 Литература 792 Указатель основных обозначений 797 Предметный указатель 800 Указатель имен 815 ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ От своего имени и от имени будущих читателей я благодарю всех, кто нашел возможность, живя в разных странах, сообщить в издательство или мне лично о погрешностях (опечатках, ошибках, пропусках), замеченных в русском, английском, немецком или китайском изданиях этого учебника. Замечания учтены и соответствующая правка внесена в текст предлагаемого шестого русского издания. Как выяснилось, книга пригодилась и физикам — очень этому рад. Во всяком случае я действительно стремился сопровождать формальную теорию содержательными примерами ее применения как внутри математики, так и вне нее.
Шестое издание содержит ряд дополнений, которые, возможно, будут полезны студентам и преподавателям. Во-первых, это некоторые материалы реальных лекций (например записи двух вводных обзорных лекций первого и третьего семестров) и, во-вторых, это математические сведения (порой актуальные, например связь многомерной геометрии и теории вероятностей), примыкающие к основному предмету учебника. Москва, 17 октября 2011 г. В. Зорич ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ, ТРЕТЬЕМУ И ПЯТОМУ ИЗДАНИЯМ В пятом издании исправлены замеченные погрешности четвертого. В.
Зорич Москва, 2006 год Третье издание отличается от второго лишь локальной правкой (хотя в одном случае она состояла даже в исправлении доказательства), а также добавлением нескольких, как мне представляется, полезных задач. В.
Зорич Москва, 2001 год Отличия второго издания этой книги от первого, помимо того, что исправлены замеченные опечатки первого издания, в основных чертах состоят в следующем. Заново изложены (надеюсь, к лучшему) некоторые разделы отдельных тем (например, это коснулось рядов и преобразований Фурье). Даны более прозрачные доказательства отдельных важных теорем (например, общей теоремы о конечном приращении). Включены некоторые новые примеры приложений и новые содержательные задачи, примыкающие к соответствующим разделам теории и порой заметно расширяющие ее.
Приведены экзаменационные вопросы, а также вопросы и задачи коллоквиумов. Расширен список дополнительной литературы. Дальнейшие сведения о материале и некоторых особенностях этой второй части курса даны ниже в предисловии к первому изданию. В. Зорич Москва, 1998 год ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ' ИЗДАНИК) В предисловии к первой части была дана достаточно подробная характеристика курса в целом, поэтому я ограничусь здесь замечаниями по содержанию лишь этой второй его части.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
