1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Метрическое пространство (Хм с~1) называется изометрииным метрическому пространству (Хз, дз), если существует биективное отображение у: Х1 -+ Х1 такое, что для любых точек а, Ь из Х~ справедливо равенство с)з(((а), у(Ь)) = д1(а, Ь). (Отображение у: Х1 -+ Хз называют в этом случае изометриеб.) 15. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Ясно, что введенное отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е.
является отношением эквивалентности между метрическими пространствами. При изучении свойств метрических пространств мы изучаем не индивидуальное пространство, а свойства сразу всех изометричных ему пространств. По этой причине изометричные пространства можно не различать. Пример 8. Две конгруэнтные фигуры на плоскости как метрические пространства изометричны, поэтому при изучении метрических свойств фигур мы вовсе отвлекаемся, например, от расположения фигуры в плоскости, отождествляя между собой все конгруэнтные фигуры. Приняв соглашение об отождествлении изометричных пространств, можно показать, что если пополнение метрического пространства и существует, то оно единственно.
Проверим предварительно, что справедлива Лемма. Для любой четверки точек а, 6, и, и метрического пространства (Х,а) имеет место неравенство (7) ~а(а, 6) — а(и, и) ~ < а(а, и) + а(Ь, и). < В силу неравенства треугольника Й(а,Ь) < д(а, и) + а(и,и) + а(Ь,о). Ввиду равноправности пар а, Ь и и, и, отсюда следует (7). ь Теперь докажем утверждение 1.
Если метрические пространства (Ум д1 ), (Уг,дг) являются пополнениями одного и того же пространства (Х,а), то они изометричны. ~ Изометрию 7"; У1 — + Уг построим следующим образом. Для х Е Х положим ~(х) = х. Тогда дг(~(х1), ~(хг)) = дЩх1), ~(хг)) = д(хмхг) = = д1(хм хг) при хм хг Е Х. Если у1 Е У1 ~ Х, то у1 — предельнзл точка для Х, так как Х всюду плотно в Уь Пусть (х„; и б г1) — сходящаяся к у1 в смысле метрики д1 последовательность точек Х.
Эта последовательность фундаментальна в смысле д~. Но поскольку на Х метрики д1 и дг совпадают с д, эта последовательность фундаментальна также и в (Уг, дг). Последнее пространство полное, поэтому эта последовательность имеет в нем предел уг Е У. Стандартным образом проверяется, 32 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБП)АЯ ТЕОРИЯ) что такой предел единственный.
Положим теперь 1(у1) = у2. Поскольку любая точка у2 Е У2 '1 Х, так же как и любая точка у1 б У1 '1Х, является пределом некоторой фундаментальной последовательности точек из Х, то построенное отображение 1; У1 — ~ У2 сюръективно. Проверим теперь, что для любой пары точек у', у" ,из У1 выполнено равенство с(2ШУ1) У(У1')) = с(1(У1 У1'). (8) Если у'„у" лежат в Х, то зто очевидно. В общем же случае возьмем две последовательности (х'„; п е И), (х'„', и е 1Ч) точек из Х, сходящиеся соответственно к у', и у". Из неравенства (7) вытекает, что д1(уму~1') = 1пп д1(х'„,х'„'), или, что то же самое, с)1(у'„у1') = 1пп д(х'„,х'„').
(9) По построению зти же последовательности сходятся к у2 — — у(у') и У~2 — — 1(у") соответственно в пространстве (У2, д2). Значит, д2(У2 у2) 11ш 4х х ). (10) Сравнивая соотношения (9) и (10), получаем равенство (8).
Это равенство заодно устанавливает инъективность нашего отображения 1: У1 -+ У2 и тем самым завершает доказательство того, что 1— изометрия. я В определении 5 пополнения (У,д) метрического пространства (Х, д) мы требовали, чтобы (Х, д) было подпространством (У, д), всюду плотным в (У, д). С точки зрения отождествления изометричных пространств можно было бы теперь расширить представление о пополнении и принять следующее Определение 5'. Полное метрическое пространство (У, с(Р) называется пополнением метрического пространства (Х, дх), если в (У, дР) имеется всюду плотное подпространство, изометричное (Х, дх). Докажем теперь Утверждение 2.
Каждое метрическое пространство имеет пополнение. 33 15. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ~ Если исходное пространство само является полным, то оно само является своим пополнением. Идею построения пополнения неполного метрического пространства (Х, Нх) мы уже, по существу, продемонстрировали, доказывая утверждение 1. Рассмотрим множество фундаментальных последовательностей в пространстве (Х,дх). Две такие последовательности (х„';и Е 1Ч), (х„"; п Е Ы) назовем энвивалентпными или конфинальными, если дх(х'„, х'„') -+ 0 при п -+ оо. Легко видеть, что отношение конфинальности действительно является отношением эквивалентности.
Множество классов эквивалентных фундаментальных последовательностей обозначим через Я. Введем в Я метрику по следующему правилу. Если в' и в — элементы Я, а (х'„; п Е М) и (х'„', п Е 1Ч) — некоторые последовательности из классов в' и в" соответственно, то положим 4е',ео) = 1пп 4х(х'„,х ). о — ~со Из неравенства (7) следует, что это определение корректно: написанный справа предел существует (по критерию Коши для числовой последовательности) и не зависит от индивидуального выбора последовательностей (х'„;и Е 1'1), (х'„';п Е Ы) из в', е".
Функция д(в',в") удовлетворяет всем аксиомам метрики. Полученное метрическое пространство (Я,д) и является искомым пополнением пространства (Х, дх ). В самом деле, (Х, е1х ) изометрично подпространству (Ях,д) пространства (Я,Й), состоящему из тех классов эквивалентных фундаментальных последовательностей, в каждом из которых имеется постоянная последовательность (х„= х е Х;п е Р11.
Такой класс в е Я естественно отождествить с точкой х е Х. Получающееся при этом отображение 7": (Х, дх) + (Ях, д), очевидно, изометрично. Остается проверить, что (ох, й) всюду плотно в (Я, е() и что (Я, д)— полное метрическое пространство. Проверим сначала плотность (Ях, д) в (Я, д).
Пусть в — произвольный элемент 5, а (х„;и Е Я) †фундаментальн последовательность из (Х,дх), принадлежащая этому классу в Е Я. Взяв ~„ = у(х„), и Е е М, мы получаем последовательность (Д„;п 6 1Ч) точек пространства (Ях, д), которая, как видно из (11), имеет своим пределом именно в Е Я. Докажем теперь полноту пространства (5, е1). Пусть (в„; п е И)— произвольная фундаментальная последовательность пространства 34 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) (о,д). Для каждого и Е И подберем элемент ~„из (Вх,в() так, что д(в„,(„) ( 1/и.
Тогда последовательность Я„;и Е И), так же как и последовательность (в„;и е И), окажется фундаментальной. Но в таком случае будет фундаментальной в (Х, т(х) и последовательность (х„= у ~((„);п Е И). Последовательность (х„;и е И) определяет некоторый элемент в Е Я, к которому в силу (11) и сходится данная последовательность (в„;и Е И3. Ь Замечание 1. После доказанных утверждений 1 и 2 становится понятно, что пополнение метрического пространства в смысле определения 5' действительно является наименьшим полным пространством, содержащим (с точностью до изометрии) данное метрическое пространство. Этим мы уточнили и оправдали исходное определение 4. Замечание 2. Построение множества )к действительных чисел, исходя из множества Я рациональных чисел, можно было бы провести в полном соответствии с проведенным выше в общем виде построением пополнения метрического пространства.
Именно так переход от Я к К был осуществлен Кантором. Замечание 3. В примере 6 мы показали, что пространство тс[а, Ь] интегрируемых по Риману функций не является полным в естественной интегральной метрике. Его пополнением является важное пространство ,С[а, Ь] функций, интегрируемых по Лебегу. Задачи н упражнения 1. а) Докажите следующую лемму о вложенных шарах.
Пусть (Х,д) — метрическое простаранство и В(хмтт) Э ... Э В(х„,т ) Э последовательность э мкнутпых вложенных шаров в Х, радиусы котаорых стремлтсл к нулю. Пространство (Х, д) полно тогда и только тогда, когда длл любой такой последовательностпи существует, и притом единственнал, точка, принадлежащал всем шарам этой последовательности. Ь) Покажите, что если из условий сформулированной выше леммы исключить требование т„ -+ 0 при п -ь оо,то пересечение последовательности вложенных шаров может оказаться пустым даже в полном пространстве. 2. а) Множество Е с Х метрического пространства (Х,д) называется нигде не плотным в Х, если оно не плотно ни в одном шаре, т.е.
если для любого шара В(х, т) найдется другой шар В(хт,тт) с В(х, т), свободный от точек множества Е. Множество Е называется множеством первой катаегории в Х, если его можно представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств. 16. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 35 Множество, не являющееся множеством первой категории, называют множеством еторой иатееории в Х. Покажите, что полное метрическое пространство есть множество второи категории (в себе). Ь) Покажите, что если функция ~ В С1 1(а,6] такова, чтецах В (а,6) зл 6 М Чт ) и (~1~1(х) = О), то функция 1 — многочлен.
З 6. Непрерывные отображения топологических пространств Этот и следующий параграфы содержат наиболее важные с точки зрения анализа результаты настоящей главы. Основные понятия и утверждения, которые здесь изложены, являются естественным, а иногда просто дословным переносом уже хорошо известных нам понятий и утверждений на случай отображений произвольных топологических или метрических пространств. Для многих фактов при этом оказываются почти идентичными с уже рассмотренными не только формулировки, но и доказательства, которые в этих случаях, разумеется, опускаются со ссылкой на соответствующие утверждения, изложенные подробно ранее. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
