1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 13
Текст из файла (страница 13)
е. метрика инвариантна относительно переносов, и д(Лх1, Лхг) = //Лх1 — Лхг)/ = !!Л(х1 — хг)// = /Л! (/хд — хг!! = !Л!Н(хд, хг), т. е. она однородна. Норма вектора всегда неотрицательна и, как видно из а), равна нулю только для нулевого вектора. ~ Действительно, для любого х Е Х в силу с) и с учетом а) и Ь) получаем ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Определение 4.
Если линейное нормированное пространство является полным как метрическое пространство относительно естественной метрики (3), то оно называется полным нормированным пространством или банаховым пространством. Пример 5. Если для вектора х = (х1,...,х") е К" при р > 1 положить ()х))р .— — (~~ )х'(") ', (4) то, как следует из неравенства Минковского, мы получим норму в Я". Пространство К", наделенное этой нормой, будем обозначать символом 2~.
Можно проверить, что 'ах)(„2 < ()х((р„если 1 < р1 < рг, (5) и что 5х))р -+ тпахЦх (,..., (х" 1) (6) при р -+ +оо. Таким образом, естественно положить '8х5,,:= тпах()х ),..., (х" Ц. (7) Тогда из (4) и (5) следует, что ((х)! < ((х)(р < (Щ < п((х)) при р > 1. (8) Из этого неравенства, как, впрочем, и из самого определения (4) нормы 5Щ, видно, что К,", является полным нормированным пространством. где /!хД есть норма вектора х, е Х; в пространстве Х,. Естественно, неравенства (8) и в этом случае остаются в силе.
Пример 6. Предыдущий пример полезно обобщить следующим образом. Если Х = Х1 х... х Х„есть прямое произведение нормированных пространств, то в Х можно ввести норму вектора х = (хг,..., х„), положив 51. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО 55 В дальнейшем, когда рассматривается прямое произведение нормированных пространств, всегда, если нет специальных оговорок, предполагается, что в нем норма определена в соответствии с формулой (9) (включая случай р = +ос). Пример Т. Пусть р ) 1.
Обозначим через 1р множество таких последовательностей х = (х',..., х",... ) действительных или комплексных чисел, что РЯд ~, ]х" ]Р сходитсЯ, и длЯ х Е 1р положим в=1 ОО т ]]х]]р .— — ( ~ ]х" ]р) (10) Пример 8. В линейном пространстве С[а, 6] числовых функций, непрерывных на отрезке [а, Ь], чаще всего рассматривается следующая норма: ]]П:= щах [1(х)]. (11) Проверку аксиом нормы мы оставляем читателю. Заметим, что эта норма порождает уже знакомую нам метрику (см. гл. 1Х, 5 5) на С[а, Ь] и нам известно, что возникающее при этом метрическое пространство полно.
Таким образом, линейное пространство С[а, 6] с нормой (11) является банаховым. Пример 9. В С[а, Ь] можно ввести и иную норму (12) которая сводится к (11) при р — + +со. Легко видеть (см., например, гл. 1Х, 5 5), что при 1 < р < +ос пространство С[а, Ъ] с нормой (12) не является полным. Используя неравенство Минковского, легко видеть, что 1р является линейным нормированным пространством относительно стандартных линейных операций и нормы (10). Это бесконечномерное пространство, по отношению к которому Я,", является линейным подпространством конечной размерности. Для нормы (10) справедливы все неравенства (8), кроме последнего. Нетрудно проверить, что 1р является банаховым пространством. ГЛ.
Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3. Скалярное произведение в векторном пространстве. Важный класс нормированных пространств составляют пространства со скалярным произведением. Они являются прямым обобщением евклидовых пространств. Напомним Определение 5. Говорят, что в линейном (над полем комплекс- ных чисел) пространстве Х задана эрмитова форма, если задано ото- бражение (, ): Х х Х -+ С, обладающее свойствами: а) (х1, хз) = (хз, х1), Ь) (Лх1, Х2) = Л(х1, х2), с) (хз+хз,хз) = (х„хз)+ (хз,хз), где х1, х2, хз — векторы из Х, а Л Е С. Из а), Ь), с) следует, например, что (Х1, Лхз) = (Лхз, х1) = Л(х2, х1) = Л (Х2, х1) = Л(х1, Х2); (Х1, Х2 + ХЗ) = (Х2 + ХЗ, Х1) = (Х2) Х1) + (ХЗ, Х1) = (Х1, Х2) + (Х1, ХЗ); (х,х) = (х,х), т.е.
(х,х) — действительное число. Эрмитова форма называется положительной, если Й) (х,х) > О, и невырожденной, если е) (х,х) =О ло х=О. Если Х вЂ” линейное пространство над полем вещественных чисел, то, разумеется, надо рассматривать веществен нов начную форму (Х1,х2). В этом случае вместо а) можно записать просто (Х1,Х2) = = (хз, х1), что означает симметричность формы относительно векторов-аргументов, х1, хз. Примером такой формы может служить знакомое из аналитической геометрии скалярное произведение векторов трехмерного евклидова пространства. В связи с этой аналогией принято Определение 6. Невырожденную положительную эрмитову форму в линейном пространстве называют скалярным произведением в этом пространстве. Пример 10.
В К" скалярное произведение векторов х 11. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО 67 = (х',..., х"), у = (у~,..., у") можно определить, положив в (х, у):= ~~~ х'у', а в С" — положив (14) Пример 11. В 1г скалярное произведение векторов х, у можно определить, полагая (х, у):= 2 х'у'.
Написанный здесь ряд сходится абсолютно, поскольку 2 ~~~~ ~(х~у1! < ~~> )хз)г + ~~>~ ~~у1)з Пример 12. В С[а, Ь] скалярное произведение можно определить формулой ь (15) (у, д):= (у д)(х) дх. Из свойств интеграла легко следует, что все требования к скалярному произведению в этом случае выполнены. Для скалярного произведения справедливо следующее важное неравенство Коши - Буняковского: )(х, у)1 < (х, х) .
(у, у), (16) где равенство реализуется тогда и только тогда, когда векторы х и у коллинеарны. ~ Действительно, пусть а = (х,х), Ь = (х, у) и с = (у, у). Но условию а > О и с > О. Если с > О, то из О < (х+ Лу,х+ Лу) = а+ ЬЛ+ ЬЛ+ сЛЛ ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ при Л = — — получим Ь ЬЬ ЬЬ ЬЬ 0<а — — — — +— с с с или 0 < ас — Ь6 = ас — )6|~, что совпадает с (16). Аналогично рассматривается случай а ) О. Если же а = с = О, то, подставляя в (17) Л = — 6, получим 0 < < — ЬЬ вЂ” ЬЬ = — 2(6|2, т. е. Ь = О, и неравенство (16) опять справедливо.
Если х и у не коллинеарны, то 0 < (х+ Лу,х+ Лу) и, следовательно, неравенство (16) в этом случае строгое. Если же х и у коллинеарны, в этом случае оно, как легко проверить, переходит в равенство. ь Линейное пространство со скалярным произведением обладает естественной нормой ((х)):= ~/(х, х) (18) и метрикой д(х,У):= бх — У(). В самом деле, '6х)! = ~/(х,х) = 0 ~ х = О, поскольку форма (х, у) невырожденная.
Далее р ~~ =,дх*',~*> = ~Я|э, ~=р~ды, 7= р~~~*~~ Проверим, наконец, неравенство треугольника !! '+ р!! <!И+ Ь11 Нам, таким образом, следует показать, что л т ь. ~ ~| <;% ) ~ лю, Ф, Используя неравенство Коши — Буняковского, проверим, что если (х,у) — невырожденная положительная эрмитова форма, то формула (18) действительно определяет норму. Ц 1. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО 59 или после возведения в квадрат и упрощений, что ),у)а)р,*) <2~)),*) )у,у). По (х, у) + (у, х) = (х, у) + (х, у) = 2Не(х, у) < 2~(х, у) ~, и доказываемое неравенство теперь непосредственно следует из нера- венства Коши — Буняковского (16). > Отметим в заключение, что линейные пространства со скалярным произведением в конечномерном случае называют обычно евклидовыми или эрмитовыми, когда полем констант является К или С соответственно.
Если же линейное нормированное пространство бесконечной размерности, то его называют гильбертовым, если оно полно, и предгильбертовым, если оно не полно по отношению к метрике, индуцированной естественной нормой в нем. Задачи н упражнения 1. а) Покажите, что если в линейном пространстве Х задана метрика д(хмхг), трансляционно инвариантная и однородная, то Х можно нормировать, положив ЦхЦ = в(Ю, х). Ь) Проверьте, что норма в линейном пространстве Х является функцией, непрерывной по отношению к той топологии, которая индуцируется естественной метрикой (3).
с) Докажите, что если Х вЂ” конечномерное линейное пространство, а ЦхЦ и ЦхЦ' — две нормы на Х, то всегда можно найти положительные числа М, А) такие, что для любого вектора х е Х выполнено (19) МЦхЦ ( ЦхЦ ( А)ЦхЦ. д) На примере норм ЦхЦ~ и ЦхЦ в пространстве 1 убедитесь, что предыдущее неравенство в бесконечномерных пространствах, вообще говоря, не выполняется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
