1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Основной материал настоящего тома составляют, с одной стороны, кратные, криволинейные и поверхностные интегралы, доведенные до общей формулы Стокса и примеров ее приложений, а с другой стороны, аппарат рядов и интегралов, зависящих от параметра, включающий ряды Фурье, преобразование Фурье и представления об асимптотических разложениях. Таким образом, зта часть П в основном соответствует программе второго года обучения на математических факультетах университетов.
Чтобы не закреплять жестко порядок следования указанных двух больших тем по семестрам, я изложил их практически независимо. Главы 1Х и Х, с которых начинается эта книга, в сжатом и общем виде воспроизводят по существу почти все самое ценное, что было получено в первой части в отношении непрерывных и дифференцируемых функций.
Они отмечены звездочкой и написаны как дополнение к первой части. В нем, однако, содержится много таких понятий, которые уже сейчас фигурируют в любом изложении анализа математикам. Наличие этих двух глав делает вторую книгу формально почти независимой от первой при условии, что читатель достаточно подготовлен, чтобы при чтении этих двух глав обойтись без многочисленные примеров и наводящих соображений, которые в первой части предшествовали излагаемому здесь формализму.
Основной новый материал книги, посвященный интегральному ис- ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Х1Ъ" числению функций многих переменных, начинается с главы Х1, с которой, собственно, без потери связности восприятия после первой части можно читать эту вторую часть курса. Нри изложении теории криволинейных и поверхностных интегралов разъясняется и используется язык дифференциальных форм и сначала на элементарном материале вводятся все основные геометрические понятия и аналитические конструкции, которые потом составляют лестницу абстрактных определений, ведущую к общей формуле Стокса. Такому итоговому изложению интегрирования дифференциальных форм на многообразиях посвящена глава Х ч', которую я рассматриваю как весьма желательное систематизирующее дополнение к изложенному и рззъясненному на конкретных объектах в обязательных для изучения главах Х1 — Х1Ъ'.
В разделе, относящемся к рядам и интегралам, зависящим от параметра, наряду с традиционным материалом даны (гл. Х1Х) начальные сведения об асимптотических рядах и асимптотике интегралов, поскольку это, несомненно, полезный, благодаря своей эффективности, аппарат анализа. Для удобства ориентировки дополнительный материал или разделы, которые при первом чтении можно опустить, помечены звездочкой. Нумерация глав и рисунков этой книги продолжает нумерацию уже вышедшей из печати первой части. Биографические сведения здесь даются только о тех ученых, которые не упоминались в первой части, Как и прежде, для удобства читателя и сокращения текста начало и конец доказательства отмечаются знаками ~ и ~ соответственно, а когда это удобно, определения вводятся специальными символами:= или =: (равенства по определению), в которых двоеточие ставится со стороны определяемого объекта, Сохраняя традиции части 1, в этой книге много внимания уделено как прозрачности и логической четкости самих математических конструкций, так и демонстрации содержательных естественно-научных приложений развиваемой теории.
В. Зорич Москва, 1982 год в ГЛАВА 1Х НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) В этой главе будут обобщены и изложены с единой точки зрения свойства непрерывных отображений, которые были ранее установлены для числовых функций и отображений типа у": Р" -+ Гс". При этом будет введен ряд простых, но важных понятий, имеющих общематематическое употребление. й 1. Метрическое пространство 1. Определение и примеры Определение 1.
Говорят, что множество Х наделено метрикой или структурой метрического пространства, или что Х есть метрическое пространство, если указана функция а:ХхХ-+В, удовлетворяющая условиям а) й(х~,хг) = 0 ~ х1 = хг, Ь) 4х1, хг) = й(хг, х1) (симметричность), с) й(х~,хз) < а1хмхг) + а(хг, хз) (неРавенство тРеУгольника), где хм хг, хз — произвольные элементы Х. Функцию (1) называют в этом случае метрикой или расстоянием в Х. Таким образом, метрическое пространство есть пара (Х,а), со- стоящая из множества Х и заданной на нем метрики. 2 ГЛ.
1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) Элементы множества Х в соответствии с геометрической терминологией обычно называют тоочками. Заметим, что если в неравенстве треугольника с) положить хз = х1, то с учетом аксиом а) и Ь) метрики получим, что О < д(х1д хз), т. е. расстояние, удовлетворяющее аксиомам а), Ь), с), неотрицательно. Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1. Множество К действительных чисел становится метрическим пространством, если для чисел х), х2 положить )2(х),х2) = = )х) — х2~, как мы это всегда и делали. Пример 2. На К можно ввести и много других метрик. Тривиальной метрикой является, например, такая, при которой между любыми двумя различными точками расстояние полагается равным единице.
Значительно содержательнее следующая метрика на К. Пусть х ) ~(х) — определенная для х > О неотрицательная функция, обращающаяся в нуль лишь при х = О. Если эта функция строго выпукла вверх, то, полагая для точек х), х2 Е К (2) )2(Х1, Х2) = ~(~Х1 — Х2~), получим метрику на К. Аксиомы а), Ь) здесь, очевидно, выполнены, а неравенство треугольника следует из того, что, как легко проверить, у строго монотонна и при О < а < Ь удовлетворяет неравенствам Да+ 6) — ('(Ь) < )'(а) — ДО) = )'(а). в , „,, б б д)„,„) = ')*, — *,) б)*,д ) = -)дд=-дд) —. в д д р дд б 1 + )х) — хв) ' точками прямой меньше единицы. Пример 3. В К", кроме традиционного расстояния бб(х1д х2),~ ~х1 х2~ б=.1 1 1.
МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО между точками х1 = (х'„...,х",), х2 = (х21,...,х2), можно ввести рас- стояние н 1Ф ар(х1, х2) = ~~1 (х1 — х2) 1=1 (4) где р > 1. То, что для функции (4) выполнено неравенство треугольни- ка, вытекает из неравенства Минковского (см. гл. Ч, 24, п. 2). Пример 5. При сравнении результатов двух серий из и однотипных измерений чаще всего используют метрику (4) при р = 2.
Расстояние между точками в этой метрике называют обычно их средним квадратичным уклонением. Пример 6. Если в (4) сделать предельный переход при р -+ +ос, то, как легко видеть, получается следующая метрика в Р'. а(Х1)Х2) = 1пах ~Х1 Х2~ ° 1(1(н Пример 7. Множество С[а,Ь) функций, непрерывных на отрезке, становится метрическим пространством, если для функций ~, д из С(а, 6] положить а(1, д) = шах ~ ( (х) — д(х)1. (6) а(а(Ь Пример 4. Если в печатном тексте встретилось слово с искаженными буквами, то, если дефектов не слишком много, мы без особого труда восстанавливаем слово, исправляя ошибки.
Однако исправление ошибок и получение слова — операция не всегда однозначная, и потому при прочих равных условиях предпочтение надо отдать той расшифровке искаженного текста, для получения которой потребуется сделать меньше исправлений. В соответствии со сказанным в теории кодирования на множестве всех последовательностей длины п, состоящих из нулей и единиц, используется метрика (4) при р = 1. Геометрически множество таких последовательностей интерпретируется как множество вершин единичного куба 1 = (х Е 2" ~ 0 < < х' < 1, г = 1,..., и) в Р'.
Расстояние между двумя вершинами — это число перемен нулей и единиц, необходимое, чтобы получить из координат одной из этих вершин координаты другой вершины. Каждая такая перемена есть переход вдоль одного из ребер куба. Таким образом, рассматриваемое расстояние есть кратчайший путь по ребрам куба между рассматриваемыми его вершинами. 4 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) Аксиомы а), Ь) метрики, очевидно, выполнены, а неравенство треугольника следует из того, что )7(х) — а(х)] < [) (х) — д(х)) + )д(х) — Ь(х)] < д(7, д) + Й(д, )ь), т.
е. ЙЦ, Ь) = ппах [ 1(х) — а(х)] < ь)(),д) + д(д, Ь). а<х<Ь Метрика (6) — так называемая равномернал, или чебыщсвснол, метрика в С[а, Ь] — используется тогда, когда мы желаем заменить одну функцию другой, например, полиномом, по которой можно было бы вычислять значения первой функции с нужной точностью в любой точке х Е [а, Ь]. Величина д(1,д) как раз характеризует точность такого приближенного расчета. Метрика (6) в С[а, Ь) очень схожа с метрикой (5) в К". Пример 8. Подобно метрике (4) в С[а, Ь] при р > 1 можно ввести метрику Ь 1)р др(7,д) = ]7 — д["(х) ах а (7) Пример 9. Метрику (7) можно было бы использовать также на множестве )с[а, Ь) функций, интегрируемых по Риману на отрезке [а, Ь]. Однако поскольку интеграл от модуля разности двух функций может обратиться в нуль, даже если функции не совпадают тождественно, то аксиома а) в зтом случае не будет выполнена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
