1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 20
Текст из файла (страница 20)
м Для упрощения записи проведем доказательство в случае т = 2. Проверим непосредственно, что линейное относительно 6 = (6О69) ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ отображение 1Ль = д1~(х)61 + дг('(х)62 является полным дифференциалом ~ в точке х. Сделав элементарные преобразования у(х+ 6) — у'(х) — Т6 = = у(х1 + 61,хг + 62) — у(х1)хг) д11(х)61 дгу(х)62 = = г (х1 + 61, хг + 62) — з(х1, хг + 62) — д1з(х1, хг) 61 + + з (х1) х2 + 62) — г (х1, х2) — дг,1 (х1, х2)62, по следствию из теоремы 1 получаем ~~(х1 + 61, хг + 6г) — ~(х1) хг) — д1ДХ1) хг)61 — дг~(х1) хг)62~ < < впр [[д1г (Х1+ )л161, х2 + 6г) — д1з(х1, хг) о [61[ + О<В,<1 + вцр [[д2.1(х1) хг + 0262) — дг~(Х1) хг)// [62[.
(12) О<В <1 поскольку шах([61[,[62[) < /6[,то из непрерывности частных производных д1у, дгу в точке х = (х1,хг), очевидно, следует, что правая часть неравенства (12) есть о(6) при 6 = (61, 62) — 1 О. > Следствие. Отображение г": Π— + У открытого подмножества с1 нормированного пространства Х = Х1 х... х Хт в нормированное пространство У непрерывно ди)рд)ерениируемо тогда и только тогда, когда в (1 непрерывны все частные производные отображения 1.
м В примере 2 мы показали, что при условии дифференцируемости отображения у: с1 — + У его непрерывная дифференцируемость равносильна непрерывности его частных производных. Теперь же мы видим, что если частные производные непрерывны, то отображение (' автоматически дифференцируемо, а следовательно (на основании примера 2), и непрерывно дифференцируемо. > Задачи и упражнения 1. Пусть 1: 1 -+ У вЂ” непрерывное отображение отрезка 1 = [О, 1] С К в нормированное пространство У, а д: 1 — > К вЂ” непрерывная вещественнозначная функция на 1.
Покажите, что если ( н д днфференцируемы в интервале ]О, 1[ н в точках этого интервала имеет место соотношение [~~'(х) О < д)(1), то справедливо также неравенство [1(1) — 1(0)~ < д(1) д(0). 15. ПРОИЗВОДНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 97 2. а) Пусть 1: 1 — ь У вЂ” непрерывно дифференцируемое отображение отрезка 1 = [0,1] С К в нормированное пространство У.
Оно задает гладкий путь в У. Определите длину зтого пути. Ь) Вспомните геометрический смысл нормы касательного отображения и оцените сверху длину пути, рассмотренного в а). с) Дайте геометрическое истолкование теоремы о конечном приращении. 3. Пусть 1: 17 — > У вЂ” непрерывное отображение окрестности 17 точки а нормированного пространства Х в нормированное пространство У. Покажите, что если 1 дифференцируемо в 17 '1 а и 1'(х) имеет предел б е ь(Х; У) при х -+ а, то отображение 1 дифференцируемо в точке а и 1'(а) = Р. 4.
а) Пусть 17 — открытое выпуклое подмножество нормированного пространства Х, а 1: 11 -+ У вЂ” отображение Г в нормированное пространство У. Покажите, что если 1'(х) = 0 на П, то отображение 1 постоянно. Ъ) Обобщите утверждение а) на случай произвольной области 17 (т, е.когда 17 — открытое и связное подмножество в Х). с) Частная производная Ф гладкой функции 1: Р -+ К, заданной в облаОу1 сти Р С к~ плоскости переменных (х, у), тождественно равна нулю. Верно ли, что тогда 1' не зависит от у в атой области? Для каких областей Р зто верно? З 5. Производные отображения высших порядков 1. Определение и-го дифференциала.
Пусть 11 — открытое множество в нормированном пространстве Х, а †отображен 11 в нормированное пространство У. Если отображение (1) дифференцируемо в У, то в 11 определено производное от 1 отображение (2) 1': 11 — >,ь(Х; У). Пространство х,(Х; У) =: Уь является нормированным пространством, по отношению к которому отображение (2) имеет вид (1), т.е. 1'. 11 -+ Уь и можно поставить вопрос о его дифференцируемости. Если отображение (2) дифференцируемо, то его производное отображение (У')': 11 -+ Е(Х;Уь) =,С(Х;Е(Х;У)) называют вторым производным отображением или вторым дифуьеренииалом от 1 и обозначают символом 1Я или1ь~).
И вообще принимается следующее индуктивное 98 ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Определение 1. Производным отображением порядка п Е 14 или п-м дифференциалом отображения (1) в точке х Е П называется отображение, касательное в этой точке к производному отображению порядка п — 1 от 1. Если производное отображение порядка к б Ы в точке х е П обозначать символом ~~~)(х), то определение 1 означает, что 1('4(х):= (~~" ))'(х). Таким образом, если у(")(х) определено, то ~~"~(х) Е.С(Х;Уо) = Е(Х;Е(Х;Уо 1)) =... ... = ь",(Х; ь",(Х;...; .С(Х; У) )... ).
Следовательно, на основании утверждения 4 из 92, дифференциал пго порядка у("~(х) отображения (1) в точке х можно интерпретировать как элемент пространства 1;(Х,..., Х; У) и-линейных непрерыво раз ных операторов. Отметим еще рзз, что касательное отображение ~'(х): ТХ вЂ” > -+ ТУЛ ) есть отображение касательных пространств, каждое из которых, благодаря аффинной или линейной структуре отображаемых пространств, мы отождествляли с соответствующим линейным пространством и говорили на этом основании, что 1'(х) Е ь",(Х; У). Именно это рассмотрение элементов ~'(х1) Е С(ТХ,; ТУ~(,)), ~'(хз) б е ЦТХ,; ТУд,~) различных пространств как векторов одного и того же пространства Т.(Х; У) лежит в основе определения высших дифференциалов отображения нормированных пространств.
В случае аффинного или линейного пространства имеется естественная связь между векторами различных касательных пространств, соответствующих различным точкам исходного пространства. Эта связь в конечном счете и позволяет в данном случае говорить как о непрерывной дифференцируемости отображения (1), так и о его высших дифференциалах. 2. Производная по вектору и вычисление значений и-го дифференциала. При конкретизации абстрактного определения 1 может быть удачно использовано понятие производной по вектору, которое для общего отображения (1) вводится так же, как это в свое время было сделано в случае Х = Ж, У = й.
1о. пРОизВОдные ОтОБРАжения Высших пОРядкОВ 99 1'(х + 1Ь) — 1'(х) иэ~-~о Ф если указанный предел в У существует. Непосредственно проверяется, что рллу(х) = Лрлу(х) (4) и что если отображение 1 дифференцируемо в точке х Е с7, то оно имеет в этой точке производную по любому вектору, причем Рл1(х) = 1 (х)Ь, (5) и, в силу линейности касательного отображения, рл,л,+л.л у(х) = Л1рл з (х) + Агрл у(х). (б) Из определения 2 видно также, что значение Рл1(х) производной отображения 1: с1 -+ У по вектору есть элемент линейного пространства ТУ7( ) У, и что если Т вЂ” линейное непрерывное отображение У в некоторое нормированное пространство х, то рл(р 0 уих) = Ь 0 рлз (х). (7) Попробуем теперь истолковать значение ~~")(х)(ЬО...,Ь„) и-го дифференциала отображения 7' в точке х на наборе (Ьг,..., Ь„) векторов Ь; Е ТХ Х, г = 1,..., п.
Начнем с и = 1. В этом случае по формуле (5) 7"(х)(Ь) = 7"'(х)Ь = Рл1(х). Рассмотрим теперь случай и=2. Поскольку 7'(г) (х) = л.(Х; л,(Х; У)), то, фиксировав вектор Ь1 Е Х, мы сопоставляем ему по закону Ь1 ~-~ 1(г)(х)Ь1 линейный оператор фг~(х)Ь1) е л.(Х; У), а вычислив затем значение этого оператора на векторе Ьг е Х, мы получим элемент ~~~)(х)(ЬО Ьг):= (~~~)(х)Ь1)Ьг Е У (8) Определение 2. Если Х и У вЂ” линейные нормированные пространства над полем 2, то производной отображения (1) е точке х Е (7 по вектору Ь Е ТХ Х назовем предел ГЛ. Х.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 100 пространства У. Но 1(')(х)6 = (~')'(х)6 = Р,~'(х), (х)(61~ 62) (РА1,1 (х))62' поэтому (9) Если А Н с,(Х; У), а 6 Е Х, то спаривание АЬ можно рассматривать не только как отображение Ь ~-+ А6 из Х в У, но и как отображение А 1 АЬ из с,(Х;У) в У, причем это последнее отображение, как и первое, является линейным. Сравнив теперь соотношения (5), (7) и (9), можем записать, что (РМ12 (х))62 РА1(1 (х)62) РА~РА22 (х). Таким образом, окончательно получаем 2~ ~(хП61,62) = РА,РА,1(х). Аналогично можно показать, что при любом и Е М имеет место соотношение )00(х)(61,..., 6„):= (... (У00(х)61)... Ь,„) = РА,Р1„...
Рл~(х), (10) причем дифференцирование по векторам выполняется последователь- но,начиная от дифференцирования по Ь„ и кончая дифференцирова- нием по 61. < Основным элементом доказательства является проверка справедливости этого утверждения в случае и = 2. Пусть 61, Ьг — два произвольных фиксированных вектора пространства ТХ Х. Поскольку У открыто в Х, при всех достаточно близких к нулю значениях 1 Н К определена следующая вспомогательная функция от 2: 7, (61, 62) = 1 (х + 1(61 + 62) ) — 1 (х + Й1) — 1'(х + 162) + 1 (х).
3. Симметричность дифференциалов высшего порядка. В связи с формулой (10), уже вполне пригодной для вычислений, естественно возникает вопрос о том, в какой мере результат вычислений зависит от указанного порядка дифференцирования.
отверждение. Если для отображения (1) форма 100(х) е тонне х определена, то она симметрична относительно любой пары своих аргументов. 25. ПРОИЗВОДНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 101 Рассмотрим еще одну вспомогательную функцию д(и) = 1(х+1(Ь1+ е)) — ~(х+ 10), заведомо определенную для векторов е, коллинеарных вектору Ьг и таких, Гто )ю) ~( )Ьг). Заметим,что г1(Ь1, Ь2) = д(Ь2) — д(О). Заметим также, что коль скоро функция у: 1,1 -+ У в точке х Е У имеет второй дифференциал ув(х), она обязана быть дифференцируема по крайней мере в некоторой окрестности точки х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
