1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Мы будем считать, что параметр 1 настолько мал, что аргументы в правой части определяющего функцию г1(Ь1, Ьг) равенства лежат в указанной окрестности точки х. Воспользуемся этими замечаниями и следствием теоремы о конечном приращении в следующих выкладках: ~К~(Ь1~ Ь2) 2 г (х)(Ь1~ Ьг)! = 1д(Ьг) д(0) 12 1в(х)(Ь1, Ьг) / < япр 'од (В2Ь2) — 1 У (х)Ь1'о 1Ьг! = О<В,<1 япр ОЦ (х + Й(Ь1 + В2Ь2)) — г (х + ЙВ2Ь2))й — й г (х)Ь1П /Ьг/. О<В,<1 Но определению производного отображения можно записать, что ~~(х+ Ф(Ь1 + ВгЬг)) = ~~(х) + ~в(х)(2(Ь1 + ВгЬг)) + о(г) г (х + ~В2Ь2) = г (х) + г (х)(~В2Ь2) + о(~) при ~ — 1 О. Учитывая это, предыдущую выкладку можно продолжить и после арифметических упрощений получить, что ~Р,(Ь„Ь2) — 1 ~в(х)(Ь1,Ьг)~ = о(~ ) при 1 — 1 О.
Но это равенство означает, что ув( )(~ Ь ) Р 1( 1> 2) 1-+о 22 ГЛ. Х, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 102 Поскольку очевидно Г1(61, 62) = Г1(62, 61), то отсюда уже следует, что у"(х)(61, 62) = ('Я(х)(62, 61). Завершить доказательство утверждения теперь можно по индукции дословно так же, как это было сделано при доказательстве независимости значения смешанных частных производных от порядка выполнения дифференцирования. ь Итак, показано, что и-й дифференциал отображения (1) в точке х Н с1 есть и-линейный симметрический оператор (("1(х) Е Т(ТХ,...
> ТХ; ТуН,.)) ь(Х,..., Х; у), значение которого на наборе (61,...,6„) векторов И, Е ТХ, Х, 1 = = 1,..., и, может быть вычислено по формуле (10). Если Х вЂ” конечномерное пространство, (е1,...,еь) — базис в Х и Ь = Ь'е; — разложение векторов 6, у = 1,...,и по этому базису, то в силу полилинейности ~~") (х) можно записать, что у(")(х)(61,..., 6„) = у(")(х)(6",е;„..., Ь'„е,„) = = ~~"~(х)(е;„...,е1 )Ь" ... 6'", или, используя прежние обозначения д;,;„У'(х) для П„...11,„у(х), можно окончательно получить, что у'("1(х)(61,...,6„) = д„,.у(х)6",...Ь'„", где в правой части, как обычно, имеется в виду суммирование по повторяющимся индексам в пределах их изменения, т.
е. от 1 до Й. Условимся в следующем сокращении: В частности, если речь идет о конечномерном пространстве Х и Ь = Ь'е„то ~(")(х)6" = д,,;„~(х)6" ... Ь'", что нам уже хорошо знакомо из теории числовых функций многих пе- ременных. г5, ПРОИЗВОДНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 103 4. Некоторые замечания.
В связи с обозначением (11) рассмотрим полезный и используемый уже в следующем параграфе Пример. Пусть А е Е(ХО...,Х„;У), т.е. у = А(хг,...,х„) есть п-линейный непрерывный оператор, действующий из прямого произведения линейных нормированных пространств Х1,..., Х„в линейное нормированное пространство У. В примере 5 из 0 3 было показано, что А является дифференцируемым отображением А: Х, х ... х Х„-+ У, причем А'(хм..., х„)(ЬО..., Ь„) = = А(Ьмхг,...,х„) +... + А(х1,...,х„1,Ь„). Таким образом, если Х1 —— ... — — Х„= Х и если А — симметрический оператор,то А'(х,...,х)(Ь,..., Ь) = пА(х,...,х, Ь) =: (пАх" ')Ь. Значит, если рассмотреть функцию г: Х вЂ” ~ У, определяемую условием Х Э х + г (х) = А(х,...,х) =: Ах", то она окажется дифференцируемой и .г"(х)Ь = (пАх" 1)Ь, т. е. в этом случае Г'(х) = пАх" ~, где Ах" 1:= А(х,...,х,.).
и — 1 В частности, если отображение (1) имеет в некоторой точке х Е У дифференциал ~~")(х), то функция г(Ь) = ~~"~(х)Ь" дифференцируема и г'(Ь) = п~~"~(х)Ь" (12) Заканчивая обсуждение понятия производного отображения и-го порядка, полезно еще отметить, что если исходная функция (1) определена на множестве (1 пространства Х, являющегося прямым произведением нормированных пространств Х1,..., Х, то можно говорить ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 104 о частных производных отображениях д11'(х),..., д 7" (х) первого и более высокого поРЯдка дн,„у"(х) от фУнкции 7" по пеРеменным х, Н Х;, 1 = 1,..., т.
Па основании теоремы 2 из 2 4 в этом случае по индукции получаем, что если в некоторой точке х Н Х = Х1 х ... х Х все частные производные д;, а„~(х) отобРаженил 7": с7 -+ У непРеРывны„то в этой точке отображение 1' имеет дифференциал и-го порядка 7(")(х).
Если учесть еще результат примера 2 из того же параграфа, то можно заключить, что отображение 17 Э х ~-+ 1(")(х) Н а",(Х,..., Х; У) а раэ непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывны все частные производные отображения (э' Э х ь+ дн,л„,1(х) Е,С(Х,,,..., Х,„; У) порядка и (или, что то же самое, до порядка п включительно) исходного отображения Г: 17 — + У.
Класс отображений (1), имеющих в 17 непрерывные производные отображения до порядка и включительно, обозначают символом С(") (17, У) или, если не возникает недоразумений, более коротким символом С(")(17) или даже С("). В частности, если Х = Х„х... х Х„, то сделанное выше заключение можно коротко записать в виде (1ЕС~ ~) 4=ь (д;, л„~нС,1ы...,1„=1,...,т), где С, как всегда, символ соответствующего множества непрерывных функций.
Задачи и упражнения 1. Проведите полностью доказательство равенства (7). 2. Проведите подробно конец доказательства утверждения о симметричности 7'00(х). 3. а) Покажите, что если для пары векторов йм Аэ н отображения (1) в области П определены функции Рь,Рь 7", Рь Рь,7' н онн непрерывны в некоторой точке х е 17, то в этой точке имеет место равенство Рь, Рь,1(х) = = Рь,Рл,1(х). Ь) Покажите на примере числовой функции 7(х, у), что непрерывность в некоторой точке смешанных производных 0 — л-, ~-л-, хотя н влечет в силу а) *У' У*' нх равенство в этой точке„вообще говоря, не влечет наличия в этой точке второго дифференциала функции. 16.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 105 с) Покажите, что наличие 1'1э1(х, у), хотя и обеспечивает наличие и равенство в соответствующей точке смешанных производных ~-~, ~ — Л вЂ”, ве влечет, Лх фл вообще говоря, их непрерывность в этой точке. 4. Пусть А е ь(Х,...,Х;1'), причем А — симметрический и-ливейвый оператор. Найдите последовательные производные до порядка и + 1 включительно от функции х + Ах":= А(х,...,х). Е 6. сФормула Тейлора и исследование экстремумов 1. <Формула Тейлора для отображений. Теорема 1. Если отображение 1": П вЂ” > У окрестности 11 = П(х) точки х нормированного пространства Х в нормированное пространство 1' таково, что 1 имеет в 11 производные до порядка и — 1 включительно, а в самой точке х имеет производную 1ОО(х) порлдка п, то Пх+6) = У(х)+У(х)А+ . + — „',У(")(х)Ь" +о(~М") (1) при Ь вЂ” 1 О.
Равенство (1) есть одна из разновидностей формулы Тейлора, написанной на сей раз уже для достаточно общих классов отображений. < Докажем формулу Тейлора (1) по индукции. При и = 1 она верна в силу определения 1'(х). Пусть формула (1) верна для некоторого (и — 1) Е И. Тогда на основании теоремы о конечном приращении, формулы (12) из 0 б и сделанного предположения индукции получаем ~(х+ Й) — Щх)+ ~'(х)6+... + —,1ОО(х)Ь") < и.' < впр ~~~'(х + ОЬ) — (~'(х) + ~л(х)(ВЬ) +... О<В<1 ... +, УОО( )(ВЬ)"-") )( !Ь~ = о(~ВА!"-') ~Ь! = оИЬ|") прий-+О. ~ Мы не останавливаемся здесь на других, иногда весьма полезных, вариантах формулы Тейлора. В свое время они подробно обсуждались для числовых функций.
Теперь мы предоставляем их вывод читателю (см., например, задачу 1). ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 10б 2. Исследование внутренних экстремумов. Используя формулу Тейлора, укажем необходимые, а также достаточные дифференциальные условия внутреннего локального экстремума вещественнозначной функции, определенной на некотором открытом множестве нормированного пространства.
Как мы увидим, эти условия аналогичны уже известным нам дифференциальным условиям экстремума вещественнозначной функции вещественного переменного. Теорема 2. Пусть 1: У вЂ” 1 й — веи1ественнозначная функция, определенная на открытом множестве У нормированного пространства Х и имсющал в окрестности некоторой точки х Н У непрерывные производные отображения до порядка Ь вЂ” 1 > 1 включительно, а также производное отображение 11х)(х) порядка Ь в самой епочке х. Если ~'(х) = О,..., ~~" 1)(х) = О и )'1Я)(х) ф О, то для того, чтобы х была точкой экстремума функции 1, необходимо, чтобы Ь было четно, а форма 11")(х)Ь" была полуопределснной1); достаточно, чтобы значения формы )'1")(х)Ьь на единичной сфере ~Ь~ = 1 были отделены от нуля; при этом, если на этой сфере )Ц~)(х)Ь~ > б > О, то х — точка локального минимума, а если ,)~~)(х)Ь~ < б < О, то х — точка локального максимума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
