1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 24
Текст из файла (страница 24)
3' Покажем, что существует положительное число ч < ппп(а,Я такое, что при любом х Н Х, удовлетворяющем условию ф < у < а, отображение д: ВР(0,.~) -+ У шара Ву(0, у):= (у Е У ) )у( < ч <,3) в У является сжимающим отображением с коэффициентом сжатия, не превосходящим, например, числа 1/2. Действительно, при любом фиксированном х Е Вг(О,о) отображение д,: Ву(0,13) — > У дифференцируемо, что следует из условия 3 и теоремы о дифференцировании композиции отображений, причем д'(д) = еР— (Г~(0,0)) ~ (г„'(х,у)) = (Ря(0~ 0)) (Ру(0~ 0) Ру(х~ я)) (3) 17. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 119 В силу непрерывности Гу'(х,у) в точке (0,0) (условие 3) найдется такая окрестность 1(х, у) Е Х х У ] ]х] < 7 < а Л ]у] < 7 < )г) точки (О, 0) е Х х У, в которой ]]д',(д)]] < ]](ГУ(0,0)) '[[.
[[гУ(0,0) — Р„'(х, у)]] < —. (4) 1 Здесь мы пользуемся тем, что (гУ(0, 0)) 1 Е х.(х; У), т. е. тем, что ]](гу(0,0)) ']] < оо. Всюду дальше будем считать, что [х] < 7 и ]у] < 7, поэтому имеет место оценка (4). Таким образом, при любом х б Вх(0, 7) и любых уд, у9 Е Ву(0, у) по теореме о конечном приращении мы действительно получаем теперь, что ]д (у1) — д,(у7)] < яир ]]д'(С)][]д1 — у2] < — ]у1 — у7[. (5) 4Е)УьУг( 4' Для того, чтобы утверждать существование неподвижной точки у отображения д, нам надо иметь такое полное метрическое пространство, которое при этом отображении переходит в себя (быть может, и не на себя).
Проверим, что для любого числа с, удовлетворяющего условиям 0 < с < у, найдется такое число д = б(с) из интервала ]О, у[, что при любом х Е Е Вх(0,4) отображение д преобразует замкнутый шар ВУ(О,е) в себя, т.е. д (ВУ(О,с)) С ВУ(О,с). Действительно, сначала по с подберем число б Е]0, 7[ так, чтобы при ]х] < д иметь ]д (0)[ = [(ГУ(0,0)) ' Г(х,О)] < [[(ГУ(0,0)) 1]]]Г(х,О)] < — с. (6) Это можно сделать благодаря условиям 1 и 2, в силу которых г'(О, 0) = 0 и Г(х, у) непрерывно в точке (О, 0). Если теперь ]х] < 5(с) < 7 и ]у] < с < 7, то из (5) и (6) получаем 1 1 ]д*(д)] < [д,(д) — д,(0)[+ ]д,(0)] < 2]У[ 2с и, значит, при ]х[ < б(с) д~(ВУ(О,с)) С В~.(О,с). 120 ГЛ.
Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Как замкнутое подмножество полного метрического пространства У замкнутый шар Ву(0, с) сам является полным метрическим пространством. 5' Сопоставляя соотношения (5) и (7), на основании принципа неподвижной точки (см. гл.
1Х, 37) теперь можно утверждать, что при каждом х й В (О, б(с)) =: У найдется единственная точка у = у =: 1(х) б Ву(0, с) =: У, которая является неподвижной точкой отображения д: Ву(0, с) -+ Вк(0, с). В силу основного соотношения (2) отсюда следует, что так построенная функция 1: 11 -+ У уже обладает свойством 2', а значит, и свойством 3', поскольку Г(0, 0) = 0 по условию 1. Свойство 1' окрестностей 11 и У следует из того, что по построению 11 х $' С Вх (О, о) х Ву(0, ~3) = И' . Наконец, непрерывность функции у = 1(х) в точке х = О, т.е. свойство 4', следует из 2' и того, что, как было показано в п.4' доказательства, для любого числа с > 0 (с < у) найдется такое число б(с) > 0 (Б(с) < 7), что при любом х Е Вх(О,Б(с)) выполнено д (Ву(0, с)) С Ву(0, с), т. е. единственная неподвижная точка у = 1(х) отображения д: ВР(0, с) — ~ ВР(0, с) при (х) < б(с) удовлетворяет условию |1(х)! < с.
~ь Мы доказали теорему существования неявной функции. Сделаем теперь ряд дополнений о свойствах этой функции, порождаемых свойствами исходной функции Г. Дополнение 1 (о непрерывности неявной функции). Если в дополнение к условиям 2, 3 теоремы известно, что отображения Г: И' — + Я и Г„' непрерывны не только в точке (хв, ув), но и в некоторой ее окрестности, то найденная функиия ~: 5à — + У будет непрерывна не только в точке хв Е 11, но и в некоторой ее окрестности.
~ Из условий 3 и 4 теоремы на основании свойств отображения ь".(У;Я) э А + А 1 е .С(Я;У) (см. пример 6 из 23) заключаем, что в каждой точке (х, у) некоторой окрестности точки (хв, ув) оператор фх,у) Е Е(У; Е) является обратимым. Таким образом, при наличии сделанного дополнительного предположения о непрерывности Г все точки (х, у) вида (х, 1(х)) из некоторой окрестности точки (хв, ув) удовлетворяют условиям 1 — 4, которым раньше удовлетворяла только точка (хв уо).
27. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 121 Повторив построение неявной функции в окрестности любой из этих точек (х, у), мы получили бы функцию у = Дх) непрерывную в х и в силу 2' совпадающую с функцией у = у(х) в некоторой окрестности точки х. По зто и означает, что функция у непрерывна в х. > Дополнение 2 (о дифференцируемости неявной функции). Если в дополнение к условиям теоремы известно, что в окрестности И' точки (хв,ув) существует также частная производн я ~'(х,у), непрерывная в точке (хв, уо), то 4ункиия у = ('(х) диф4ерениируема в точке хв, причем У'(хо) = — Я,'(хо, уо)) ' (Ел(хо, уо)).
(8) ~ Проверим непосредственно, что линейный оператор Е Е ь(Х; У), стоящий в правой части формулы (8), действительно является дифференциалом функции у = у (х) в точке хо. Как и прежде, для упрощения записи будем считать, что хв = 0 и уо = О, поэтому ('(О) = О. Проведем сначала предварительный подсчет )Дх) — ДО) — Ех! = (,('(х) — Ех! = = !,('(х) + ((Е„'(О, 0)) ' (г~(0, 0))х/ = НЕи(0,0)Г" (Е.'(0,0)х+ Ж(0,0)У(х)И = = /(Г„'(О, 0))-'(Г(х, ~(х)) — Г(0, 0) — Е,'(О, 0)х — Е„'(О, 0) ~(х))/ < < Ц(Е„'(О, 0))-'Ц !(Г(х, У(х)) — Г(0, 0) — Е,'(О, 0)х — Г„'(О,ОЩх)) / < < Ц(Ео(0,0)) 'Ц о(х,.1(х))(/х!+ !У(х)/), где о(х, у) -+ 0 при (х, у) -+ (О, 0).
Эти соотношения написаны с учетом того, что Е(х, ~(х)) = О, и того, что непрерывность частных производных отображений Е', Е„' в точке (О, 0) обеспечивает дифференцируемость функции Е(х, у) в этой точке. Положим для удобства записи а:= ЦЕЦ и Ь:= Щ(0, 0) 1Ц. Учитывая,что (~(х)! = (~(х) — Ех + Ех~ < )У(х) — Ех)+ )Ех! < (У(х) — Ех~ + а~х~, проведенную выше предварительную выкладку можно продолжить и получить, что ),((х) — йх~ < Ьо(х, 1 (х))((а + 1)(х) + )У(х) — Лх0, ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 122 или Ввиду непрерывности ( в точке х = 0 и того, что ((0) = О, при х -+ 0 также у(х) -+ О, поэтому о(х, у(х)) -+ 0 при х -+ О. Значит, из последнего неравенства следует, что )Дх) — 1(0) — Ех) = )~(х) — Ех( = о(~х~) при х -+ О.
> Дополнение 3 (о непрерывной дифференцируемости неявной функции), Если в дополнение к условиям теоремы известно, что в окрестности Ие точки (хо,ув) существуют и непрерывны частные производные отображения ~Р, ~Р, то в некотпорой окрестности точки хо функция у = Дх) непрерывно дифференцируема и ее производное отображение вычисляется по формуле м То, что в индивидуальной точке х, в которой оператор Е„'(х, у'(х)) обратим, производное отображение у'(х) существует и выражается в виде (9), нам уже известно из формулы (8). Остается проверить, что при сделанных предположениях функция у'(х) непрерывна в некоторой окрестности точки х = хо. Билинейная функция (А,В) + А  — произведение линейных операторов А,  — является непрерывной функцией.
Оператор В = — г'(х, у(х)) непрерывно зависит от х как композиция непрерывных функций х ~-+ (х,у(х)) + — Г'(х,1(х)). То же самое можно сказать о линейном операторе А 1 = Е„'(х, 1(х)). Остается вспомнить (см. пример 6 из 2 3), что отображение А 1 ~-+ А также непрерывно в области своего определения.
Таким образом, задаваемая формулой (9) функция ~'(х) непрерывна в некоторой окрестности точки х = хо как композиция непрерывных функций. ~ Теперь мы можем подвести итог и сформулировать следующее общее о'тверждение. Если в дополнение и условиям теоремы о неявной функции известно, что функция Е принадлежит классу С(л)(И~, Я), 17. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 123 то определяем я уравнением Р(х,у) = 0 неявная 4ункиия у = 1(х) принадлежит классу СОО(о', У) в некоторой окрестности У точки хе. ~ При Ь = 0 и Ь = 1 утверждение уже доказано.
Общий случай может теперь быть получен по индукции из формулы (9), если заметить, что отображение Е(У;л) Э А > А 1 Е С(л;У) (бесконечно) дифференцируемо и что при дифференцировании равенства (9) правая часть всегда содержит производные от 1 на один порядок более низкие, чем левая часть. Таким образом, последовательное дифференцирование равенства (9) возможно столько раз, каков порядок гладкости функции Р. Ь В частности, если ~ (х)Ь1 = -(Ри(х, ~(х)))-' (Р.'(х, ~(х)))> 1, то ~в(х)(Ь1, Ь2) = — д(~„'(х, ~(х))) 'Ь2Р,'(х, ~(х))Ь1— — (Фх У(х))) а(Р (х у(х))Ь1)Ь2 = (Ря(х 1(х))) дРу(х 1(х))Ь2(Рр(х у(х))) Ря(х 1(х))Ь1 — (Р„(х, 1 (х))) ((Р, (х, Дх)) + Р (х, 1(х))1 (х))Ь1)Ь2 = = (Р„'(х,Дх))) ((Ро (х, Дх)) + Р'„"„(х,у(х))у'(х))Ь2) х х (Р„'(х, 1(х))) 1Р'(х, у(х))Ь1 — (Р,'(х, 1(х))) 1 х х ((Р,",(х,У(х)) + Р,"„(х, Дх))У'(х))Ь1)Ь2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
