1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (824703), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Если в каждой точке компактна К для функции 1 К -+ К имеетп место соотношение ю(т'; х) < ьте, то для любого г > О найдется б > О такое, что для любой точки х Е К будет выполнено неравенство ю(т'; у~к(х)) < ато + г. При ьто = О это утверждение превращается в теорему Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на компакте. Доказательство леммы 4 буквально повторяет схему доказательства теоремы Кантора (п.2, ~2, гл.'Ч1), поэтому мы на нем не задерживаемся. с. Критерий Лебега. Как и прежде, будем говорить, что некоторое свойство имеет место почти во всех точках множества М или выполнено почти всюду на М, если подмножество М, где это свойство может нарушаться, имеет меру нуль.
О1, ИНТЕГРАЛ РИМАНА НА и-МЕРНОМ ПРОМЕЖУТКЕ 135 Теорема 1 (критерий Лебега). 1 Е Я(1) <=> (1' ограничена на 1)11 А(1 непрерывна почти всюду на 1). ~ Необходимость. Если 1 Е Я.(1), то по утверждению 1 функция 1 ограничена на 1.
Пусть |Д ( М на 1. Проверим, что 1 непрерывна почти во всех точках 1. Для этого покажем, что если множество Е точек разрыва функции не есть множество меры нуль, то 1 1е Я.(1). Действительно, представив Е в виде Е = () Е„, где Е„ = (х Е а=1 Е 1 ~ м(1;х) > 1/п1, на основании леммы 2 заключаем, что если Е не имеет меру нуль, то найдется номер по такой, что множество Е„, тоже не есть множество меры нуль. Пусть Р— произвольное разбиение промежутка 1 на промежутки (1,).
Разделим промежутки разбиения Р на две группы А и В, где А= 11ЕР~11ПЕ ~Оды((';11)> ),аВ=Р1А. 1 2по ) Система промежутков А образует покрытие множества Еег В самом деле, каждая точка Е„, лежит либо внутри некоторого промежутка 1, Е Р, и тогда, очевидно, 11 Е А, либо на границе некоторых промежутков разбиения Р. В последнем случае хотя бы на одном из этих промежутков колебание функции должно быть (в силу неравенства треугольника) не менее чем 2 —, и он войдет в систему А.
1 по' Покажем теперь, что, выбирая различным образом набор ( отмеченных точек в промежутках разбиения Р, мы можем заметно менять величину интегральной суммы. Именно, выберем наборы точек Е, Со так, чтобы в промежутках системы В отмеченные точки обоих наборов совпадали, а в промежутках 11 системы А точки 4,'э Я' выбеРем так, что Щ) — 1(Я') > Е-. Тогда (о(1',Р,~') — оЦ,Р,(о)) = ~; Щ(,') — Щ'))~1,~ > ~~ — ~ (1;( > с > О. Существование такой постоянной с вытекает из того, что промежутки системы А образуют покрытие множества Е„„которое по предположению не есть множество меры нуль.
Поскольку Р было произвольным разбиением промежутка 1, на основании критерия Коши заключаем, что интегральные суммы о(1, Р, е,) ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 136 ~(я,') -яп)нЧ < (о(1,Р,с~) — а(1,Р,()~ = < ~, ~Я,') - Я.,НК,~+ ~,М) - И„Н~1„~ Здесь в первую сумму 2 вошли те промежутки 1, разбиения Р, не могут иметь предел при Л(Р) -+ О, т. е. 1 ~ Я(1). Достаточность. Пусть с — произвольное положительное число, а Е, = 1'х Е 1 ~ ю(1; х) > 6). По условию Е, есть множество меры нуль.
Кроме того, Е„очевидно, замкнуто в 1, поэтому Е, — компакт. По лемме 3 существует такая конечная система 11,..., 1ь промежутков ь ь й в К", что Е, с () 1, и ~ ~Ц < с. Положим С1 = () 1;, а через С2 и Сз 1=1 1=1 1=1 обозначим объединение промежутков, полученных из промежутков 1; гомотетией с центром в центре 1, и коэффициентом 2 и 3 соответственно. Ясно, что Е, лежит строго внутри Сз и что расстояние д между границами множеств Сз и Сз положительно.
Отметим, что сумма объемов любой конечной системы промежутков, которые лежат в Сз и попарно не имеют общих внутренних точек, не больше чем 3"с, где и — размерность пространства 1к". Это следует из определения множества Сз и свойств меры промежутка (лемма 1). Отметим также, что любое подмножество промежутка 1, диаметр которого меньше д, либо содержится в множестве Сз, либо лежит в компакте К = 1 Л (Сз 'Л дСз), где дСз — гРаница Сз (и, следовательно, С2 ~ дСз — совокупность внутренних точек множества Сз). По построению Е, с 1 ~ К, поэтому в любой точке х Е К должно быть ю(1; х) < с.
По лемме 4 найдется число о > О такое, что для любой пары точек х1, х2 б К, удаленных друг от друга не больше чем на с, имеет место неравенство ~Дх1) — 1(х2)~ < 26. Сделанные построения позволяют теперь следующим образом провести доказательство достаточности условий интегрируемости. Берем любые два разбиения Р', Р" промежутка 1 с параметрами Л(Р'), Л(Р") меньшими, чем Л = ш1п(с(, б). Пусть Р— разбиение, полученное пересечением промежутков разбиений Р', Р", т.е.
в естественных обозначениях Р = ~1,1 = 1,' О 1"). Сравним интегральные суммы а(1, Р,~) и ст(1, Р', ~'). Учитывая, что ~1,'( = ~,~1, ~, можно записать: В 1. ИНТЕГРАЛ РИМАНА НА и-МЕРНОМ ПРОМЕЖУТКЕ 137 которые лежат в промежутках 1, 'разбиения Р', содержащихся в множестве Сз, а остальные промежутки разбиения Р отнесены к сумме 2,', т.е. все они обязательно содержатся в К (ведь Л(Р) < а). Поскольку (Д < М на 1, заменяя в первой сумме ~Х(Я) — Хф )) величиной 2М, заключаем, что первая сумма не превосходит 2М 3"е. Учитывая, что во второй сумме Ссор е Х,' с К, а А(Рс) < д, заключаем, что ~Щ) — Х(61)~ < 2е, и, следовательно, вторая сумма не превосходит 2е~ 1(.
Таким образом, ~о(Х,Рс,~') — сс(Х,Р,()~ < (2М 3" + 2(1))е, откуда (ввиду равноправности Р' и Р"), используя неравенство треугольника, получаем, что (о(Х,Р',4') — о(Х,Р",~о)) < 4(3"М+ )1!)е для любых разбиений Р', Ро с достаточно малыми параметрами. В силу критерия Коши теперь заключаем, что 1 Н се(1). ~ь Замечание 2. Поскольку критерий Коши существования предела функций имеет силу в любом полном метрическом пространстве, то критерий Лебега в его достаточной (но не в необходимой) части, как видно из доказательства, справедлив для функций со значениями в любом полном линейном нормированном пространстве.
3. Критерий Дарбу. Рассмотрим еще один полезный критерий интегрируемости функции по Риману, применимый уже только к вещественнозначным функциям. а. Нижние и верхние интегральные суммы. Пусть 1 — вещественнозначная функция на промежутке 1, а Р = (Хс) — разбиение промежутка 1. Положим т, = сп1 Х'(х), М; = впр Х(х). хв1с хв1, Определение 10. Величины Я(ХР) = ~ МД~ называются соответственно нижней и верхней интегральной суммой (Дарбу) 4ункции 1 на промежутке 1, отвечающей разбиению Р этого промежутка.
ГЛ. ХЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 138 Лемма 5. Между интегральными суммами функции 1: 1 — + И имеют место следующие соотношения: а) з(Х, Р) = шХ сг(Х, Р, С ) < гг( Х, Р, С ) < впр сг( Х, Р, О = Я( 1, Р); 4 Ь) если разбиение Р' промежугпка 1 получается измельчением промежугпков разбиения Р, то з(1, Р) < з(1, Р') < 5(1, Р') < Я(Х',Р); с) для любой пары Ры Рз разбиений промежутка 1 справедливо неравенство з(Х,Рг) < Я(Х,Рз). ~ Соотношения а) и Ь) непосредственно следуют из определений 6 и 10 с учетом, разумеется, определений верхней и нижней граней числового множества.
Для доказательства соотношения с) достаточно рассмотреть вспомогательное разбиение Р, получающееся пересечением промежутков разбиений Р, и Рг. Разбиение Р можно рассматривать как измельчение каждого из разбиений Р„Рз, поэтому из соотношений Ь) следует, что з У, Рг) < з У, Р) < Б У, Р) < Б У, Рз) Ь. Нижний и верхний интегралы Определение 11. Нижним и верхним интегралом (Дарбу) от функции 1: Х -+ К на промежутке Х называются соответственно величины .7 = впрз(Х,Р), 7 = шХЯ(Х,Р), Р где верхняя и нижняя грани берутся по всевозможным разбиениям Р промежутка Х. Иэ этого определения и указанного в лемме 3 свойства сумм Дарбу следует, что для любого разбиения Р промежутка имеют место неравенства з(Х, Р) < .7 < У < Я( Х, Р).
Теорема 2 (Дарбу). Дяя любой ограниченной функции 1: 1 — г К имеют место утверждения 11. ИНТЕГРАЛ РИМАНА НА и-МЕРНОМ ПРОМЕЖУТКЕ 139 ~ Если сопоставить эти утверждения с определением 11, то становится ясно, что в сущности надо лишь доказать существование указанных пределов.
Проверим это для нижних интегральных сумм. Фиксируем е > 0 и такое разбиение Р, промежутка 1, для которого з(1, Р,) >,7 — е. Пусть Г, — совокупность точек промежутка 1, лежащих на границе промежутков разбиения Р,. Как следует из примера 2, Г, есть множество меры нуль. Ввиду простоты структуры множества Г, очевидно даже, что найдется число Л, такое, что для любого разбиения Р, для которого Л(Р) < Л„сумма объемов тех его промежутков, которые имеют общие точки с Г„меньше чем е. Взяв теперь любое разбиение Р с параметром Л(Р) < Л„образуем вспомогательное разбиение Р', получаемое пересечением промежутков разбиений Р и Р,. В силу выбора разбиения Р, и свойств сумм Дарбу (лемма 5), находим ,7 — е < з(~, Р,) < з(~, Р') <,7.
Теперь заметим, что в суммах з(1', Р') и з(1, Р) общими являются все слагаемые, которые отвечают промежуткам разбиения Р, не задевающим Г,. Поэтому, если ~~(х)~ < М на 1, то ~з(1,Р') — з(1,Р)~ < 2Ме и, с учетом предыдущих неравенств, таким образом находим, что при Л(Р) < Л, имеет место соотношение ,7 — з(~, Р) < (2М+ 1)е. Сопоставляя полученное соотношение с определением 11, заключаем, что предел 1пп з(1,Р) действительно существует и равен,7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
